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Großes Rhombenkuboktaeder
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Was ist das große Rhombenkuboktaeder?
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Das große Rhombenkuboktaeder
ist
ein Körper, der von 12 Quadraten, 8 regelmäßigen Sechsecken
und 6 regelmäßigen Achtecken gebildet wird.
Der Körper heißt auch abgestumpftes Kuboktaeder.
Dieser Name ist umstritten (s.u.). |
Neben den 12+8+6=26 Seitenflächen hat das große
Rhombenkuboktaeder
72 Kanten und 48 Eckpunkte.
Die beiden folgenden, nebeneinander
liegenden Bilder ermöglichen mit dem "Stereoblick" eine dreidimensionale
Ansicht des Körpers.
durchsichtig
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undurchsichtig
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Da beim großen Rhombenkuboktaeder
(6) an jeder Ecke regelmäßige Vielecke in gleicher Weise aufeinandertreffen,
gehört es zu den 13
archimedischen Körpern.
Abgestumpftes
Kuboktaeder top
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Verbindet man die Kantenmitten eines Würfels und
entfernt die dann entstehenden Pyramiden an den Ecken, so entsteht ein
Kuboktaeder. |
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Man kann vom Kuboktaeder wiederum Eckpyramiden entfernen.
Dann werden aus den Quadraten Achtecke, aus den Dreiecken Sechsecke und
die entfernten Pyramiden hinterlassen scheinbar Quadrate.
Es sieht so aus, als ob man das große Rhombenkuboktaeder
aus einem Kuboktaeder gewinnen könne. |
Betrachtet man dieses Vorgehen genauer, so ergibt sich ein
Widerspruch. Wenn das Quadrat zu einem regelmäßigen Achteck
mit der Seite a werden soll, so muss die Pyramide die Seitenlängen
(1/2)sqrt(2)a haben. Das ist aber auch die Grundseite der Pyramide, denn
das Dreieck wird nur zu einem regelmäßigen Sechseck, wenn das
blaue Dreieck gleichseitig wird. Das ist aber ein Widerspruch. Die Grundfläche
der Pyramide kann kein Quadrat werden, sondern sie ist ein Rechteck mit
den Seiten a und (1/2)sqrt(2)a.
Kepler hat den Körper irrtümlicherweise als
abgestumpftes Kuboktaeder angesehen und so bezeichnet. Dieser Name hat
sich bis heute gehalten.
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Auf der Seite von Geneviève Tulloue (URL unten)
wird demonstriert, dass man das große Rhombenikosidodekaeder
als
abgeschrägtes Kuboktaeder verstehen kann. |
Beschreibungen top
Umgebungen der Vielecke
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Jedes Quadrat ist von 2 Sechsecken und 2 Achtecken umgeben. |
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Jedes Achteck ist von 4 Quadraten und 4 Sechsecken umgeben. |
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Jedes Sechseck ist von 3 Quadraten und 3 Achtecken umgeben. |
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Gleiche Vielecke liegen paarweise parallel zueinander. |
Jedes Vieleck ist isoliert.
Parallelprojektionen
Ein Achteck, ein Sechseck, ein Quadrat,
eine Kante 8/6, eine Kante 8/4 und eine Kante 6/4 liegen vorne.
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Ein Eckpunkt liegt vorne.
Ein Quadrat, ein Sechseck und ein Achteck stoßen
dort aufeinander. |
Netz
und Schlegel-Diagramm
Diagonalen
216 Flächendiagonalen
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Die Diagonalen der Achtecke, der Sechsecke und der Quadrate
sind die Flächendiagonalen des großen Rhombenkuboktaeders.
Das Achteck hat 20, das Sechseck 9 und das Quadrat hat
2 Diagonalen.
Das führt zu insgesamt 6*20+8*9+12*2=216 Flächendiagonalen. |
840
Raumdiagonalen
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Von jedem der 48 Eckpunkte gehen Verbindungslinien zu
den anderen Eckpunkten aus. Das sind 9 Flächendiagonalen und 3 Kanten,
wie die Zeichnung zeigt. In 48-12=36 Punkten enden dann Raumdiagonalen.
Das führt zu insgesamt (1/2)*48*35=840 Raumdiagonalen des großen
Rhombenkuboktaeders. |
Bilanz
Auf meiner Seite Dreieckszahlen
steht: "Verbindet man n Punkte mit allen möglichen geraden Linien,
so ergeben sich 1+2+3+...+(n-1)=(1/2)(n-1)n Strecken."
Für das große Rhombenkuboktaeder
bedeutet das, dass es (1/2)*47*48=1128 Verbindungslinien gibt.
Das sind die 72 Kanten, 216 Flächendiagonalen und
840 Raumdiagonalen.
Größen top
Das große Rhombenkuboktaeder
sei durch die Kantenlänge a gegeben.
Daraus lassen sich die Größen Radius
R
der Umkugel, rk der Kantenkugel, Volumen V, Oberfläche
O,
Abstand
d4
der Quadrate, Abstand d6der
Sechsecke und Abstand
d8 der Achtecke berechnen.
Herleitung
der Formeln
Folgende Formeln werden in diesem Kapitel benutzt.
Oberfläche
O
O = 12*A4+8*A6+6*A8 =
12*a²+8*[(3/2)sqrt(3)a²]+6*{[2+2sqrt(2)]a²} =...= 12[2+sqrt(2)+sqrt(3)]a²,
wzbw.
Abstand
der Quadrate
d4
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Man legt durch den Körper eine Schnittfläche
so durch den Mittelpunkt des Körpers, dass Quadrate und Achtecke halbiert
werden. Es entsteht als Schnittfläche ein unregelmäßiges
Achteck mit den Seiten 2r8 und a.
Dann gilt für den gesuchten Abstand d4 =
2(y+a/2). |
Nach dem Satz des Pythagoras gilt y²+y² = (2r8)²
oder y² = (1/2){[1+sqrt(2)]a}² = (1/2)[3+2sqrt(2)]a².
Dann ist y = (1/2)sqrt(2)sqrt[3+2sqrt(2)]a
= (1/2)[1+sqrt(2)]a.
Dann ist d4 = 2(y+a/2) = [3+sqrt(2)]a, wzbw..
Abstand
der Achtecke d8
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In der Querschnittfläche erscheint auch der der
Abstand der Achtecke
d8 = 2*r8+sqrt(2)a.
Das heißt d8 = 2*(1/2)[1+sqrt(2)]a+sqrt(2)a
= [1+2sqrt(2)]a, wzbw.. |
Radius
der Umkugel R
... ...
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M sei der Mittelpunkt des großen Rhombenkuboktaeders.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt R² = (d4/2)²+[(1/2)sqrt(2)a]².
Dann ist R² = {(1/2)[3+sqrt(2)]a}²+[(1/2)sqrt(2)a]²
= [13/4+(3/2)sqrt(2)]a².
Daraus folgt R = (1/2)sqrt[13+6sqrt(2)]a, wzbw.. |
Radius
rk der Kantenkugel
Bei archimedischen Körpern liegen die Kantenmitten
auf einer Kugel, der Kantenkugel.
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Der Radius rk der Kantenkugel kann über
den Radius R der Umkugel bestimmt werden.
Im rechtwinkligen Dreieck gilt rk² =
R²-[(1/2)a]² = (1/4)[13+6sqrt(2)]a²-(1/4)a² = (1/4)[12+6sqrt(2)]a².
Dann ist rk= (1/2)sqrt[12+6sqrt(2)]a, wzbw. |
Abstand
der Sechsecke
d6
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Nach dem Satz des Pythagoras gilt (d6/2)²=R²-r6².
Also ist (d6/2)² = {(1/2)sqrt[13+6sqrt(2)]a}²-a²
=...= (1/4)[9+6sqrt(2)]a².
Weiter ist d6/2 = (1/2)sqrt(3)sqrt[3+2sqrt(2)]a
= (1/2)sqrt(3)[1+sqrt(2)]a
= (1/2)[sqrt(3)+sqrt(6)]a.
Dann ist schließlich d6 = [sqrt(3)+sqrt(6)]a,
wzbw.. |
Volumen
V
Verbindet man den Mittelpunkt des großen Rhombenkuboktaeders
mit seinen Eckpunkten, so erhält man eine Aufteilung des Körpers
in drei verschiedene Pyramiden. Das Volumen ergibt sich aus der Summe der
Einzelpyramiden.
V = 12*V4+8*V6+6*V8
= 12*(1/3)a²(d4/2)+8*(1/3)A6(d6/2)+6*(1/3)A8(d8/2)
= 12*(1/3)a²{(1/2)[3+sqrt(2)]a}..
...+
8*(1/3)[(3/2)sqrt(3)a²]{(1/2)[sqrt(3)+sqrt(6)]a}
...+6*(1/3){2[1+sqrt(2)]a²}{(1/2)[1+2sqrt(2)]a}
=...
= [6+2sqrt(2)]a³+[6+6sqrt(2)]a³+[10+6sqrt(2)]a³
= [22+14sqrt(2)]a³, wzbw.
Drei
Winkel
Der Winkel zwischen einer Achteck-
und Quadratfläche ist 135°.
Der Winkel zwischen einer Achteck-
und Sechseckfläche ist 125°16'.
Der Winkel zwischen einer Sechseck-
und Quadratfläche ist 144°44'.
(1), Seite 106
Dualer Körper top
Hexakisoktaeder
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Verbindet man die Mittelpunkte benachbarter Seitenflächen
des großen Rhombenkuboktaeders, so entsteht
der duale Körper, das Hexakisoktaeder. |
Rhombenkuboktaeder
im Internet top
Deutsch
H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Großes
Rhombenkuboktaeder
Wikipedia
Großes
Rhombenkuboktaeder, Archimedischer
Körper, Catalanischer
Körper, Hexakisoktaeder
Englisch
Eric.W.Weisstein (MathWorld)
Great
Rhombicuboctahedron, dual: Disdyakis
Dodecahedron
Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour
la Physique )
Polyhedra
(Applets)
G. Korthals Altes
Paper
Model Truncated Cuboctahedron
H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Great
Rhombicuboctahedron
Wikipedia
Truncated
cuboctahedron, Archimedean
solid, Catalan
solid, Disdyakis
Dodecahedron
Referenzen top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models,
Oxford 1961 (Seite 112)
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©
2008, überarbeitet 2013, Jürgen Köller
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