Oktaeder

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Was ist das Oktaeder?
Besondere Parallelprojektionen
11 Netze
Symmetrien
Größen des Oktaeders
Oktaeder durch Formeln

Zentrentrierte Oktaederzahlen
Raumausfüllung
Würfel und Oktaeder
Verschiedene Körper
Basteleien
Oktaeder im Internet.

Zur Hauptseite "Mathematische Basteleien"

Was ist das Oktaeder?

...... Das Oktaeder ist ein regelmäßiger Körper, der von acht kongruenten gleichseitigen Dreiecken gebildet wird.

Das Oktaeder ist ein platonischer Körper.

Es hat e=6 Eckpunkte, k=12 Kanten und f=8 Seitenflächen. Es gilt der eulersche Polyedersatz e+f=k+2.

Wenn man vom Wort Oktaeder her kommt (Oktaeder heißt Achtflächner), könnte man jeden Körper mit acht Seitenflächen Oktaeder nennen. Aber man schränkt die Bedeutung des Oktaeders meist auf den oben beschriebenen und abgebildeten Körper ein. Der allgemeine Körper heißt dann oft Achtflach.

Besondere Parallelprojektionen top

2 Dreiecke liegen parallel
zur Zeichenebene.
2 Dreiecke liegen senkrecht
zur Zeichenebene.
2 Eckpunkte liegen
hintereinander.
Die Mittelebene liegt
senkrecht zur Zeichenebene.

11 Netze top

Es gibt viele Möglichkeiten,
das Oktaeder in der Ebene auszubreiten.

Schlegeldiagramm

Symmetrien top
>Das Oktaeder ist symmetrisch bezüglich einer Mittelebene. Es gibt drei Möglichkeiten.

>Es ist symmetrisch bezüglich einer Ebene durch zwei Eckpunkte und zwei Kantenmitten.
Es gibt sechs Möglichkeiten.

>Es ist drehsymmetrisch mit der Ordnung 4 mit einer Drehachse durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte.
Nach Drehungen um 90°, 180° oder 270° geht das Oktaeder in sich selbst über.
Es gibt drei Möglichkeiten.

>Es ist drehsymmetrisch mit der Ordnung 2 mit einer Drehachse durch zwei Kantenmitten.
Nach Drehungen um 180° geht das Oktaeder in sich selbst über.
Es gibt sechs Möglichkeiten.

>Es ist drehsymmetrisch mit der Ordnung 3 mit einer Drehachse durch zwei Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen.
Nach Drehungen um 120° oder 240° geht das Oktaeder in sich selbst über.
Es gibt vier Möglichkeiten.

Größen des Oktaeders top
Das Oktaeder hat die Kantenlänge a, das Volumen V, die Oberfläche O, den Radius R der Umkugel, den Radius r der Inkugel, Radius r_k der Kantenkugel, die Dicke d, den Winkel zwischen zwei Seitenflächen 2*epsilon und die Raumdiagonale e.

Wenn a die Kantenlänge ist, dann gilt

Herleitungen
Vorweg: Höhe und Flächeninhalt des Seitendreiecks

...

Ein Seitendreieck wird herausgegriffen.
Nach dem Satz des Pythagoras ist die Höhe h=(1/2)sqrt(3)a.
Die Fläche des Dreiecks ist A=(1/2)ah=(1/4)sqrt(3)a².

Volumen

...

Das Volumen einer quadratischen Pyramide ist V'=(1/3)a²H mit H=(1/2)sqrt(2)a.

Dann ist V=2V'=2(1/6)sqrt(2)a³=(1/3)sqrt(2)a³.

Oberfläche
O=8A=8*(1/4)sqrt(3)a²=2sqrt(3)a²

Radius R der Umkugel

...

Die Umkugel verläuft durch alle sechs Eckpunkte. Der Durchmesser ist eine Diagonale in einem Quadrat mit der Seitenlänge a.

R=(1/2)sqrt(2)a.

Radius r der Inkugel

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Die Inkugel berührt von innen alle Seitenflächen. Zur Berechnung greift man eine Raute heraus, die durch zwei Kantenmitten verläuft und die somit zwei Seitenlängen h=(1/2)sqrt(3)a hat. Die Inkugel erscheint als Inkreis der Raute. Die Raute besteht aus vier Dreiecken mit den Seitenlängen (1/2)sqrt(2)a, (1/2)a und h=(1/2)sqrt(3)a.

Den Flächeninhalt eines Dreiecks kann man auf zwei Wegen berechnen, nämlich
A=(1/2)(1/2)sqrt(2)a(1/2)a=(1/8)sqrt(2)a² und A=(1/2)(1/2)sqrt(3)ar=(1/4)sqrt(3)ar.
Dann ist (1/8)sqrt(2)a²=(1/4)sqrt(3)ar oder r=[(1/2)sqrt(2)]/sqrt(3)]a oder r=[(1/6)sqrt(6)]a.

Radius der Kantenkugel
Die Kantenkugel ist die Kugel durch alle Kantenmitten.

...

Man erhält den Radius, indem man ein Quadrat im Oktaeder betrachtet und dann den Inkreis.
Der Radius ist r_k = (1/2)a.

Dicke d

...

Man kann das Oktaeder auch auf eine Seitenfläche stellen.
Dann erhält man in der Aufsicht ein Sechseck mit Diagonalen als Bild des Oktaeders.

...

....

Den Abstand der parallelen Dreiecke soll als Dicke d des Oktaeders bezeichnet werden. Es gilt d=2r=(1/3)sqrt(6)a.

In dieser Darstellung wird deutlich, dass das Oktaeder auch ein Antiprisma ist. Zwei Dreiecke werden parallel gestellt, gegeneinander gedreht und die Eckpunkte oben und unten verbunden, so dass Dreiecke entstehen.

Winkel zwischen zwei Seitenflächen

...

In der oben beschriebenen Raute taucht auch der Winkel 2*epsilon zwischen zwei Seitenflächen in Originalgröße auf.
Es gilt cos(epsilon)=(a/2)/h=(a/2)/[(1/2)sqr(3)a]=(1/3)sqrt(3). Das führt zu 2*epsilon=2*arc cos[(1/3)sqrt(3)] oder 2*epsilon=109,5°.

Raumdiagonale
e=2H=sqrt(2)a.

Oktaeder durch Formeln top
Formeln erzeugen ein Oktaeder.
1

...... Es ist möglich, ein Oktaeder in einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem durch eine Formel darzustellen.
Die Formel lautet |x|+|y|+|z|=1 oder abs(x)+abs(y)+abs(z)=1.

...

Ein Oktaeder kann auch aus drei Quadraten entstehen, die in den Symmetrie-Ebenen des Oktaeders liegen.

...
....

.....

Nach diesem Vorbild kann man das Oktaeder auch so beschreiben, dass man in jeder Hauptebene des Koordinatensystems ein Quadrat darstellt.

Die Gleichungen |x|+|y|=1, |x|+|z|=1 und |y|+|z|=1 legen die Quadrate fest.

Das Quadrat mit |x|+|y|=1 ist fett gezeichnet.

Zentrierte Oktaederzahlen top

...... Man kann aus Würfeln oktaeder-förmige Körper bauen, die je mehr zum Oktaeder werden, desto größer die Anzahl der Würfel wird.
In der Zeichnung sind die ersten drei Körper mit der Anzahl 1, 7, und 25 dargestellt.

Die Zahlen heißen zentrierte Oktaederzahlen.
Die ersten zehn Zahlen sind 1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159.

Raumausfüllung top
Es gibt in der Mathematik das Problem der vollständigen Raumausfüllung durch Körper. Bekanntlich füllen Packungen von Würfeln den Raum aus. Das gelingt aber nicht mit den Oktaedern.

Erst wenn man eine Kombination von Oktaedern und Tetraedern vorgibt, klappt das. Ein Oktaeder (schwarz) und zwei Tetraeder (rot) bilden ein Parallel-Epiped. Das ist ein gereckter Würfel. So wie die Würfel füllen auch die gereckten Würfel, die Parallelepipede, den Raum aus.

Würfel und Oktaeder top
Würfel und Oktaeder sind duale Körper.
Es gilt nämlich:
Verbindet man die Mittelpunkte der Seitenflächen des Oktaeders, so entsteht ein Würfel.
Verbindet man die Mittelpunkte der Seitenflächen des Würfels, so entsteht ein Oktaeder.

Das hat offenbar Folgen.
Ecken, Kanten, Flächen
Der Würfel hat 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen.
Vertauscht man die Zahlen 8 und 6 und behält 12 bei, so erhält man die Daten des Oktaeders.
Das Oktaeder hat 6 Ecken, 12 Kanten und 8 Flächen.

Besondere Ansichten

Würfel

Oktaeder

Eine Seitenfläche, eine Kante und eine Ecke liegen vorne.

Symmetrien
Der Würfel und das Oktaeder haben neun Symmetrieebenen.

Netze
Das Oktaeder und der Würfel haben 11 Netze.

Die Farben zeigen den Versuch, die Netze einander zuzuordnen.

Sechseck im Oktaeder und im Würfel

In den Mittelpunkten von sechs Kanten liegen die Eckpunkte eines regelmäßigen Sechsecks.

Verschiedene Körper top
Oktaeder im Tetraeder

...... Verbindet man die Mittelpunkte von sechs Kanten eines Tetraeders, so entsteht ein Oktaeder.

Kuboktaeder

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Das Kuboktaeder entsteht, wenn man von einem Würfel an den Ecken acht Pyramiden abschneidet.

Diese Eckpyramiden zusammen können zu einem Oktaeder werden.

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Das Kuboktaeder ist der Kern eines Würfel und eines Oktaeders.

Das Kuboktaeder ist einer der 13 Archimedischen Körper.

Abgestumpftes Oktaeder
Man schneidet die acht Ecken eines Oktaeders ab. Dazu teilt man jede Kante in drei gleiche Teile.
(Beim Kuboktaeder oben halbiert man die Kanten.)

Es entsteht ein Körper, der von sechs Quadraten und acht regelmäßigen Sechsecken begrenzt wird.
Das abgestumpfte Oktaeder gehört auch zu den 13 archimedischen Körpern.

Triakisoktaeder

...

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Verbindet man benachbarte Mittelpunkte der gleichseitigen Dreiecke und Quadrate des Kuboktaeders, entsteht als dualer Körper das Triakisoktaeder.
Ich verzichte darauf, das auch wirklich zu tun. Auf meiner Webseite Triakistetraeder habe ich diese aufwändige Prozedur dargestellt.

Das Ergebnis ist ein Oktaeder, auf dessen Seitenflächen Dreieckspyramiden liegen.
Eine Pyramide ist in der folgenden Zeichnung mit Gelb hervorgehoben.

Zwei Erweiterungen des Triakisoktaeders
>Man kann die Höhe der Dreieckspyramide so vergrößern, dass zwei nebeneinander liegende Dreiecke zu einer Raute werden. Aus dem Triakisoktaeder wird dann ein Rhombendodekaeder.

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...

>Vergrößert man die Höhe noch weiter, so können aus den Dreieckspyramiden Tetraeder werden. Der Körper ist dann ein Oktaeder, auf dessen acht Seitenflächen Tetraeder liegen. Das Ergebnis ist der Oktaederstern aus 24 gleichseitigen Dreiecken. Er zählt zu den konkaven Deltaedern.

Oktaeder im Ikosaeder

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Verbindet man sechs bestimmte Mittelpunkte von Kanten des Ikosaeders, so entsteht ein Oktaeder. Es gibt fünf Möglichkeiten, ein Oktaeder in das Ikosaeder zu legen.
Zeichnet man alle Oktaeder ein, so entsteht ein Sternkörper. Er ist auf der Webseite unter "Octahedron 5-Compound" bei MathWorld (URL unten) dargestellt.

Für den Fall Tetraeder im Pentagondodekaeder habe ich einen ähnlichen Stern ausführlich entwickelt.

Boot

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Das Boot ist hier ein geometrischer Körper, der von 8 gleichseitigen Dreiecken gebildet wird.
Ein (schwarzes) Tetraeder balanciert auf einer Kante, rechts und links wird je ein Tetraeder aufgesetzt.

Und was hat dieser Körper mit einem Oktaeder zu tun?

Das ist eine Kuriosität: Das Boot hat mit dem Oktaeder ein Netz gemeinsam.

Entdeckt bei MathWorld (URL unten)

Ein Kaleidozyklus

Mehr auf meinen Seiten Kaleidozyklen und Cube One

Oktaeder-Ball

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Man formt aus drei Streifen Ringe und klebt die Enden zusammen. Dann steckt man sie so ineinander, dass sie in die drei Richtungen des Raumes zeigen. Es entsteht der Oktaederball.

Mehr auf der Seite Körper flechten

Kleines Rhombenkuboktaeder