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Was ist eine Bipyramide?
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Eine Bipyramide ist ein Körper, der von zwei kongruenten,
geraden
Pyramiden, die sich in den Grundflächen
berühren, gebildet wird.
In der Zeichnung ist die Grundfläche ein Quadrat. |
Der Körper heißt auch Doppelpyramide. Englische
Bezeichnungen sind bipyramid oder dipyramid.
Vom Wort her könnte
man den Begriff der Bipyramide in zwei Richtungen erweitern: Die Vielecke
sind nicht mehr regelmäßig, die Höhen der Einzelpyramiden
sind unterschiedlich lang. Offenbar besteht kaum ein Bedarf, den Begriff
der Bipyramide in dieser Weise zu verallgemeinern.
Einfache Bipyramidentop
Die folgenden Bipyramiden werden nach der Anzahl der
Eckpunkte des gemeinsamen Vielecks geordnet.
Triangulare
Bipyramide
Das ist eine Bipyramide, bei der die gemeinsame Grundfläche
der Pyramiden ein Dreieck ist.
Die Bilderpaare ermöglichen mit dem Stereoblick eine
3D-Ansicht.
Eine besondere triangulare
Bipyramide liegt vor, wenn alle Seitenflächen gleichseitige
Dreiecke sind.
Der Körper gehört dann zu den acht konvexen
Deltaedern
und auch zu den 92 Johnson-Körpern (J12).
Tetragonale Bipyramide
Das ist eine Bipyramide, bei der die gemeinsame Grundfläche
der Pyramiden ein Quadrat ist.
Sind alle Seitenflächen
gleichseitige Dreiecke, so ist die Bipyramide ein Oktaeder.
Das Oktaeder gehört zu den
platonischen Körpern.
Pentagonale
Bipyramide
Die gemeinsame Grundfläche der Einzelpyramiden ist
ein regelmäßiges Fünfeck.
Sind alle Seitenflächen gleichseitige Dreiecke, so
ist die Bipyramide ein konvexes Deltaeder oder der Johnson-Körper
J13.
Hexagonale Bipyramide
Die gemeinsame Grundfläche der Einzelpyramiden ist
ein regelmäßiges Sechseck.
Diese Reihe der Bipyramiden
ließe sich mit Sieben-, Acht-, Neunecken usw. als Basen fortsetzen.
Duale Körper top
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Das ist ein anderer Zugang zu Bipyramiden:
Die Bipyramide ist der duale Körper eines geraden
Prismas.
Verbindet man nämlich die Mittelpunkte der Seitenflächen,
so entsteht eine Bipyramide. |
Umgekehrt ist der duale Körper einer Bipyramide wieder
ein Prisma.
Verlängerte
Bipyramiden
top
Es gibt in der Geometrie das Problem, alle konvexen Körper
zu finden, die nur von regelmäßigen Vielecken begrenzt sind.
Das Problem ist gelöst.
Es gibt die fünf platonischen und die 13 archimedischen
Körper, sowie die "unendlich vielen" Prismen und Antiprismen. Die
restlichen Körper sind die 92 Johnson-Körper.
Die Körper J12 und J13 wurden oben schon vorgestellt.
Hier folgen noch Johnson-Körper, bei denen zwischen
den Pyramiden Prismen bzw. Antiprismen liegen.
Verlängerte
triangulare Bipyramide (J14)
Verlängerte tetragonale Bipyramide
(J15)
Verlängerte pentagonale Bipyramide
(J16)
Auch ein Antiprisma kann man mit Pyramiden bekrönen.
Verdreht verlängerte Quadratbipyramide
(J17)
Auch das Ikosaeder ist ein Antiprisma mit zwei Fünfeckpyramiden.
Trapezoeder top
Trapezoeder werden aus kongruenten Drachenvierecken
gebildet.
Sie entstehen, indem man kongruente Pyramiden gegeneinander
um 180°/n dreht und sie dann längs der Achsen ineinander schiebt.
Als Schnittlinien der Pyramiden entstehen interessante kreisförmig
angeordnete Zickzack-Linien aus gleichen Strecken.
Diese Körper heißen im Englischen meist deltohedrons.
Es folgen drei Beispiele.
8-seitiges
Trapezoeder
Ein Spezialfall ist der Würfel.
10-seitiges
Trapezoeder
Man benutzt diesen Körper
zum Bau eines Spielwürfels zur Ermittelung
der Ziffern 0 bis 9.
20-seitiges
Trapezoeder
Doppelkegel top
Auf diese Seite passt auch noch der Doppelkegel, bei
dem zwei Kegeln aneinander liegen.
Bei ihm ist der Kreis die gemeinsame Grundfläche.
Das ist auch ein Doppelkegel.
Bipyramiden im
Internet top
Deutsch
Bianca Högel
Doppelpyramide
Christian Ucke und Jürgen Becker
Der
aufwärtsrollende Doppelkegel
H.B.Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Johnson
Polyeder Nr. 17
G. Roolfs
Doppelpyramide-Aufgabe
(Abiturprüfung GK Bayern 2002)
Michael Schmidt
Moleküle
mit trigonal–bipyramidaler Geometrie
Wikipedia
Doppelpyramide,
Deltaeder,
Trapezoeder,
Johnson-Körper,
Aufwärts
rollender Doppelkegel
Youtube (Beatrice Anlauff )
Geometrie
mal plastisch...: Die Form der Triangulare Bipyramide
Englisch
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Dipyramid,
Triangular
Dipyramid, Square
Dipyramid, Pentagonal
Dipyramid, Deltahedron
Elongated
Square Dipyramid, Elongated
Pentagonal Dipyramid, Elongated
Triangular Dipyramid
Trapezohedron
H.B.Meyer
Johnson
Polyhedron #17
Poly (Pedagoguery Software Inc.)
A program
for downloading (Poly is a shareware program for exploring and constructing
polyhedra)
Die meisten Bilder dieser Seite wurden mit diesem
Programm erzeugt.
G. Korthals Altes (Paper Models of Polyhedra)
Pentagonal
dipyramid
Wikipedia
Bipyramid,
Triangular
dipyramid, Pentagonal
dipyramid, Hexagonal
bipyramid, Hexagonal
trapezohedron
Deltahedron,
Deltohedra,
Johnson
solid
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2008 Jürgen Köller
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