Tetraeder

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Was ist das Tetraeder?
Besondere Ansichten
Zwei Netze
Symmetrien
Größen des Tetraeders
Herleitungen
Tetraeder im Würfel
Tetraeder im Pentagondodekaeder

Tetrapode
Tetraederzahlen
Der Tetraeder von Bottrop
Raumausfüllung
Vom Tetraeder zu anderen Körpern
Basteleien
Tetraeder im Internet
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Was ist das Tetraeder?

...... Das Tetraeder ist ein Körper, der von vier gleichseitigen kongruenten Dreiecken gebildet wird.

Das Tetraeder ist ein platonischer Körper.

Es hat e=4 Eckpunkte, k=6 Kanten und f=4 Seitenflächen. Es gilt die eulersche Polyedersatz e+f=k+2.

Wenn man vom Wort Tetraeder her kommt (Tetraeder heißt Vierflächner), könnte man jede Dreieckspyramide Tetraeder nennen. Manchmal wird das Wort auch mit dieser Bedeutung verwendet.
Auf dieser Webseite soll das Tetraeder die oben beschriebene gerade, regelmäßige Dreieckspyramide sein.

Drei Ansichten in Stereo

Besondere Ansichten top

Ein Kante vorne
Ein Eckpunkt vorne
Höhe || Zeichenebene
Eine Kante wird zum Punkt.

Zwei Netze top

Symmetrien top
>Das Tetraeder ist symmetrisch bezüglich einer Mittelebene. Es gibt sechs Möglichkeiten.

>Es ist drehsymmetrisch mit der Ordnung 3 mit einer Höhe als Drehachse.
Nach einer Drehung um 120° oder 240° geht das Tetraeder in sich selbst über.
Es gibt vier Möglichkeiten.

>Es ist drehsymmetrisch mit der Ordnung 2 mit der Geraden durch die Mittelpunkte zweier windschiefer Kanten als Drehachse.
Nach einer Drehung um 180° geht das Tetraeder in sich selbst über.
Es gibt drei Möglichkeiten.

Größen des Tetraeders top
Das Tetraeder hat die Kantenlänge a, das Volumen V, die Oberfläche O, den Radius R der Umkugel, den Radius r der Inkugel, die Raumhöhe H, den Abstand zweier windschiefer Kanten c, den Winkel delta zwischen einer Kante und Seitenfläche und den Winkel epsilon zwischen zwei Seitenflächen.

Wenn a die Kantenlänge ist, dann gilt

Herleitungen top
Vorweg zwei Formeln des gleichseitigen Dreiecks mit der Seite a.
Die Höhe ist h = (1/2)sqrt(3)a. Der Flächeninhalt ist A = (1/4)sqrt(3)a².

Raumhöhe H

...

Die Höhe H des Tetraeders erhält man, indem man zunächst den Mittelpunkt des Grunddreiecks bestimmt. In ihm errichtet man die Senkrechte, die die Spitze des Tetraeders trifft.

Für die Berechnung betrachtet man das Dreieck aus zwei Seitenhöhen und einer Kante.

...

Der Mittelpunkt des Dreiecks ist auch Mittelpunkt der Seitenhalbierenden. Sie schneiden sich im Verhältnis1:2. Die Abschnitte sind (1/3)h und (2/3)h. Es gilt h = (1/2)sqrt(3)a.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt H² = a²-[(2/3)h]² = a²-(4/9)h² = a²-(4/9)(3/4)a² = a²-(1/3)a² = (2/3)a².
Dann ist H=(1/3)sqrt(6)a, wzbw..

Radius der Um- und Inkugel

...

Im Dreieck (a,h,h) liegt eine zweite Raumhöhe.

Der Mittelpunkt M des Tetraeders ist der Schnittpunkt der eingezeichneten Raumhöhen.

...

Das Dreieck (a,h,h) liegt in einer Symmetrieebene des Tetraeders.

In dieser Ebene erscheinen die Um- und Inkugel als Kreise.

Der Mittelpunkt des Tetraeders ist der Mittelpunkt von In- und Umkugel.

...

Nach dem Satz des Pythagoras gilt (*) R² = [(2/3)h]²+r².
Weiter ist (**) H = R+r.

Das sind zwei Gleichungen in den Suchvariablen R und r.

Aus (*) folgt R²-r² = (1/3)a².
Aus (**) folgt R+r = (1/3)sqrt(6)a oder R = (1/3)sqrt(6)a-r.
R wird in die erste Gleichung eingesetzt. [(1/3)sqrt(6)a-r]²-r² = (1/3)a²
<=> (2/3)a²-(2/3)sqrt(6)ar+r²-r² = (1/3)a²
<=> (2/3)a²-(2/3)sqrt(6)ar = (1/3)a²
<=> (1/3)a²-(2/3)sqrt(6)ar = 0
<=> (1/2)a = sqrt(6)r
<=> r = (1/12)sqrt(6)a, wzbw. Weiter ist R = H-r = (1/3)sqrt(6)a-(1/12)sqrt(6)a = (1/4)sqrt(6)a, wzbw.

Es gilt ferner R:r=3:1.

Volumen V
Für das Volumen der Pyramide gilt
V = (1/3)*A_dreieck*H = (1/3)*[(1/4)sqrt(3)a²]*[(1/3)sqrt(6)a] = (1/12)sqrt(2)a³, wzbw.

Es gibt eine anschauliche Erklärung des Faktors 1/3.

Legt man um das Tetraeder ein Prisma (1) mit dem Volumen A(Dreieck)*H und verschiebt passend dreimal die Spitze des Tetraeders in eine Prismaecke (2,3,4), so entstehen drei schiefe Dreieckspyramiden mit gleichem Volumen. Sie füllen das Prisma aus (5).
So ist einzusehen, dass das Volumen eines Tetraeders gleich (1/3)*A_dreieck*H ist.

Oberfläche O
O=4*[(1/4)sqrt(3)a²]=sqrt(3)a², wzbw.

Abstand zweier windschiefer Kanten c

...

Der Abstand zweier windschiefer Kanten kommt im Dreieck (a,h,h) in wahrer Länge vor.
Nach dem Satz des Pythagoras ist c² = h²-[(1/2)a]² = [(1/2)sqrt(3)a]²-(1/4)a² = (1/2)a².

Dann ist c = (1/2)sqrt(2)a, wzbw..

Der halbe Abstand ist der Radius der Kantenkugel, der Kugel durch die Kantenmitten,rk = (1/4)sqert(2)a.

Winkel im Tetraeder

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Für den Winkel zwischen einer Kante und einer Seitenfläche gilt tan(delta)=H/[(2/3)h]=sqrt(2).

Das führt zu einem Winkel von delta = 54,7° (gerundet).

Für den Winkel zwischen zwei Seitenflächen gilt
sin(epsilon) = H/h = [(1/3)sqrt(6)a]/[(1/2)sqrt(3)a] = (2/3)sqrt(2).
Das führt zu einem Winkel von epsilon = 70,5° (gerundet).

Tetraeder im Würfel top

... ...... Zeichnet man in einen Würfel 6 passende Flächendiagonalen ein, so entsteht ein Tetraeder.
Es gibt zwei Möglichkeiten.

Oktaederstern

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Zeichnet man alle Flächendiagonalen, so entsteht ein Stern mit 8 Zacken.

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Man erkennt den Stern besser, wenn man auch die nebeneinander liegenden Flächenmitten des Würfels miteinander verbindet.

Der Stern kann auch als Oktaeder angesehen werde, auf dessen Seitenflächen 8 Tetraeder liegen.

Liegt das Tetraeder im Würfel, so hat es in einem kartesischen Koordinatensystem folgende Darstellung.

...

Der Würfel habe die Kantenlänge e. Dann gilt für die Tetraederkante a=sqrt(2)e.
Die Koordinatendarstellung ist: A(e|0|0)
B(0|e|0)
C(0|0|e)
D(e|e|e)

Tetraeder im Pentagondodekaeder top

...... Zeichnet man in ein Pentagondodekaeder 6 passende Diagonalen, so entsteht ein Tetraeder.

Das Tetraeder findet man in mehreren Schritten.

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>Färbe 2 nebeneinander liegende Fünfecke.
>Zeichne eine Kantenlänge des Tetraeders, indem du vom linken Punkt des Fünfecks aus auf der Umrisslinie 3 Kantenlängen im Uhrzeigersinn weiter gehst.
>Gehe dann im gelben Fünfeck vom Endpunkt aus 2 Kanten entlang des gelben Fünfecks weiter und dann von ihm weg eine Kante weiter.

...

...

>Zeichne das grüne Dreieck.
>Suche den Eckpunkt, der über dem Dreieck liegt.
Er ist in der Zeichnung als ein kleines, schwarzes Quadrat markiert.
Das ist der vierte Eckpunkt des Tetraeders, der noch mit den 3 anderen zu verbinden ist.

Es gibt noch 4 weitere Tetraeder, die man über die farbigen Fünfecke findet.

Sternkörper aus 5 Tetraedern

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Legt man die 5 Tetraeder im Pentagondodekaeder übereinander, so ergibt sich ein Sternkörper.
Obwohl man im nebenstehenden Stereo-Bildpaar die Tetraeder nicht mehr trennen kann, lässt sich gut erkennen, dass die 5 Tetraeder je einen der 20 Eckpunkte des Dodekaeders besetzen, 20=4*5.

Auf der Webseite von Gerd Müller (URL unten) findet man bessere Bildpaare. Dort kann man auch nachlesen, dass auch das Ikosaeder 5 Tetraeder enthält. Die Eckpunkte liegen in den Mittelpunkten der Seitenflächen. Das Ikosaeder ist nämlich der duale Körper des Dodekaeders.
Ein farbiges Bild mit den Schnittlinien der Tetraeder findet man bei Wikipedia unter dem Namen
Compound of five tetrahedra.png (URL unten).

Tetrapode top

...... ...... Verbindet man den Mittelpunkt des Tetraeders mit seinen Eckpunkten, so entsteht ein räumliches Gebilde aus vier Radien der Umkugel.
Baut man nach diesem Vorbild ein Gerät aus vier Stäben und wirft es hin, so steht ein Stab immer vertikal.

>Es heißt Krähenfuß (englisch Caltrop), wenn man es als Waffe verwendet. Es ist dann z.B. eine Eisenkugel mit vier scharfen Spitzen, die Fahrzeuge mit Reifen nicht überwinden können.
>Es heißt Tetrapode, wenn man es aus Beton, viele Tonnen schwer, herstellt. Man verwendet ihn für Seebefestigungen. Die Tetrapoden verhaken sich.

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Man erhält den Winkel my zwischen den Stäben mit Hilfe des Kosinussatzes.
Es gilt a²=R²+R²-2R²cos(my) mit R=(1/4)sqrt(6)a oder R²=(3/8)a².
Dann ist a²=(3/4)a²-(3/4)a²cos(my) oder (1/4)=-(3/4)cos(my).
Daraus folgt cos(my)=-1/3 oder my=109,5°.

Tetrapoden, entdeckt vor Rethymnon/Kreta 11/2003

Tetraederzahlen top

...... Man kann Kugeln zu immer größer werdenden Tetraedern aufschichten. Die Anzahl der Kugeln in einer Schicht ist 1,3,6,10,... , allgemein n(n+1)/2.
Bildet man die Summe der Kugeln eines Tetraeders, so erhält man die Tetraederzahlen 1,4,10,20,... , allgemein 1+3+6+10+...+n(n+1)/2 = n(n+1)(n+2)/6.

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Klebt man 20 Kugeln zu zwei Vierergruppen und zwei Sechsergruppen zusammen, so erhält man ein bekanntes Puzzle: Man soll die vier Stücke zu einem Tetraeder zusammensetzen.

Es gibt viele Puzzles dieser Art. Einige findet man beschrieben auf meiner Webseite Tetraederpuzzles.

Der Tetraeder von Bottrop top
Im Ruhrgebiet gibt es an der A 42 seit 1996 ein Ausflugsziel: Ein Stahlgebilde in Tetraederform. Es ist der Tetraeder von Bottrop, entworfen vom Architekten Prof. Wolfgang Christ.
Der Tetraeder hat eine Kantenlänge von 60 m.

...... Er befindet sich weithin sichtbar auf einer Abraumhalde aus den Zeiten des Kohleabbaus, der Halde Beckstraße in Bottrop.
Die nebenstehende Aufnahme entstand am 7.8.2010. Ausgerechnet an diesem Tage wurde uns aus Sicherheitsgründen - unten stehen Bierbuden - ein Aufstieg verwehrt.

Mit dem 3D-Blick erkennt man den Aufbau.

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......

In ein Tetraeder wird ein Oktaeder gelegt, indem man alle sechs Kantenmitten miteinander verbindet. Dabei entstehen in den Ecken vier halb so große Tetraeder. In drei dieser halb so großen Tetraeder wiederholt sich die Struktur: In ihnen liegen wiederum Oktaeder. Ein Tetraeder (unten, hinten) bleibt leer.

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Der Stahlkoloss ruht auf vier 9 m hohen Säulen (dunkelblau), die ein Rechteck bilden. Man erkennt die Lage am besten in der Aufsicht.

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Zum Besteigen sind innen im Kontrast zum strengen Äußeren drei Aussichts-Plattformen (rot) und Treppen eingehängt.
Man gelangt zu der unteren Plattform über eine leicht geneigte Treppe. Die Treppe zur mittleren, ringförmigen Plattform ist etwas steiler. Zur höchsten Plattform gelangt man über eine Spindeltreppe. Die oberste Plattform liegt etwas schräg und ist auch ringförmig.

Raumausfüllung top
Es gibt in der Mathematik das Problem der vollständigen Raumausfüllung durch Körper. Jeder sieht ein, dass Packungen von Würfeln den Raum ausfüllen. Das gelingt aber nicht mit Tetraedern.

Erst wenn man eine Kombination von Oktaedern und Tetraedern, wie sie beim Tetraeder von Bottrop vorkommen, vorgibt, klappt das. Ein Oktaeder (schwarz) und zwei Tetraeder (rot) bilden ein Parallel-Epiped. Das ist ein gereckter Würfel. So wie die Würfel füllen auch die verbogenen Würfel, die Parallelepipede, den Raum aus.

Vom Tetraeder zu anderen Körpern top
Oktaeder

...... Verbindet man die Mittelpunkte der Kanten eines Tetraeders, so entsteht ein Oktaeder.

Tetraeder

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Verbindet man die Mittelpunkte der Seitenflächen eines Tetraeders, so entsteht ein kleineres Tetraeder.

Das bedeutet, dass das Tetraeder selbstdual ist.

Triangulare Bipyramide

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Spiegelt man das Tetraeder an einer Seitenfläche, so entsteht eine Bipyramide.
Dieser Körper aus sechs gleichseitigen Dreiecken gehört zu den acht konvexen Deltaedern und auch zu den 92 Johnson-Körpern (J12).

Tetraederstumpf
Der Tetraederstumpf entsteht aus einem Tetraeder, indem man an den Ecken dreiseitige Pyramiden abschneidet. Dazu teilt man die Kanten in drei gleiche Teile.

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Mehr auf meiner Webseite Tetraederstumpf

Triakistetraeder

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Das Triakis-Tetraeder ist ein Tetraeder, auf dessen Seitenflächen vier passende Dreieckspyramiden gesetzt werden.

Mehr auf meiner Webseite Triakistetraeder

Teilstück eines Prismas

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Verbindet man vier passende Mittelpunkte von Kanten, so entsteht ein Quadrat. Legt man eine Schnittebene durch das Quadrat, so wird das Tetraeder in zwei kongruente Abschnitte von Dreiecksprismen aufgeteilt.

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Werden sie aus Holz gefertigt, so hat man ein Puzzle mit Aha-Effekt:

Baue aus den beiden Stücken ein Tetraeder!

Cayleysche Fläche

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Die cayleysche Fläche ist eine kubische geschlossene Fläche mit x²+y²+z²=2xyz+1.

Zum Vergleich: Die Einheitskugel hat die Darstellung x²+y²+z²=1.

Der innere Bereich hat die Form eines "abgerundeten" Tetraeders.

Sierpinski-Tetraeder

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Entfernt man aus einem Tetraeder ein Oktaeder, so entsteht ein Restkörper aus vier Tetraedern. Das ist das einfachste Sierpinski-Tetraeder.

Entfernt man aus diesen Tetraedern sukzessiv Oktaeder, so entsteht eine Folge von Restkörpern, die Sierpinski-Tetraeder.

Es sei n die Nummer des Sierpinski-Tetraeders, N die Anzahl der Tetraeder, L die Länge eines Tetraeders und V das Volumen des n-ten Tetraeders.
Dann lassen sich zu den Sierpinski-Tetraedern folgende Angaben machen.