Was sind achsen- und punktsymmetrische Figuren?

Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn es möglich ist, einen Spiegel so an eine Hälfte der Figur senkrecht zur Zeichenebene zu stellen, dass ihr Spiegelbild  und die andere Hälfte zur Deckung kommen.  Ersetzt man den Spiegel durch eine Glasscheibe, so kann man Urbild und Bild gleichzeitig sehen, wenn auch nicht so deutlich.  Gleichschenkliges Trapez . .

Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie einen Punkt hat, um den die Figur so um 180° gedreht werden kann, dass sie mit der Ausgangsfigur zur Deckung kommt.  Man sagt auch, sie ist drehsymmetrisch der Ordnung 2. ... Parallelogramm

Anders ausgedrückt:

Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie bei einer Spiegelung an einer Geraden in sich selbst übergeht.  Die Gerade heißt Spiegelachse oder einfach Achse.

Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie bei einer Spiegelung an einem Punkt in sich selbst übergeht.  Der Punkt heißt Spiegelzentrum oder einfach Zentrum.

Grundlagen    top
Den beiden Formen symmetrischer Figuren liegen zwei Kongruenzabbildungen der Ebene auf sich selbst zu Grunde. 
Das sind die Achsenspiegelung und die Punktspiegelung. 
 

Achsenspiegelung

Punktspiegelung..

Spiegelung eines Punktes Eine Gerade a sei als Achse gegeben. Dann findet man zum Punkt P den Bildpunkt P', indem man zu a ein Senkrechte zeichnet und auf der Gegenseite den Punkt P' im gleichen Abstand ermittelt.  Die Strecke PP' heißt Zuordnungslinie. F halbiert PP'. Spiegelt man den Punkt P' an a, so erhält man wieder P, P''=P. Die Abbildung ist involutorisch.

Spiegelung eines Punktes Ein Punkt Z als Zentrum sei gegeben.  Dann findet man zum Punkt P den Bildpunkt P', indem man die Gerade PZ zeichnet und auf der Gegenseite den Punkt P' in gleicher Entfernung ermittelt.  Die Strecke PP' heißt Zuordnungslinie. Z halbiert PP'. Spiegelt man den Punkt P' an Punkt Z, so erhält man wieder P, P''=P. Die Abbildung ist involutorisch. . .

Zeichnen eines Bildpunktes
Gut geeignet ist das Geodreieck. Doch es ist Tradition zu konstruieren.

Gegeben sei die Achse a und der Punkt P. Konstruiere den Bildpunkt P'.  >Zeichne einen Kreis um P mit passendem Radius.  Er schneidet die Achse in den Punkten A und B. >Zeichne um Punkt A einen Kreis mit dem gleichen Radius. >Zeichne um Punkt B einen Kreis mit dem gleichen Radius. >Der Schnittpunkt der Kreise ist der gesuchte Punkt P'.

Gegeben sei das Zentrum Z und der Punkt P. Konstruiere den Bildpunkt P'.  >Zeichne die Gerade PZ.  >Zeichne um Punkt Z einen Kreis mit dem Radius PZ. > Der Schnittpunkt von Gerade und Kreis ist der gesuchte Punkt P'. .. .

Spiegelung einer Strecke

Es genügt, nur die Endpunkte der Strecke zu spiegeln. Die Strecke PQ geht nämlich wieder in eine (kongruente) Strecke P'Q' über. Die Geraden  PQ und P'Q' schneiden sich in einem Punkt der Achse.

Es genügt, nur die Endpunkte der Strecke zu spiegeln. Die Strecke PQ geht nämlich wieder in eine (kongruente) Strecke P'Q' über. Die Geraden PQ und P'Q' sind parallel. .

Fixgerade

Steht eine Gerade f senkrecht auf der Achse a, so fällt ihre  Bildgerade f' mit f zusammen. Dabei tauschen sich die Punkte bis auf einen aus. Diese Geraden heißen Fixgeraden. Die Gerade a (=a') heißt Bildpunktgerade, da alle Punkte in sich selbst übergehen. .

. Geht eine Gerade f durch das Zentrum, so fällt die Bildgerade f' mit ihr zusammen. Dabei tauschen sich die Punkte bis auf einen aus. Diese Geraden heißen Fixgeraden. Eine Bildpunktgerade wie bei der Achsenspiegelung gibt es nicht. Der einzige Fixpunkt ist Z selbst..

Spiegelung eines Dreiecks

Ein Dreieck geht bei einer Geradenspiegelung in ein kongruentes Dreieck über.  Dabei wird der Richtungssinn vertauscht. Wie man auch das Dreieck ABC in der Ebene bewegt, man kann es nicht mit Dreieck A'B'C' zur Deckung bringen. Man kommt um eine Klappung im Raum, z.B. mit der Achse als Scharnier, nicht herum.

Ein Dreieck geht bei einer Punktspiegelung in ein kongruentes Dreieck über.  Dabei wird der Richtungssinn beibehalten. Man kann das Dreieck ABC in der Ebene so bewegen, dass es mit Dreieck A'B'C' zur Deckung kommt.

Zum Vergleich die Achsenspiegelung

Erzeugung von Figuren top
Zeichnung
Einfache symmetrische Figuren erzeugt man punktweise.

Ein Drachenviereck z.B. erzeugt man, indem man ein Dreieck ABC an einer Seite spiegelt.

Ein Parallelogramm z.B. erzeugt man, indem man ein Dreieck ABC am Mittelpunkt einer Seite "punktspiegelt".

Zeichenprogramm
Unregelmäßige symmetrische Figuren kann man mit einem Zeichenprogramm erzeugen. Ich wähle MSPaint, weil es unter Windows unter Start/Zubehör für jedermann, der Windows benutzt, zugänglich ist. Man gibt also die halbe Figur vor und ergänzt sie entsprechend.

Hannah, 4 Jahre

Achsen- und punktsymmetrische Figuren      top
Es gibt Figuren wie das Rechteck, die sowohl achsensymmetrisch als auch punktsymmetrisch sind. 

......

Für diese Figuren gibt es zwei aufeinander senkrecht stehende Symmetrieachsen. Das Zentrum liegt im Schnittpunkt dieser beiden Achsen.

Zum Beweis

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Die erste Zeichnung zeigt, wie ein Punkt P zuerst an der einen Achse, dann an der anderen Achse gespiegelt wird. Die zweite Zeichnung stellt dar, wie man direkt von Punkt P zu Punkt P'' über eine Punktspiegelung gelangt. Kongruente Dreiecke stellen sicher, dass Punkt P und P'' auf einer Geraden liegen und dass PZ=ZP'' gilt.

Buchstaben und Symmetrie top
Buchstaben als Figuren
Das Parade-Beispiel symmetrischer Figuren sind bestimmte große Buchstaben.

achsensymmetrisch rot

punktsymmetrisch rot

Die Buchstaben H, I, O und X sind sowohl achsen- als auch punktsymmetrisch. 

Weitere Beispiele symmetrischer Figuren    top
In diesem Kapitel zeige ich symmetrische Figuren meiner Internetseiten. Da ist kein Mangel.

Zweikreisfiguren

Vieleck

Vieleck

Acht

Herz

Kreisfiguren

Hierarchie der Vierecke

Vierstrahlige Figuren

Pentominos

Hexominos

Polyiamonds

Tetradominos

Punktsymmetrische Figur aus 28 Dominosteinen

Polywaben

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Juliamengen

Langton -Ameise

Eulersche Tour

Tetraflexagon

Symmetrische Kurven top
Es gelten die Sätze:

Eine Funktion f ist achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse, wenn f(x)=f(-x) für alle x-Werte des Definitionsbereichs gilt.. Das Standard-Beispiel ist f(x)=x².

Eine Funktion f ist punktsymmetrisch bezüglich des Nullpunkts, wenn f(x)=-f(-x) für alle x-Werte des Definitionsbereichs gilt. Das Standard-Beispiel ist f(x)=x³.

Zwei aufwändigere Beispiele. Unter den Relationen F(x,y)=0 findet man solche mit Graphen, die achsen- und zugleich punktsymmetrisch sind.

Ellipse x²/9+y²/4-1=0

Hyperbel x²/9-y²/4-1=0

Sie sind achsensymmetrisch bezüglich der x- und y-Achse und punktsymmetrisch bzgl. des Nullpunkts. 
Es gilt F(x,y)=F(-x,-y)

Symmetrische Körper top
Wenn man ein Quadrat wie in den Zeichnungen angegeben faltet, gelangt man zu zwei symmetrischen Körpern.
(1) Seite 210f. und 219f.

Faltet man an den roten Linien nach oben und richtet die Streifen rechts und links vertikal nach oben aus, so entsteht ein symmetrischer Körper. Denkt man sich eine Mittelebene E, so ist jeder Punkt des Körpers spiegelsymmetrisch zu einem anderen bzgl. dieser Ebene. Körper dieser Art sind spiegelsymmetrisch.

Faltet man an der roten Linie nach oben und an der blauen nach unten und richtet die Streifen rechts und links vertikal nach oben und unten aus, so entsteht ein symmetrischer Körper. Dreht man ihn um 180° um die senkrecht auf der Quadratebene stehenden Achse S, so geht er in sich selbst über.  Körper dieser Art sind drehsymmetrisch der Ordnung 2.

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Martin Gardner schreibt  in (1): "Ich habe einmal behauptet, dass ein dreidimensionaler Körper, der keine Symmetrieebene hat, ... nicht mit seinem Spiegelbild zur Deckung gebracht werden könne...  Diese Aussage ist falsch!" Der nebenstehende Körper ist drehsymmetrisch der Ordnung 2 und nicht spiegelsymmetrisch. Er geht trotzdem in sich selbst über, wenn man ihn an der Quadratebene spiegelt.

Symmetrische Figuren im Internet     top

Deutsch

Universität Bayreuth - Lehrstuhl für Mathematik und ihre Didaktik
Achsensymmetrische Figuren

Wikipedia
Achsensymmetrie, Spiegelung (Geometrie),  Symmetrisch, Symmetrieachse, Involution (Mathematik),  Inversion (Geometrie)

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Reflection in Line,  Rotation Transform

Wikipedia
Reflection (mathematics),  Symmetry, Reflection symmetry, Involution, Inversive geometry

MathsIsFun.com
symmetry, Symmetry Artist 

Referenzen    top
(1) Martin Gardner: Geometrie mit Taxis, die Koepfe der Hydra und andere mathematische Spielereien, Basel 1997 
(2) Martin Gardner: Unsere gespiegelte Welt, Ullstein, Frankfurt am Main, Wien 1982