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Was ist ein regelmäßiges
Sechseck?
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Ein regelmäßiges Sechseck oder Hexagon ist
ein Vieleck mit
sechs gleich langen Seiten und
sechs gleich großen Innenwinkeln. |
Auf dieser Seite heißt das regelmäßige
Sechseck meist einfach Sechseck.
Konstruktion
eines Sechsecks top
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Man zeichnet einen Kreis und trägt auf dem Kreisbogen
sechsmal den gleichen Radius ab. Die Verbindungslinien der Schnittpunkte
bilden ein Sechseck.
Zeichnet man die vollen Kreise, entsteht die Rosette
rechts. |
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Größen
des Sechsecks top
Ein regelmäßiges Sechseck ist im Allgemeinen
durch die Seitenlänge
a gegeben.
Daraus lassen sich der Flächeninhalt A, der
Umfang
U, der Radius des Umkreises R, der Radius des Inkreises
r
und die Diagonalen
d und e berechnen.
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Am besten wählt man zur Herleitung die Aussage,
dass das Sechseck von sechs gleichseitigen Dreiecken gebildet wird. |
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Man verwendet dann die Formel für die Höhe
des gleichseitigen Dreiecks. Nach dem Satz des Pythagoras ist a²=h²+(a/2)²
oder h = (1/2)sqrt(3)a. |
Damit gilt für das regelmäßige Sechseck:
A=6(ah/2) = (6/4)sqrt(3)a² = (3/2)sqrt(3)a²
U=6a
R=a
r=h=(1/2)sqrt(3)a
d=2a
e=2h=sqrt(3)a...... |
Umkreis und Inkreis:
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Diagonalen:
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Die Größe des Innenwinkels des Sechsecks beträgt
120°.
Vom Vieleck
zum Sechseck top
Das Sechseck ist der Sonderfall n=6 des Vielecks.
Kennt man die Formeln des Vielecks, so kann man die Größen
des Sechsecks als Sonderfall berechnen.
Ist
für ein Vieleck die Seite a gegeben, so gilt allgemein
i=1,2,...n-1.
In der Rechnung treten für
n=6 drei Werte trigonometrischer Funktionen auf, nämlich tan(36°),
sin(36°) und sin(72°).
Es gilt tan(30°)=[(1/3)sqrt(3)], sin(30°)=1/2
und sin(60°)=(1/2)sqrt(3).
Damit ergibt sich
r = a/[2tan(30°)] = a/[(2/3)sqrt(3)] = (1/2)sqrt(3)a
R = a/[2sin(30°)] = a
A = 6a²/[4tan(30°)] = (6/4)sqrt(3)a² =
(3/2)sqrt(3)a²
d2 = e = a sin(60°)/[sin(30°)] = [(1/2)sqrt(3)a]/(1/2)
= sqrt(3)a
d3 = d = a sin(90°)/[sin(30°)] = 2a
Eine Formel
zum Sechseck top
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Es ist möglich, ein Sechseck in einem Koordinatensystem
durch nur
eine Gleichung zu beschreiben.
2|y|+|y-x*sqrt(3)|+|y+x*sqrt(3)| = 6
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Figuren im Sechseck
top
Verbindet man alle Eckpunkte des Sechsecks wie in Bild
1,
so erhält man neun Diagonalen.
Es entsteht eine Reihe einfacher Figuren, wenn man nur einige
Diagonalen oder Teile von ihnen zeichnet.
2 Gleichseitiges Dreieck
3 Gleichschenkliges Trapez
4 Raute
5 Sechszackiger Stern oder Hexagramm
6 Rechteck
7 Zwei Rauten
8 Gedrehtes Sechseck im Inneren
Muster im Sechseck
Zwei Quadrate
im Sechseck top
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Es gibt zwei Möglichkeiten, ein möglichst großes
Quadrat in das Sechseck einzupassen. Die Seitenlängen sind nach
der Zeichnung etwa gleich, so dass eine Rechnung klären muss, welche
Größenbeziehung besteht. |
1) Eine Quadratseite liegt
parallel zur Grundseite des Sechsecks.
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Gegeben sei die Seite a des Sechsecks. Dann erhält
man die Seitenlänge des Quadrates, indem man zuerst ein Koordinatensystem
einführt und die Koordinaten des Schnittpunkts S der eingezeichneten
Geraden g und h bestimmt. |
Es gilt A(a|0) und B[(1/2)a|(1/2)sqrt(3)a]. Die Geradengleichung
zu AB ergibt sich über die Zwei-Punkte-Form: (y-0)/(x-a) = [(1/2)sqrt(3)a-0]/[(1/2)a-a]
Dann ist y = [-sqrt(3)](x-a) oder y = -sqrt(3)x+sqrt(3)a.
Aus Gründen der Symmetrie hat die Gerade h die Gleichung
y=x.
Für den Schnittpunkt S gilt -sqrt(3)xs+sqrt(3)a
=xs oder [(sqrt(3)+1]xs=sqrt(3)a oder xs=sqrt(3)a/[(sqrt(3)+1]
oder xs=(1/2)sqrt(3)[sqrt(3)-1]a oder xs=(1/2)[3-sqrt(3)]a.
Die Quadratseite ist dann 2xs=[3-sqrt(3)]a
oder gerundet 1,27a.
2) Das Quadrat steht auf der Spitze.
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Die Strecke x ist der Radius r des Inkreises, x = r =
[(1/2)sqrt(3)]a.
Dann ist die Seitenlänge des Quadrats sqrt(2)x=[(1/2)sqrt(6)]a
oder gerundet 1,22a. |
Ergebnis: Das erste Quadrat ist größer als das
zweite, und zwar um 4,1%.
Fünfeck
im Sechseck
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Auch ein Fünfeck passt auf zweierlei Weisen in ein
Sechseck.
Es sieht so aus, als sei das Fünfeck, bei dem eine
Seite parallel zu einer Sechseckseite liegt, etwas größer ist.
Eine Klärung könnte eine Rechnung bringen... |
Kreis und Sechseck
top
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Ein Kreis kann Umkreis und Inkreis zweier Sechsecke sein.
Berechnet man den Umfang der Sechsecke und bildet den Mittelwert, so erhält
eine gute Näherung des Umfangs eines Kreises. |
Der Radius des Kreises sei r.
Umfang des inneren Sechsecks: 6r.
Umfang des äußeren Sechsecks: 3*sqrt(5)*r.
Mittelwert: [6+3*sqrt(5)]/2 ~ ~ 2*3,15*r
(Zum Vergleich pi=3,14). Der Fehler liegt weit unter 1%.
Das Puzzle "Wabe"
top
Gegeben sind sieben sechseckige
Klötze aus Holz, deren Seiten mit Farben gekennzeichnet sind.
Man soll eine Figur wie rechts
legen, wobei gleiche Farben aneinander stoßen müssen.
(entwickelt von Torsten Sillke & Lothar Hanappel, aus
der Reihe Grips & Co, 6 Legespiele, ©
1994)
Lösung:
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Links werden die Klötze oder Steine
noch einmal deutlicher dargestellt. |
Jedes Sechseck trägt drei Farben und zwar doppelt. Sie
sind nach Rot geordnet: Bei Stein 1 und 2
stoßen rote Felder aneinander, bei 3, 4 und 5 liegen rote Felder
einander gegenüber und bei 6 und 7 liegt eine andere Farbe dazwischen.
Wenn man darauf vertraut, dass die Lösung symmetrisch
ist, ist anzunehmen, dass sich die Steine 1 und 2 gegenüberliegen.
Dann liegt in der Mitte Stein 4. So kommt man nach einigem Herumprobieren
auf die Lösung.
Die Farbverteilung von Stein 1 kann man mit dem Wort aabcbc
kennzeichnen. Stein 2 ist dann aacbcb zugeordnet. Insgesamt gibt es 6!/(2!*2!*2!)=90
Worte.
Puzzles dieser Art begegnet man häufig. Sie heißen
im Englischen "Matching Puzzles".
Es gibt zum Beispiel ein Puzzle mit sechs Farben bzw.
mit den Zahlen 1 bis 6 an den Rändern (Buch 1, Seite 189 f.).
Sechseckzahlen top
"Sechseckrand-Zahlen"
Zentrierte Sechseckzahlen ("Hex numbers")
Sechseckzahlen (Jede zweite Dreieckszahl ist Sechseckzahl.)
Mehr auf meiner Seite Figurierte
Zahlen.
Sechsecke
in meiner Homepage top
Hexagramm
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Setzt man auf die Seiten eines Sechsecks gleichseitige
Dreiecke, so entsteht ein sechszackiger Stern,
das Hexagramm. |
Trihexaflexagon
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... ...
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Man kann einen Papierstreifen zu einem Sechseck falten. |
Sechsecke aus
Kreisbögen
Mehr findet man auf meiner Seite Kreisteile.
Ein Sechseck
aus Kreisen
Man kann um einen Kreis sechs weitere Kreise mit gleichen
Radien so legen, deren Mittelpunkte ein Sechseck bilden.
Mehr findet man auf meiner Seite Kreise
im Kreis.
Parkettierung
mit Sechsecken
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Hauswand am Hafen von Chania auf Kreta
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Homogene Parkettierungen
Mehr findet man auf meinen Seiten Parkettierungen
und Gleichseitiges Dreieck.
Sechsecke
und Würfel
Mehr findet man auf meinen Seiten Stereogramm
und Würfel.
Polyiamonds
Polyiamonds sind Figuren, die man
aus gleichseitigen Dreiecken bildet. Aus Hexiamonds z.B. kann man Sechsecke
legen.
Mehr findet man auf meiner Seite Polyiamonds.
Polywaben
Polywaben sind Figuren, die man aus Sechsecken bilden
kann. Bekannt sind die sieben Tetrawaben.
Sie bilden die Spielsteine für ein Puzzle.
Mehr findet man auf meiner Seite Polywaben.
In der Linkliste findet man Spiele, die Sechsecke benutzen.
Magisches
Sechseck
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Das magisches Sechseck ist eine Figur, die die Zahlen
1 bis 19 enthält und bei der die 15 Summen horizontal (-), schräg
nach oben rechts (/) und schräg nach oben links (\) gleich sind, nämlich
38.
Mehr findet man auf meiner Seite Magisches
Sechseck. |
Sechseck
und Körper
Es gibt Körper, die u.a. von
Sechsecken begrenzt werden.
Abgestumpftes Ikosaeder -
20 Sechsecke
Die Bildpaare erlauben eine dreidimensionale Ansicht der
Körper.
Großes Rhombenikosidodekaeder
- 20 Sechsecke
Großes Rhombenkuboktaeder
- acht Sechsecke
Abgestumpftes Oktaeder
- acht Sechsecke
Abgestumpftes Tetraeder
- vier Sechsecke
Dreieckskuppel - ein Sechseck
Ferner
Bipyramide - ein Sechseck
Bestimmte Körper zeigen
bei bestimmten Ansichten Sechsecke.
Sechsecke im Internet
top
Deutsch
NN (Lehrstuhl der Mathematik und ihre Didaktik, Universität
Bayreuth)
Knoten
regulärer Vielecke
Peter Eckardt
DAS
SECHSECK (Hexagon)
Wikipedia
Sechseck,
Hexagramm
Englisch
David King
Hall of
Hexagons
Eric W. Weisstein (World of Mathematics)
Hexagon,
Cosine
Hexagon,
Figurate
Number,
Hex Number,
Talisman
Hexagon,
Magic
Hexagon,
Hexagram,
Graham's
Biggest Little Hexagon
Jaap Scherphuis
Tantrix
Wikipedia
Hexagon,
Hexagram,
Magic
hexagon, Hexagonal
tiling
Referenzen top
(1) Karl-Heinz Koch: ...lege Spiele, Köln 1987 (dumont
taschenbuch1480) [ISBN 3-7701-2097-3]
(2) Martin Gardner: Mathematischer Karneval, Frankfurt
a.M 1975 [ISBN 3 550 07675 4]
(3) Martin Gardner: Mathematisches Labyrinth, Braunschweig/Wiesbaden
1979 [ISBN 3-528-08402-2]
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URL meiner
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https://www.mathematische-basteleien.de/
©
2004 (ergänzt 2010) Jürgen Köller
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