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Was ist ein quadratisches Antiprisma?
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Das quadratische Antiprisma ist
ein Körper, der von zwei Quadraten und acht gleichseitigen Dreiecken
gebildet wird.
3D-Ansicht
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Beschreibung
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Zwei kongruente Quadrate liegen parallel und sind gegeneinander
um 45° um eine Achse durch ihre Mittelpunkte gedreht.
Die Eckpunkte der Quadrate werden durch eine Zickzacklinie
miteinander verbunden, so dass acht kongruente, gleichseitige Dreiecke
entstehen. |
Die beiden Quadrate bilden die Grundflächen des Körpers,
die Dreiecke den Mantel.
Der Körper hat neben
den 10 Flächen 8 Eckpunkte und 16 Kanten.
| Liegen die beiden Quadrate parallel zur Zeichenebene,
so ergeben sich folgende Ansichten. |
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Jedes Quadrat ist von vier Dreiecken umgeben.
Jedes Dreieck ist von einem Quadrat und zwei Dreiecken
umgeben. |
In jedem Eckpunkt treffen
ein Quadrat und drei Dreiecke aufeinander.
Die Gerade durch die Mittelpunkte
der Quadrate ist eine Symmetrieachse mit vierstrahliger Drehsymmetrie.
Besondere Ansichten
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Die Quadrate erscheinen als Strecken.
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durchsichtig
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undurchsichtig
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Die Quadrate liegen parallel zur Zeichenebene.
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Netze
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Größen
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Ein quadratisches Antiprisma ist i.a. durch die Kantenlänge
a
gegeben.
Der Abstand der Quadrate und gleichzeitig die Höhe
ist h.
Es gibt eine Umkugel mit dem Radius R, deren Mittelpunkt
M auf halber Höhe liegt.
Der Abstand des Mittelpunktes eines Dreiecks vom Mittelpunkt
des Körpers ist r.
Die Oberfläche ist O und das Volumen V. |
Formeln
Zu
den Herleitungen
Höhe h
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Man findet im Körper das rechtwinkliges Dreieck
BEF.
Es gilt EF=h, EB=(1/2)sqrt(2)a-(1/2)a und FB=(1/2)sqrt(3)a
als Höhe im gleichseitigen Dreieck.
Nach dem Satz des Pythagoras ist FB²=EB²+EF²
oder h² =(3/4)a²-(1/4)([sqrt(2)-1]²a² =(3/4)a²-(1/4)[2-2sqrt(2)+1]a²
=(1/2)sqrt(2)a².
Dann ist h =sqrt[(1/2)sqrt(2)]a =1/sqrt[sqrt(2)]a=2-1/4a. |
Radius der Umkugel R
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Im rechtwinkligen Dreieck AM'M ist AM der gesuchte Radius
R.
Es gilt R² =AM'²+M'M² =[(1/2)sqrt(2)a]²+(h/2)²
=a²/2+(1/4)(1/2)sqrt(2)a² =a²/2+(1/8)sqrt(2)a²
=8a²/16+[2sqrt(2)]/16 =(1/16)[8+2sqrt(2)]a².
Dann ist R=(1/4)sqrt[8+2sqrt(2)]a |
Abstand r
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Im rechtwinkligen Dreieck MAM'' ist r=MM''.
Es gilt r² =AM²-AM''² =R²-[(2/3)(1/2)sqrt(3)a]²
=a²/2+(1/8)sqrt(2)a²-a²/3 =a²/6+(1/8)sqrt(2)
=(24/144)a²+18sqrt(2)a²/144 = (1/144)[24+18sqrt(2)]a²
Dann ist r=(1/12)sqrt[24+18sqrt(2)]a |
Oberfläche O
O=2*a²+8*[(1/4)sqrt(3)a²]= [2+2sqrt(3)]a²
Volumen V
Im Mittelpunkt M treffen sich die Spitzen von zwei quadratischen
Pyramiden und acht dreiseitigen Pyramiden.
Das Gesamtvolumen ist
V=2*(1/3)a²(h/2)+8*(1/3)[(1/4)sqrt(3)a²]r
=(1/3)(2-1/4)a³+(2/3)sqrt(3)a²*(1/12)sqrt[24+18sqrt(2)]a
={(1/3)(2-1/4)+(1/6)sqrt[8+6sqrt(2)]}a³.
Die Formel scheint falsch zu sein, denn in der Literatur
findet man die einfachere Formel V=(1/3)sqrt[4+3sqrt(2)]a².
Das ist nicht der Fall. Es gilt die Identität {(1/3)(2-1/4)+(1/6)sqrt[8+6sqrt(2)]}
= (1/3)sqrt[4+3sqrt(2)].
Das kann man durch zweimaliges Quadrieren nachweisen.
Ein
Vergleich
Betrachtet man das Antiprisma oberflächlich, so
hat es etwa die Form eines quadratischen
Prismas mit der Höhe h und der Grundseite a.
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......
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Es gilt für beide Körper h=0,84a
Prisma
R=0,82a
r=0,5a
V=0,84a³
O=5,36a²
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Antiprisma
R=0,84a
r=0,59a
V=0,96a³
O=5,46a²
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Die Zahlen sind auf zwei Dezimalen gerundet.
Weitere Antiprismen
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Allgemeines quadratisches Prisma
Verändert man den Abstand der Quadrate des oben
vorgestellten Antiprismas, so werden die gleichseitigen Dreiecke zu gleichschenkligen.
Der Name quadratisches Antiprisma trifft weiter zu.
Man nennt das linke Prisma mit den gleichseitigen Dreiecken
genauer
regelmäßiges quadratisches Antiprisma.
Antiprismen
aus Vielecken
Ersetzt man die Quadrate durch regelmäßige
n-Ecke, so erhält man weitere Antiprismen. Die beiden parallel liegenden
regelmäßigen Vielecke sind um 180°/n gegeneinander verdreht.
Der Mantel wird aus 2n gleichseitigen Dreiecken gebildet.
.
Pentagonales Antiprisma
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Dekagonales Antiprisma
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Auch das Oktaeder ist ein
Antiprisma mit gleichseitigen Dreiecken als Grundseiten.
Noch einmal V
Man kann Formeln für das quadratische Antiprisma
auch so herleiten, dass man Formeln für ein Antiprisma mit einem regelmäßigen
n-Eck als Grundseiten herleitet und dann auf n=4 spezialisiert.
Es gilt z.B.
 .
Man findet eine Herleitung bei Literka (URL unten). Der Weg
entspricht dem der Herleitung oben.
Die Formel wird einfacher,
wenn man das Volumen durch die Höhe h ausdrückt.
Man findet die Formel auf der französischen Wikipedia-Seite
und eine Herleitung bei numericana (URL unten).
Abgeschrägtes
quadratisches Antiprisma
Bei diesem Körper liegt zwischen
zwei quadratischen Grundflächen ein Geflecht aus 24 gleichseitigen
Dreiecken.
3D-Ansicht
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Netz
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Der Körper hat neben den 26 Flächen 16 Eckpunkte
und 40 Kanten.
Besondere Ansichten
Die Quadrate erscheinen als Strecken.
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durchsichtig
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undurchsichtig
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Die Quadrate liegen parallel zur Zeichenebene.
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Dieser Körper wird nur von regelmäßigen Vielecken
begrenzt und ist ein Johnson-Körper, und zwar Johnson-Körper
J85.
Dualer Körper
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Verbindet man die Flächenmitten der Seitenflächen
des quadratischen Prismas miteinander, so entsteht der duale Körper.
Er heißt quadratisches Deltohedron
oder quadratisches Trapezoeder.
Eulerkreis
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Mehr auf der Seite Haus des
Nikolaus
Quadratisches
Antiprisma im Internet top
Deutsch
Hans-Bernhard Meyer
Quadratisches
Antiprisma (Polyeder aus Flechtstreifen)
Wikipedia
Prisma
(Geometrie)
Englisch
Hans-Bernhard Meyer
Square
Antiprism (Polyhedra plaited with paper strips)
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Square
Antiprism, Antiprism,
Trapezohedron,
Tetragonal
Trapezohedron
George W. Hart
Prisms
and Antiprisms
Honeylocust Media Systems
Square
Antiprism
Literka
Antiprisms.
Volume Formula
numericana
What
is the volume of a regular antiprism?
Poly
A program
for downloading (Poly is a shareware program for exploring and constructing
polyhedra)
Die Zeichnungen auf dieser Seite entstanden mit Hilfe
dieses Programms.
Wikipedia
Square
antiprism,
Antiprism,
Trapezohedron,
Compound
of three square antiprisms, Apeirogonal
antiprism
Französisch
Robert FERRÉOL (mathcurve)
ANTIPRISME
Wikipedia
Antiprisme
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URL meiner
Homepage:
https://www.mathematische-basteleien.de/
©
2009 Jürgen Köller
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