Was sind Kreisteile?
Kreisteile sind Figuren, die aus Kreisbögen gebildet werden.

Diese Seite enthält eine Sammlung von Kreisteilen, geordnet nach der Anzahl der Ecken.
Eine Ecke ist auf dieser Seite der Punkt, an dem zwei Kreisbögen zusammenstoßen. 

Figuren aus zwei Kreisen top

Linse  A = [2/3*Pi - 1/2*sqrt(3)]*r² U = 4/3*Pi*r

Linse A =  [1/2*Pi - 1]*a² U = Pi*a

Pilz A = (1/8*Pi - 1/4]*r² U = 1/2*Pi*r

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Dreiviertelmond 

A = [1/2*Pi + 1]*r²
U = 2*Pi*r

Figuren aus drei Kreisen    top

Dreispitz A = [Pi - 1/2*sqrt(3)]*r² U=2*Pi*r

Käferaugen A = [1/4*sqrt(3) + 3/8*Pi]*a² U = 3/2*Pi*a

Drei Kreise A = [1/4*sqrt(3) + 5/8*Pi]*a² U = 5/2*Pi*a

Arbelos (Schusterkneif des Archimedes) A = 1/4*Pi*ab = 1/4*Pi*c² U = (a+b)*Pi

Möndchen des Hippokrates A = 1/2*a*b U = Pi/2*[a+b+sqrt(a²+b²)]

Ying und Yang A = 1/2*Pi*r² U = 2*Pi*r

Kreisel A = 2*r² U = 2*Pi*r

Golf Tee A = [1/4*sqrt(3) - 1/8*Pi]*a² U = 1/2*Pi*a

Bogendreieck A = [1/2*Pi - 1/2*sqrt(3)]*r² U = Pi*r

Figuren aus vier Kreisen top

Kreuzblüte A = (1/2*Pi - 1]*a² U = 2*Pi*a

Orbital A = [sqrt(3) + 2/3*Pi - 3]*a² U = 4/3*Pi*a

Vierstrahlig A = [1 + 1/2*Pi]*a² U = 2*Pi*a

Karo A = (1 - Pi/4)*a² U = Pi*a

Doppelaxt A = 1/2*a² U = Pi*a

Bogenquadrat A = [1 + 1/3*Pi - sqrt(3)]*a² U = 2/3*Pi*a

Vierblättriges Kleeblatt A = [1 + 3/4*Pi]*a² U = 3*Pi*a

Hantel A = [1 + 1/4*Pi]*a² U = 2*Pi*a

Herz A = [1 + 1/4*Pi]*a² U = 2*Pi*a

Haken A = 3/4*Pi*r² U = 3*Pi*r

Salinon (Salzfass des Archimedes) A = 1/4*PI*(a+b)² = 1/4*Pi*c² U = Pi*(2*a+b)

Wurm A = 5/4*Pi*a² U = 3*Pi*a

Ring A = [1/24*Pi + 1/4*sqrt(3)]*a² U = [2/3*sqrt(3)+3/2]*Pi*a

Sanduhr A = [1 - 1/4*Pi]*a² U = Pi*a

Hühnerei A = [3*Pi - sqrt(2)*Pi - 1)]*r² U = [3-1/2*sqrt(2)]*Pi*r

Möndchen des Hippokrates A = a² U = [sqrt(2)*+2]*Pi*a

Tulpe A=Pi*r² U = (2*Pi+2)*r

Figuren aus sechs Kreisen top

Rosette A = [2*Pi - 3*sqrt(3)]*r² U = 4*Pi*r

Rosette A = 2*Pi *r² U = 4*Pi*r

Bärenkopf A = [1/4*sqrt(3) + 1/16*Pi]*a² U = Pi*a

Gleichdick A = 1/2*Pi*a² + Pi*ab + Pi*b² - 1/2*sqr(3)*a² U = Pi*(a+2b)

Brummkreisel A = 2*a² U = 2*Pi*a

Figuren aus acht Kreisen top

Kreuz A = [1 + 1/16*Pi]*a² U = 3/2*Pi*a

Kreuz A = [1 + 1/16*Pi]*a² U = 5/2*Pi*a

Kreisringe   top

Inkreis und Umkreis eines gleichseitigen Dreiecks A = 1/4*Pi*a² U = sqrt(3)*Pi*a (genauer: Begrenzungslinie)

Inkreis und Umkreis eines Quadrates A = 1/4*Pi*a² U = [1+sqrt(2)]*Pi*a (genauer: Begrenzungslinie)

Wie berechnet man Kreisteile? top
Man berechnet Kreisteile, indem man in der Figur Grundfiguren mit bekanntem Flächeninhalt ausmacht und sie vervielfacht, subtrahiert, addiert.

Beispiel 1
Die einzige Grundfigur ist der Halbkreis, der allerdings 4x auftritt.  Der Flächeninhalt ist allgemein gleich 1/2*Pi*r². Für den Radius r setzt man passend a/2 bzw. 3a/2 ein.

...	Eine Zusammenstellung wichtiger Grundfiguren.

Einige Lösungen top
Flächeninhalt des Bogenquadrats

...

Die Rechnung geschieht in zwei Schritten. 1 Der Flächeninhalt des inneren roten Quadrates wird berechnet. 2 Der Flächeninhalt eines der gelben Kreisabschnitte wird berechnet.

......

...

Im Quadrat liegt ein gleichseitiges Dreieck mit der Höhe h=(1/2)sqrt(3)a. Die blauen Strecken sind die diagonalen des Quadrats.  Eine halbe Diagonale hat die Länge h-(1/2)a=(1/2)[sqrt(3)-1]a Dann  ist der Flächeninhalt des Quadrates A1 = 4*(1/2){(1/2)[sqrt(3)-1]a}² = (1/2)[4-2sqrt(3)]a²=[2-sqrt(3)]a².

......

Im Quadrat liegt ein Kreisabschnitt mit dem Winkel 30°. Der Flächeninhalt eines Kreisabschnittes ist die Differenz aus dem Flächeninhalt des Kreissektors und dem Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks mit den Schenkeln a. Es gibt vier Kreisabschnitte. Somit gilt A2 = 4*[(1/12)pi*a²-(1/4)a²] = [(1/3)pi-1]a²

Vorausgesetzt werden die Formeln für den Flächeninhalt  der Linse AL =  [1/2*Pi - 1]*a² und  des Bogenquadrates AB = [1 + 1/3*Pi - sqrt(3)]*a².

Für den Flächeninhalt des Orbitals gilt dann A = 2AL - AB. Das bedeutet A=2*[1/2*Pi - 1]*a² -[1 + 1/3*Pi - sqrt(3)]*a² oder A = Pi*a²-2a²-a²-(1/3)Pi*a²+sqrt(3)a² oder  A = (2/3)Pi*a²-3a²+sqrt(3)a² oder A = [sqrt(3) + 2/3*Pi - 3]*a², wzbw..

Zur Quadratur des Kreises top

In der Geschichte der Mathematik spielen die Möndchen des Hippokrates eine gewisse Rolle, da sie mit Zirkel und Lineal in flächengleiche Dreiecke (bzw. Vierecke in anderen Fällen) verwandelt werden können. Man meinte, auch zum Kreis auf ähnliche Weise ein flächengleiches Quadrat durch eine Konstruktion finden zu können. Man weiß seit dem 19. Jahrhundert, dass das nicht möglich ist, da Pi eine transzendente Zahl ist  (Ferdinand Lindemann 1882).

Deutsch

Barbara Flütsch (Mathe-Aufgaben)
Kreis und Kreisteile: Berechnungen

S MART
"Kreisteile - auch Segmente"

Wikipedia
Kreispackung in einem Kreis, Kreis (Geometrie), Kreissegment, Kreissektor, Reuleaux-Dreieck, Arbelos, Kreisring

David Eppstein    (The Geometry Junkyard)
Circles and Spheres

Eric W. Weisstein  (MathWorld)
Piecewise Circular Curve, Circle, Arc, Triangle Arcs, Semicircle, Arbelos, Lens, 
Yin-Yang, Salinon, Reuleaux Triangle

Tim Lexen
Bending the Law of Sines, Making Tricurves

University of Cambridge (nrich mathematics)
Arclets (Shapes made from arcs)

Wikipedia
Circle, Reuleaux triangle, Arbelos, Salinon, Semicircle, Ring (geometric)

Referenzen   top
Walter Lietzmann: Altes und Neues vom Kreis, Leipzig und Berlin 1935
Eugen Beutel: Die Quadratur des Kreises, Leipzig und Berlin 1942
Maximilian Miller, Gelöste und ungelöste mathematische Probleme, Leipzig 1973