Kreisausschnitt

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Was ist ein Kreisausschnitt?
Größen des Kreisausschnitts
Kreisabschnitt
In- und Umkreis des Kreisausschnitts
Größtes Rechteck im Kreisausschnitt

Größte Fläche und kleinster Umfang
Kreisausschnitt als Kegelmantel
Kreisausschnitte auf meinen Webseiten
Kreisausschnitt im Internet
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Was ist ein Kreisausschnitt?

...... Zeichnet man in einen Kreis mit dem Radius r zwei Radien ein, so begrenzen sie und der Kreisbogen b ein Flächenstück. Das ist der Kreisausschnitt oder der Kreissektor. - Nennt man den Winkel zwischen den Radien alpha, so entsteht ferner ein zweiter Kreisausschnitt mit dem Winkel 360°-alpha und dem Kreisbogen 2pi*r-b. Er wird auf dieser Webseite nicht untersucht.

Größen des Kreisausschnitts top

...... Offenbar ist der Kreisausschnitt durch den Radius r und den "Mittelpunktswinkel" alpha eindeutig bestimmt. Aus diesen beiden Größen lassen sich die Kreisbogenlänge b und der Flächeninhalt A berechnen.

Kreisbogenlänge b
Offenbar sind die Kreisbogenlänge b und der Winkel alpha proportional.
Es gilt b:alpha = (2pi*r):360°. Dann ist b = (pi*r)(alpha/180°).

Flächeninhalt A
Offenbar sind der Flächeninhalt A und der Winkel alpha proportional.
Es gilt A:alpha = (pi*r²):360°. Dann ist A = (pi*r²)(alpha/360°).

Ist der Winkel im Bogenmaß gegeben, werden die Formeln einfacher.
Kreisbogenlänge b
Es gilt b:alpha = (2pi*r):(2pi rad). Dann ist b = r(alpha/rad) oder b = rx.
Es ist üblich, alpha durch die Variable x zu ersetzen, wenn der Winkel im Bogenmaß angegeben wird. Dann erübrigt sich der Zusatz rad.
Flächeninhalt A
Es gilt A:alpha = (pi*r²):(2pi rad). Dann ist A = (1/2)r²(alpha/rad) oder A= (1/2)r²x.

Zahlenbeispiel
Gegeben: r=1 cm, alpha = 90°. Gesucht: A, b

....

b = (pi*r)(alpha/180°) = (pi*1 cm)(90°/180°) = (1/2)pi cm oder ungefähr 1,6 cm
A = (pi*r²)(alpha/360°) = (pi*1 cm²)(90°/360°) = (1/4)pi cm² oder ungefähr 0,8 cm²

Kreisabschnitt top
Sehne s und Höhe h

...... Zeichnet man in den Kreisausschnitt die Sehne s ein, so wird er aufgeteilt in einen Kreisabschnitt oder Kreissegment und in ein gleichschenkliges Dreieck.
Der Kreisabschnitt ist gekennzeichnet durch die Sehne s, die die Grundseite bildet, und die Höhe h. Beide Längen lassen sich aus den Grundgrößen Radius und Mittelpunktswinkel alpha wie folgt berechnen.

...

Für die Sehne s gilt sin(alpha/2) = s/(2r) oder s = 2r*sin(alpha/2).
Die Höhe im Dreieck sei h'. Es gilt cos(alpha/2) = h'/r oder h' = r*cos(alpha/2) und damit h = r-h'= r-rcos(alpha/2)
oder h = [1-cos(alpha/2)]r.

Flächeninhalt A_ab

...

Für die Berechnung des Flächeninhalts des Kreisabschnittes benötigt man den Flächeninhalt des Dreiecks.
Es gilt A_dr = (1/2)h's = (1/2)[r*cos(alpha/2)][2r*sin(alpha/2)] = r²*sin(alpha/2)*cos(alpha/2) = (1/2)r²sin(alpha).

Der Flächeninhalt A_ab des Kreisabschnitts ergibt sich aus A_ab = A-A_dr.
Das heißt A_ab =(pi*r²)(alpha/360°)-(1/2)r²sin(alpha) oder A_ab = [pi*(alpha/360°)-(1/2)sin(alpha)]r².

Ist der Winkel im Bogenmaß gegeben, so lauten die Formeln wie folgt.
s = 2r*sin(alpha/2) oder s = 2r*sin(x/2)
h = [1-cos(alpha/2)]r oder h = r[1-cos(x/2)].
A_ab = [pi*(alpha/360°)-(1/2)sin(alpha)]r² oder A_ab = (1/2)r²[x-(1/2)sin(x)]

Zahlenbeispiel
Gegeben: r=1 cm, alpha = 90°. Gesucht: s, h, A_ab

...

s = 2r*sin(alpha/2) = 2sin(45°) cm = sqrt(2) cm oder ungefähr 1,4 cm
h = [1-cos(alpha/2)]r = [1-(1/2)sqrt(2)]cm = (1/2)[2-sqrt(2)]cm oder ungefähr 0,3 cm

A_ab = [pi*(alpha/360°)-(1/2)sin(alpha)]r² = [(1/4)pi-(1/2)]cm² oder ungefähr 0,3 cm².

In- und Umkreis des Kreisausschnitts top

...... Der Kreisausschnitt hat einen Inkreis und einen Umkreis. Wie groß sind die Radien r_uund r_i der beiden Kreise, wenn der Kreisausschnitt durch den Radius r und den Mittelpunktswinkel alpha gegeben ist.

Umkreis

...

Der Umkreis des Kreisausschnitts ist der Umkreis des Dreiecks MAB. Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Die Mittelsenkrechte des Winkels alpha ist zugleich Winkelhalbierende.
Es gilt cos(alpha/2) = (1/2)r/r_u oder r_u = (1/2)r/cos(alpha/2).

Inkreis

...

Der Mittelpunkt des Inkreises liegt auf der Winkelhalbierenden des Mittelpunktswinkels alpha. Fällt man das Lot vom Mittelpunkt auf einen Radius, so entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, und es gilt sin(alpha/2) = r_i/x also x=r_i/sin(alpha/2).
Es gilt weiter r = r_i+x oder r = r_i+r_i/sin(alpha/2) oder r_i= r/[1+1/sin(alpha/2)] oder r_i = r*sin(alpha/2)/[1+sin(alpha/2)].

Zahlenbeispiel

...

Gegeben: r=1 cm, alpha = 90°. Gesucht: r_u, r_i
r_u = (1/2)r/cos(alpha/2) = 1/2 cm/ cos(45°)= (1/2)/[(1/2)sqrt(2)] cm oder (1/2)/sqrt(2) cm oder ungefähr 0,7 cm.
r_i = r*sin(alpha/2)[1+sin(alpha/2)]
= sin(45°)/[1+sin(45°)] cm = (1/2)sqrt(2)/[1+(1/2)sqrt(2)] cm = sqrt(2)-1 cm oder ungefähr 0,4 cm.

Größtes Rechteck im Kreisausschnitt top

...... Ein Rechteck mit den Seiten x und y wird in einen Kreisausschnitt gelegt, wie es die Zeichnung zeigt.
Welches Rechteck hat den größten Flächeninhalt?
Man verbindet den Mittelpunkt mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt und bringt statt der Seiten x und y den Winkel beta ins Spiel.

Die Zielfunktion ist A(x,y) = xy.
> Es gilt sin(beta) = y/r oder y = r*sin(beta).
> Es gilt cos(beta) = (z+x)/r oder z+x = r*cos(beta) oder x = r*cos(beta)-z.
Weiter gilt cot(alpha) = z/y oder z = y*cot(alpha) = r*sin(beta)cot(alpha).
Dann ist x = r*cos(beta)-z = r*cos(beta)-r*sin(beta)cot(alpha).

Die Zielfunktion ist jetzt A(beta) = yx = [r*sin(beta)][r*cos(beta)-r*sin(beta)*cot(alpha)]
oder A(beta) = r²[sin(beta)cos(beta)-cot(alpha)sin²(beta)]
oder A(beta) = r²[(1/2)sin(2beta)-cot(alpha)sin²(beta)]
Die Ableitung ist A'(beta) = r²[cos(2beta)-cot(alpha)2sin(beta)cos(beta)]
A'(beta) = r²[cos(2beta)-cot(alpha)sin(2beta)]
A'(beta) = 0 führt zu cos(2beta)-cot(alpha)sin(2beta) = 0 oder tan(2beta) = tan(alpha) oder beta = alpha/2.
Ergebnis
Die Ecke des größten Rechtecks im Kreisausschnitt liegt auf der Winkelhalbierenden.

Quellen
https://www.mathelounge.de/78142/extremwertaufgabe-rechteck-in-kreissektor
http://www.onlinemathe.de/forum/Extremwertaufgabe-Rechteck-in-Kreissektor

Größte Fläche und kleinster Umfang top
Es folgen zwei typische Extremwertaufgaben mit einer Zielfunktion und einer Nebenbedingung.
Maximaler Flächeninhalt

...... Gegeben ist der Umfang U = 2r+b eines Kreisausschnitts.
Gesucht ist der Mittelpunktswinkel x, bei dem der Flächeninhalt A = (1/2)r²x maximal ist.

Lösung
Zielfunktion: A(r,x) = (1/2)r²x, Nebenbedingung: U = 2r+b oder U = 2r+rx oder rx = U-2r oder x = U/r-2.
Dann ist A(r) = (1/2)r²(U/r-2) = (1/2)Ur-r² und A'(r) = (1/2)U-2r.
Die Bedingung A'(r) = 0 führt zu r = (1/4)U. Da A''(r) = -2<0 ist, liegt eine Maximalstelle vor.
Ist r = (1/4)U, so ist x = 2 oder alpha = (180°/pi)x = 360°/pi oder angenähert alpha = 114,6°.
Ergebnis
Der Flächeninhalt des Kreisausschnitts wird bei gegebenem Umfang bei einem Winkel von 2 rad = (360/pi)° maximal.

Minimaler Umfang

...

Gegeben ist der Flächeninhalt A = (1/2)r²x eines Kreisausschnitts.
Gesucht ist der Mittelpunktswinkel, bei dem der Umfang U= 2r+b minimal ist.

Lösung
Zielfunktion: U(r,x) = 2r+b oder U = 2r+rx , Nebenbedingung: A = (1/2)r²x oder x = 2A/r²
Dann ist U(r) = 2r+rx oder U(r) = 2r+2A/r und U'(r) = 2-2A/r².
Die Bedingung U'(r) = 0 führt zu r² = A oder r = sqrt(A). Da U''(r) = +4A/r³>0 ist, liegt eine Minimalstelle vor.
Ist r = sqrt(A), so sind x = 2 rad, b = 2r und alpha = (180°/pi)x = 360°/pi oder angenähert alpha = 114,6°.
Ergebnis
Der Umfang des Kreisausschnitts wird bei gegebenem Flächeninhalt bei einem Winkel von 2 rad = (360/pi)° minimal.

Vergleich

...

In beiden Fällen gelangt man zu demselben Kreisausschnitt.
Es ist kein Zufall, dass mit einem maximalen Flächeninhalt ein minimaler Umfang einhergeht.
Überlegungen zu Aufgaben dieser Art stehen auf meiner Seite Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung unter Paare von Aufgaben.

Kreisausschnitt als Kegelmantel top
Zum Kegel

...... Breitet man den Mantel eines Kegels in der Ebene aus, so entsteht ein Kreisausschnitt. Umgekehrt kann man aus einem Kreisausschnitt einen Kegel formen. Werden der Radius r und der Mittelpunktswinkel alpha vorgegeben, so kann man sich fragen, wie groß die Höhe H und der Grundkreisradius R des zugehörigen Kegels sind.

Lösung
Offenbar wird aus dem Radius r des Kreisausschnitts die Seitenlänge des Kegels und der Kreisbogen b wird zum Umfang des Grundkreises des Kegels.
Es gilt also b = 2pi*R oder (pi*r)(alpha/180°) = 2pi*R oder R = r(alpha/360°).
Weiter ist H² = r²-R² = r²- [r(alpha/360°)]² = r²[1-(alpha/360°)²] oder H = r*sqrt[1-(alpha/360°)²].
Ergebnis
Ein Kreisausschnitt mit den Größen r und alpha führt zu einem Kegel mit dem Radius R= r(alpha/360°) und der Höhe H = r[1-(alpha/360°)].

Größter Kegel
Ein bekanntes Extremwert-Problem ist das folgende.
Gegeben ist ein Kreisausschnitt durch den Radius r und den Mittelpunktswinkel alpha. Wie muss der Winkel gewählt werden, damit das Volumen des Kegels, den man daraus formen kann, einen Maximalwert annimmt.

Lösung

...

Der Kegel hat des Volumen V = (1/3)pi*R²H.
Es gilt R = r(alpha/360°) oder im Bogenmaß R = rx/(2pi).
Es gilt H = r[1-(alpha/360°)²] oder mit dem Bogenmaß H = r*sqrt[1-x²/(2pi)²] =[r/(4pi²)]*[sqrt(4pi²-x²)].

Das führt zur Zielfunktion V(x) = (1/3)pi*[rx/(2pi)]²*[r/(4pi²)]*[sqrt(4pi²-x²)] = ...
oder V(x) = (1/24)(r³/pi²)x²*sqrt(4pi²-x²) = cx²*sqrt(4pi²-x²) mit c=(1/24)(r³/pi²).
Es ist einfacher, statt nach dem Maximum von V(x) nach dem des Quadrats V²(x) zu suchen.
Es gilt V²(x) = c²x⁴(4pi²-x²) oder V²(x) = c²x⁴(4pi²-x²) oder V²(x) = c²(4pi²x⁴-x⁶). Dann ist [V²(x)]' = c²(16pi²x³-6x⁵).
[V²(x)]' = 0 führt zu 16pi²-6x²=0 oder x² = (8/3)pi² oder x = (2/3)sqrt(6)pi. Auf eine Bestätigung von [V²(x)]'' < 0 verzichte ich.
Ergebnis
Bei einem Mittelpunktswinkel von x = (2/3)sqrt(6)pi rad = 2sqrt(6)*60° oder ungefähr 293,9° nimmt der Kegel das größte Volumen an.

Form des größten Kegels
Die Form des Kegels wird durch das Verhältnis des Radius zur Höhe beschrieben.

...

R = (rx)/(2pi) = r[(2/3)sqrt(6)pi]/(2pi) = (1/3)sqrt(6)r
H² = r²-R² = r²-(6/9)r² =(1/3)r² oder H = (1/3)sqrt(3)r
R:H = [(1/3)sqrt(6)r]:[(1/3)sqrt(3)r] oder R:H = sqrt(2):1

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Alle Sehnenvierecke aus vier Kreisausschnitten