|
Was ist ein Halbkreis?
... ... |
Teilt man einen Kreis durch eine
Gerade durch seinen Mittelpunkt, so entstehen zwei kongruente Halbkreise.
Wie beim Kreis ist der Halbkreis durch den Radius r bestimmt. |
... |
Der Halbkreis kann eine halbe Kreisfläche sein oder
eine halbe Kreislinie. |
Im Folgenden wird nur die halbe Kreisscheibe betrachtet.
Man kann den Halbkreis auch als Kreisausschnitt
ansehen, der zum Winkel von 180° gehört, oder als Kreisabschnitt,
dessen Sehne der Durchmesser ist.
Größen
des Halbkreises top
... ...
|
Ein Halbkreis wird im Allgemeinen durch den Radius festgelegt.
Dann sind der Flächeninhalt A=(1/2)*Pi*r² und
der Umfang U=(Pi*+2)r. |
Halbkreis
als Graph einer Funktion top
... ... |
Der Halbkreis ist auch der Graph einer Funktion.
Die Funktionsgleichung lautet f(x)=sqrt(r²-x²)
mit dem Definitionsbereich D={x|-r <= x <= r}. |
Halbkreis des Thales
top
... ... |
Liegt im Halbkreis ein Dreieck, so gilt der Satz des
Thales.
"Ein Dreieck, dessen Grundseite ein Durchmesser ist und
dessen Spitze auf einer Kreislinie liegt, ist ein rechtwinkliges Dreieck. |
Man kann diese Aussage auch auf einen Winkel beziehen: "Ein
Winkel, dessen Scheitel auf einer Kreislinie liegt und dessen Schenkel
durch die Endpunkte eines Durchmessers verlaufen, ist ein rechter Winkel."
... ... |
Durchläuft der Scheitel alle Punkte eines Halbkreises
(ausgenommen sind die Endpunkte), so entstehen alle Formen eines rechtwinkligen
Dreiecks. |
Lokales
Ordnen
... ... |
Im Mathematikunterricht der Klasse 7 sind der Satz des
Thales und z.B. auch der Satz von der Winkelsumme im Dreieck eine Überraschung,
wenn man sie zum ersten Mal kennenlernt. Deshalb muss man hier die ersten
Beweise führen. Damit das möglich ist, werden vorher einfache
Winkelsätze behandelt.
Nach Behandlung der Winkelsätze empfehle ich "Lokales
Ordnen". Man zeichnet an die Tafel eine Skizze zu jedem Winkelsatz und
lässt die Beweise noch einmal Revue passieren. Das führt zu den
roten Logikpfeilen, deren Lage vom Vorgehen im Unterricht abhängt. |
Die Schüler gewinnen die Erkenntnis: Einige Sätze
muss man hinnehmen, einige Sätze gehen aus anderen hervor. Sie bekommen
schon in diesem Stadium eine kleine Idee vom axiomatischen Aufbau der Mathematik.
Figuren im Halbkreis
top
45-90-45-Dreiecke
|
Aufrecht stehendes Dreieck: x=sqrt(2)r
Auf der Spitze stehendes Dreieck: x=r |
Vierecke
|
Aufrecht stehendes Quadrat: x=(2/5)sqrt(5)r
Auf der Spitze stehendes Quadrat: x=(1/2)sqrt(2)r
Doppelquadrat: x=(1/2)sqrt(2)r |
Kreise
und Halbkreise
Lösungen:
1 Drei Kreise: Es gilt (x+y)²=(x-y)²+s² und
(r-y)²=s²+y² und x=r/2. Daraus folgt y=r/4.
2 Halbkreis: x=(1/2)sqrt(2)r
3 Drei Kreise und zwei Halbkreise: Es gilt (x+y)²=(r-x-y)²+x².
Daraus folgt: x=[sqrt(2)-1]r, y=[3sqrt(2)-2]r.
4 Zwei Halbkreise und ein Kreis: Es gilt (x+y)²=(r-y)²+x².
Daraus folgt: x=r/2, y= r/3.
5 Ein Kreis und zwei Halbkreise: Nach Drehung um 90°
wie 4. Es gilt: x=r/2, y= r/3.
6 Schräg liegender Halbkreis im Halbkreis
... ... |
Es gibt beliebig viele schräg liegende Halbkreise
im Halbkreis.
(1) Zur Herleitung einer Formel errichtet man im Berührungspunkt
des inneren Halbkreises eine Höhe h (1). Auf ihr liegt der Mittelpunkt.
(2) Ergänzt man den Halbkreis zu einem Vollkreis,
so schneiden sich im Kreis zwei Sehnen in M. Es gilt der Sehnensatz (h-x)(h+x)=x².
Daraus folgt x=(1/2)sqrt(2)h. |
Anmerkung:
... ... |
Bei der Suche nach Formeln zu diesem Kapitel bin ich
auf das allgemeine Berührungsproblem von Apollonius gestoßen
(siehe unten bei de.wikipedia: Apollonisches Problem).
Die Standardaufgabe ist: Gegeben sind drei Kreise. Gesucht
ist ein (roter) Kreis, der die Kreise berührt.
Es ist erstaunlich, wie weitläufig diese Problematik
ist. Kreise können sich innen und außen berühren. - Die
gegebenen Kreise können auch zu Punkten (Kreis mit dem Radius 0) oder
Geraden (Kreise mit beliebig großem Radius) ausarten.
In diesem Sinne werden auch der Inkreis und der Umkreis
eines Dreiecks erfasst. |
Halbkreisfolge
Man kann auf einen Durchmesser kleinere Halbkreise setzen
und deren Anzahl immer mehr erhöhen. Es entsteht eine Restfigur (blau).
Geht die Anzahl der Halbkreise über alle Grenzen, so gelangt man -
theoretisch - zum Halbkreis.
... |
Für die n-te Figur erhält man die Fläche
A(n) = (1/2)*Pi*r² - (1/2)*Pi*r²/n.
Für n gegen Unendlich ergibt sich der erwartete
Grenzwert von (1/2)*Pi*r². |
Der Umfang der Figur verhält sich merkwürdig.
Er ist für jedes n und auch im Grenzfall gleich
U(n) =2*Pi*r (ungefähr 6,3r).
Der Umfang des Halbkreises andererseits ist wesentlich
kleiner als U(n), nämlich U=(2+Pi)*r (ungefähr 5,1r).
Darin liegt ein Widerspruch zur Anschauung.
Halbkreis in Figuren
top
Halbkreis im Dreieck
|
Halbkreis im linken gleichseitigen Dreieck: x=(1/4)sqrt(3)a
Halbkreis im rechten gleichseitigen Dreieck: x=(1/4)[3-sqrt(3)]a
Halbkreis im linken Halbquadrat: x=(1/4)sqrt(2)a
Halbkreis im rechten Halbquadrat: a/2 |
Halbkreis im
Quadrat
Lösung:
|
Es gilt a=x+x/sqrt(2). Daraus folgt x=[2-sqrt(2)]a |
Die Lösung x=a/2 für die beiden Halbkreise ist
trivial.
Dreiteilung des
Winkels top
... ... |
Der Halbkreis ist ein wichtiger Bestandteil eines Zeichengerätes
("Tomahawk"), mit dem man einen Winkel in drei gleiche Teile teilen kann.
Die Dreiteilung des Winkels mit Zirkel und Lineal ist
nicht möglich. Das weiß man auf Grund von Arbeiten von Gauß
(1777-1855). Es geht in der rechten Zeichnung darum, x (bzw.x/2) zu bestimmen,
wenn a gegeben ist. Es gilt die kubische Gleichung x³-3x-2a=0, die
nur für Sonderfälle durch Terme aus Quadraten lösbar ist. |
Das Zeichengerät wird durch die Zeichnung erklärt.
Herleitung der kubischen
Gleichung
 |
Lösungsskizze:
Der gegebene Winkel sei BSA. Er wird durch die Strecke
a bestimmt.
SK drittelt den Winkel, SK wird durch die Strecke x/2
gegeben.
>Die Dreiecke SKB und BCK sind ähnlich. Es gilt:
z:y=y:1, dann z=y².
>Es gilt der erste Strahlensatz: SC:SK=SC':SK' oder (1-z):1=a:(x/2).
>Es gilt nach dem Satz des Pythagoras in Dreieck SKK':
(x/2)²+(y/2)²=1.
...
Daraus folgt nach längerer Rechnung x³-3x-2a=0,
wzbw. |
Mehr findet man auf meiner
Seite Dreiteilung eines Winkels.
Halbkreis auf Figuren
top
Fenster, Türen, Tore
... ... |
Wenn man sich in seiner Umgebung umsieht, bemerkt man
die meisten Halbkreise bei Fenstern, Türen oder Toren.
Halbkreise schließen Rechtecke oben ab und schmücken
sie. Oft sind die Halbkreise unterteilt und geben so dem Halbbogen eine
besondere Note. |
... ... |
Wappenschild
... ... |
Ein einfaches Wappenschild setzt sich auch aus einem
Rechteck und Halbkreis zusammen, nur dass der Halbkreis unten ist. Rechts
steht als Beispiel das Wappen des Landes Nordrhein-Westfalen. Das springende
Pferd steht für Westfalen und die weiße Schlangenlinie für
den Rhein und damit Nordrhein.
Das Gebilde unten ist die lippische Rose, die in das
Wappen aufgenommen wurde, weil sich Lippe nach 1945 Nordrhein-Westfalen
anschloss. |
... ... |
Zaun
... ... |
Man kann Drähte zu einem Zaun so flechten, dass
oben Halbkreise entstehen. |
... ..
entdeckt auf Lanzarote
|
Arkaden
... ... |
Es ist immer eindrucksvoll, wenn sich in Bauten Bögen
wiederholen. |
........ ...
Domäne Dahlhausen in Lippe
|
Halbkreise, gesetzt auf regelmäßige
Vielecke
|
Parkettierung mit Habkreisen
|
Halbkreisfiguren
der "Alten Griechen" top
Möndchen des Hippokrates
|
Möndchen des Hippokrates
|
Salinon
(Salzfass des Archimedes)
|
Arbelos
(Schusterkneif des Archimedes)
|
Das Besondere ist, dass die farbigen und die gepunkteten
Figuren den gleichen Flächeninhalt haben.
Mehr findet man auf meiner Seite Kreisteile.
Größte Figuren
top
Dreieck, Rechteck und Trapez
... ... |
Es gibt viele Dreiecke, Rechtecke und gleichschenklige
Trapeze, die in einen Halbkreis passen. Darunter gibt es jeweils eine
Figur mit größtem Flächeninhalt (gelb) |
Fensterproblem
... ... |
Die drei nebenstehenden Rechtecke mit aufgesetztem Halbkreis
haben den gleichen Umfang U. Vergleicht man die Flächeninhalte, so
erkennt man vielleicht, dass die mittlere Figur den größten
Flächeninhalt hat [Lösung: x=y=U/(4+Pi), s.u.]. |
Diese Extremwertaufgabe ist bekannt. Sie wird meist so formuliert:
Gegeben ist der Umfang eines rechteckigen Fensters mit einem aufgesetzten
Rundbogen. Welche Maße muss das Rechteck haben, damit der Flächeninhalt
möglichst groß ist, d.h. damit möglichst viel Licht
einfällt?
Man kann die Figur auch auf den Kopf stellen. Dann wird
nach der Form eines Kanals gefragt, der möglichst viel Wasser durchlässt.
Lösungen
Dreieck
Es gilt A=xy.
Nebenbedingung x²+y²=r², Zielfunktion
A²= r²x²-(x²)², [A²(x)]' =0 ergibt x=y=(1/2)sqrt(2)]r.
Das größte Dreieck ist
gleichschenklig-rechtwinklig.
Rechteck
Es gilt A=2xy.
Nebenbedingung x²+y²=r², Zielfunktion
A²/4=x²y²= r²x²-(x²)²,(A²/4)'=0
ergibt x=y=(1/2)sqrt(2)r.
Das größte Rechteck
ist ein Doppelquadrat.
Trapez
Es gilt A=[(2r+2x)/2]y=(x+r)y.
Die Nebenbedingung ist x²+y²=r² oder y²=r²-x².
Die Zielfunktion ist A²(x)=(x+r)²y²=(x²+2rx+r²)(r²-x²)=-x4-2rx3+2r³x+r4.
(A²)'=-4x³-6rx²+2r³.
(A²)'=0 führt zur Lösung x=r/2. (Gelöst
durch Probieren). Dann ist y=(1/2)sqrt(3)r.
Die Maximalstelle ist gesichert: (A²)''=-12x²-12r²<0
für x=r/2.
Ergebnis: Das größte Trapez hat die Grundseiten
2r und r und die Höhe (1/2)sqrt(3)r. Es ist ein halbes regelmäßiges
Sechseck.
Fensterproblem
U sei der Umfang.
Es gilt A=2xy+(Pi/2)x².
Nebenbedingung U=2x+2y+Pi*x, Zielfunktion A(x)=Ux-2x²-(Pi/2)*x²,
A'(x)=U-4x-Pi*x, A'=0 ergibt x=U/(4+Pi), y=x.
Das Rechteck ist ein Doppelquadrat.
Fächerrosetten
top
In meiner Heimatstadt Bad Salzuflen gibt es eine Reihe
von Fachwerkhäusern mit geschnitzten Fächerrosetten im Giebel
in Form von Halbkreisen. Diese Rosetten sind ein Merkmal der Weserrenaissance.
.. .. |
 |
Eines dieser Häuser steht in der Langen Straße
33, Baujahr 1612.
Alle Rosetten sind voneinander verschieden. Zu sehen
sind hier drei von 22 Rosetten.
Das sind drei bekannte Formen, nämlich die Palmetten-,
die Muschel- und die Fächerrosette.
Sonstiges
top
Halbkreis im Internet
top
Deutsch
Ingmar Rubin
Ellipse
im Halbkreis, Ein
Halbkreis im Trapez, (.pdf Dateien)
Wikipedia
Halbkreis,
Arbelos,
Möndchen
des Hippokrates, Dreiteilung
des Winkels, Apollonisches
Problem
Englisch
Eric W. Weisstein (world of mathematics)
Semicircle,
Pappus
Chain,
Apollonius'
Problem
Wikpedia
Semicircle,
Arbelos,
Lune
of Hippocrates
Referenzen top
(1) W.Breidenbach: Die Dreiteilung
des Winkels, Leipzig 1933
(2) Martin Gardner: Mathematischer
Karneval, Frankfurt/M, Berlin 1975 (ISBN 3 550 07675 4)
(Die Dreiteilung des Winkels, Seite
259ff.)
Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite
URL meiner
Homepage:
https://www.mathematische-basteleien.de/
©
2002 Jürgen Köller
top |
