......

Das Haus wird in einem Zug aus acht Strecken gezeichnet.  Keine Strecke wird zweimal durchlaufen.  Während des Zeichnens spricht man den Satz:  "Das ist das Haus des Ni - ko - laus".  Zu jeder Strecke gehört ein Wort bzw. eine Silbe.

Auch für zwei Häuser nebeneinander gibt es einen Spruch: Das ist das Haus vom Ni-ko-laus und ne-ben-an vom Weih-nachts-mann.

......

Wer <N>ach-ge-<DACH>t <Z>uvor am Start, der kennt den Weg von Le-on-hard!

Eingesandt von Gerald Fischböck aus Wien

Anzahl der Häuser   top
Drei Beispiele

...	Jeder, der das Haus kennt (Wer kennt es nicht?), kann mindestens ein Haus zeichnen, weil er sich einen Streckenzug gemerkt hat. Die Frage ist: "Wie viele Möglichkeiten gibt es das Haus zu zeichnen?

Alle Zahlenfolgen beginnen mit 1 und enden mit 2. Folglich gibt es aus Symmetriegründen auch 44 Häuser, die in 2 beginnen und in 1 enden. Sie sollten deshalb nicht als neue Lösungen angesehen werden.

Eulerweg    top
Das "Haus des Nikolaus" ist viel mehr als ein simples Kinderspiel. Das zeigen die folgenden Ausführungen. 
Es geht aus historischen Gründen zuerst um das Königsberger Brückenproblem (Königsberg liegt an der Pregel, war vor 1945 die Hauptstadt Ostpreußens, gehört heute zu Russland und heißt jetzt Kalingrad). Leonhard Euler (1707-1783) hat sich mit diesem Problem beschäftigt und dabei den (heute so genannten) Eulerschen Satz aufgestellt. 

......

Das Problem besteht darin, dass man bei einem Rundweg durch Königsberg alle sieben Brücken genau einmal überschreiten soll. Ist das möglich? Die Örtlichkeiten kann man zu einem Graphen aus vier Punkten mit verbindenden Wegen vereinfachen.

Euler behauptete, dass ein Rundgang vom Startpunkt und wieder zurück zum Startpunkt wegen der ungeraden Anzahl von Wegen, die von den Punkten ausgehen, nicht möglich ist. Nur wenn von jedem Kreuzungspunkt aus eine gerade Anzahl von Wegen zusammenläuft, ist ein Rundweg, bei dem jeder Weg nur einmal genommen wird, möglich. Das ist der Inhalt des eulerschen Satzes. Ein Rundweg dieser Art heißt Eulerkreis. Ist der Weg nicht geschlossen, so spricht man vom Eulerweg.
Das Königsberger Brückenproblem ist sozusagen die Keimzelle eines neuen Zweiges der Mathematik geworden, der Graphentheorie als Teil der Diskreten Mathematik.

......

In der Fachsprache der Graphentheorie besteht das "Haus des Nikolaus" aus fünf Knoten, die durch Kanten verbunden sind. Der Graph ist planar, da die Kanten so gezeichnet werden können, dass sie sich nicht kreuzen (Bild). Er ist nicht vollständig, da nicht alle Knoten durch Kanten verbunden sind.

Jeder Knoten hat einen Knotengrad. Das ist die Anzahl der Kanten, die an einem Knoten zusammentreffen. Nach dem eulerschen Satz ist es nicht möglich ist, einen Rundgang über alle Kanten zu machen, da die unteren Punkte des Hauses den Grad 3 haben. Es gibt keinen Eulerkreis.
Wenn man aber unten in einem Punkt beginnt, kann man alle Kanten einmal begehen und endet im Punkt unten auf der anderen Seite. Ein Eulerweg ist möglich.

Hamiltonweg   top
Es gibt ein zweites Problem, mit dem sich Euler beschäftigt hat. Es geht nicht um Kanten, die einmal durchlaufen werden sollen, sondern um Punkte, die nur einmal passiert werden dürfen. Diese Wege heißen Hamiltonwege. Ist der Weg geschlossen, spricht man vom Hamiltonkreis. 
Es gibt ein berühmtes Problem mit dem Hamiltonkreis, die Springertour.

Der Springer soll sich auf einem Schachbrett so bewegen, dass er jedes Feld nur einmal passiert und dass er zum Startpunkt zurückkehrt. In der Sprache der Graphentheorie wird jetzt ein Weg gesucht, bei dem jeder Knotenpunkt (das sind die Mittelpunkte der Quadrate) genau einmal durchlaufen wird. Die Hamiltonwege benutzen immer zwei Kanten, die an einem Knoten zusammen kommen.  Es gibt übrigens zum Springerproblem Tausende von Wegen und eigentlich sind alle Hamiltonkreise sehr ansehnlich. Da alle Kanten vom Grade 2 sind, handelt es sich auch um einen Eulerkreis.  Links ist eine Lösung von Euler.

......

Die Figur ist nach drei Umläufen letztlich durch eine geschlossene Kurve entstanden.  Man beginnt in 1, passiert 2 und endet in 3.

......

Man erzeugt die Figur am besten durch ein Punktmuster. Man erhält ein großes Quadrat, indem man in die Ecken kleine Quadrate setzt und dazwischen in dieser Reihenfolge ein halbes Quadrat, ein Quadrat und ein halbes Quadrat. Das große Quadrat erhält noch vier Punkte, indem man die Mittelpunkte des kleinen Quadrats spiegelt.  Die Punkte werden passend verbunden.

Weitere Figuren top

.......

Oben werden zwei Häuser getrennt gezeichnet. Man kann in der Mitte eine Wand weglassen.  Der Spruch lautet dann: "Das ist das Haus vom Ni-ko-laus, ne-ben-an vom Weih-nachts-mann".

In dieser Ausführung  ist die Figur nicht lösbar. Es gibt vier Knoten mit ungeradem Grad. 
Deshalb ist kein Weg einmal durch alle Kanten möglich.
Lässt man die gemeinsame Wand weg, wird das Doppelhaus wieder lösbar.

......

Die Suche nach Eulerkreisen wird leichter, wenn man die Figuren schwarzweiß färbt.  Das zeigt die Lösung des Drei-Quadrate-Problems von Lewis Carrol.

Hamiltonkreis Beim Hamiltonkreis sollte man an einen Angestellten eines Paketzustelldienstes denken, der nacheinander seinen Kunden (=Knoten) die Pakete ausliefert.

..................

Eulerkreis Beim Eulerkreis bietet sich zur Veranschaulichung ein Briefträger an, der jeden Tag bestimmte Straßen (=Kanten) abgeht, um die Post zuzustellen.

Figuren aus einem (geschlossenen) Linienzug    top

1. Beispiel:  top

.......................

In der Mathematik und Physik sind Lissajous-Figuren Beispiele für berechnete Linien ohne Anfang und Ende. Mehr Linien dieser Art findet man in meinen Webseiten "Eilinien" und "Spirograph".

Er liegt in Bodenheim.

Drei alte Schreibspiele top
Häuser
Dieses ist ein Schreibspiel für ältere Kindergartenkinder, genannt "Häuser". 

......

Zu Beginn werden 10 Häuser auf einem Blatt DIN-A4 Papier verteilt. Sie werden als Kreise mit Nummern dargestellt. Die Mitspieler müssen der Reihe nach die Häuser durch Wege verbinden. Die Wege dürfen aber nicht die schon gezeichneten Wege berühren oder gar kreuzen. Für jede Berührung gibt es einen Strafpunkt. Findet doch eine Berührung statt, so dürfen die nachfolgenden Spieler die Kreuzungen überqueren und erhalten keine Strafpunkte. Die nebenstehende Zeichnung zeigt, dass die Spieler schon etwas älter sind, denn es sind schon Schikanen in Form von Spiralen eingebaut.

Eigentlich sollte wegen des Nachahmungseffekts die folgende Aussage nicht gemacht werden. Aber es war eben so: Für jeden Strafpunkt musste man sich ein Haar ausziehen lassen :-(. 

Frau Meier, zwei Eier, eine Wurst, einen Kamm.  Bitte wickeln Sie alles ein, mit zwei Henkeln dran zum Anfassen. Ein paar Stecknadeln,  eine Streichholzschachtel, einen riesengroßen Kuchen mit Rosinen drin, einen Besen, einen Schrubber. Macht zusammen 66.

......

Ein Mädchen guckt aus dem Fenster, der Milchmann ist da. Schnell hin und Milch gekauft. Das Mädchen stolpert und steht wieder auf (1.Bein). Es läuft weiter (Bauch). Es stolpert wieder und steht wieder auf (2.Bein). Es gießt die ganze Milch aus (Schwanz als Spirale) und läuft nach Haus (Rücken).

Referenzen   top
(1) Hermann Schubert: Mathematische Mußestunden, Berlin 1941
Anmerkung

......

Als mir dieses Buch in die Hände fiel, versah ich den ersten Satz dieser Seite doch lieber mit einem Fragezeichen. (Das Haus des Nikolaus ist ein uraltes (?) deutsches Zeichenspiel für kleine Kinder.) Im Kapitel Eulersche Wanderungen wird auch ein Figur gezeigt, die wie beim Haus vom Nikolaus keine Eulerkreise, wohl aber Eulerwege zulässt. Die Figur links ermöglicht es, den Satz des Pythagoras zu beweisen.  Wäre Schubert das Haus vom Nikolaus bekannt gewesen, hätte er diese ungewöhnliche Figur wohl durch das Haus ersetzt.  Wenn ich zurückdenke, ich lernte das Nikolaushaus in den 1940er / 1950er Jahren als Kind kennen.

Das Haus des Nikolaus im Internet     top

Englisch

Behance
One-line-Animal-logos

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Eulerian Cycle

Torsten Sillke
Counting Eulerian Circuits and Tours

Wikipedia 
Eulerian path, Seven Bridges of Königsberg,  La Linea ,  Space-filling curve, Glossary of graph theory

Dirk Brundelius
Das ist das Haus vom Nikolaus (alle 44 Häuser als "animated Gifs")

Klaus Huneke 
Dies ist das Haus vom Nikolaus, Acryl auf Nessel, Startseite

Lutz Tautenhahn 
Nikulus

Wikipedia
Haus vom Nikolaus, Eulerkreisproblem, Hamiltonkreisproblem, Königsberger Brückenproblem,  La Linea,  Raumfüllende Kurve