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Was ist die Achtkurve?
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Die Achtkurve ist eine Kurve in Form einer Acht.
Die Acht hat wohl von den zehn Ziffern wegen der Punkt-
und Achsensymmetrie das schönste Aussehen. |
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Es gibt keinen einheitlichen Namen für diese Kurve.
Man könnte sie auch Achterkurve, achtförmige Kurve oder
achtförmige
Linie nennen. Der Name Achtkurve steht in Analogie zu dem der Herzkurve.
Im Englischen findet man die Namen Eight Curve,
Eight
Shaped Curve und Figure (of) Eight Curve. Über diese Wörter
gelangt man bei einer Suchmachine wie google.com zu Seiten über die
Acht.
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Die liegende Acht ist bekannt geworden als Zeichen für
"Unendlich". |
Schreibweisen
der Acht top
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Schreibt man die Ziffer 8, so beginnen die meisten oben
in der Mitte.
Rechtshänder zeichnen zuerst die obere geschlossene
Linie als Linkskurve, Linkshänder als Rechtskurve.
Diese Arten des Schreibens wünschte z.B. der "Palm",
bei dem ein OCR-Programm die Acht dann erkennt. |
Obwohl die Figur der Acht wohldefiniert ist, kann sie unterschiedliches
Aussehen haben.
Als Beispiel folgen Darstellungen der Acht aus Zeichensätzen
unter Windows.
Die Acht ganz rechts ist in Sütterlin-Schrift geschrieben.
Acht aus
Bögen und Strecken top
Die Acht besteht im einfachen Falle aus zwei Kreisen
und den Tangentenabschnitten der inneren gemeinsamen Tangenten.
Konstruktion:
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> Zeichne zwei Quadrate Ecke an Ecke (gelb).
> Zeichne je einen Kreis um die äußeren Eckpunkt
mit dem Radius der Seitenlänge eines Quadrats.
>Kennzeichne die Acht. |
Es sei der Radius r des Kreises gegeben.
Die Figur setzt sich aus zwei Dreiviertelkreisen und
zwei Quadraten zusammen.
Länge der Achtkurve
Die Länge oder der Umfang ist U=4r+2(3/4)(2*pi*r)=(4+3*pi)r.
Flächeninhalt der Achtkurve
A=2[(3/4)*pi*r²]+2r²=(3*pi+4)r²/2
Verallgemeinerung
Im allgemeinen Fall stehen die Tangenten nicht unbedingt
aufeinander senkrecht.
r ist der Radius, 2a der Abstand der Mittelpunkte,
2*alpha der Winkel zwischen den Tangenten.
Angenommen, der Radius r
und der Winkel alpha sind gegeben.
Länge der Achtkurve
Die Länge setzt sich aus zwei Kreisbögen und
vier Tangentenabschnitten zusammen: U=2U'+4s.
U' ist die Länge der Kreislinie mit dem Umfangswinkel
180°+2alpha.
Es gilt die Proportion U':(2*pi*r)=(180°+2alpha):360°.
Daraus folgt U'=pi*r(90°+alpha)/90°.
Nach der Definion des Tangens ist tan(alpha)=r/s oder
s=r/tan(alpha).
Eingesetzt U=pi*r(90°+alpha)/45°+4r/tan(alpha).
Flächeninhalt
der Achtkurve
Der Flächeninhalt setzt sich aus zwei Kreisausschnitten
und vier rechtwinkligen Dreiecken zusammen: A=2A'+4A''
Für einen Kreisausschnitt gilt A':pi*r²=(180°+2alpha):360°
oder A'=pi*r²(90+alpha)/90
Für ein Dreieck gilt A''=rs/2=(1/2)r²/tan(alpha).
A=2A'+4A''=[(90°+alpha)/90°*pi+2/tan(alpha)]r²
Ist a=2r, so entarten die
Tangentenabschnitte zu einem Punkt und die Acht zu einem Kreis.
Lemniskate von
Bernoulli top
Definition
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Für die Lemniskate gilt r1r2=e².
In Worte: Die Punkte, deren Produkt der Entfernungen
von den festen Punkten F1 und F2 gleich dem Quadrat
der halben Entfernung der Punkte ist, liegen auf einer Kurve, der Lemniskate. |
Polargleichung
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Die Lemniskate hat die Polargleichung r² = 2e²cos(2t)
oder r=e*sqrt[2cos(t)].
Ist t=0, so ist r=sqrt(2)*e=a. Dann ist r=a*sqrt[cos(2t)]. |
Herleitung der Formel
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Nach dem Kosinussatz ist r1²=r²+e²-2re*cos(t)
und r2²=r²+e²-2re*cos(180°-t) oder r2²=r²+e²+2re*cos(t).
Daraus folgt r1²r2²=(r²+e²)²-4r²e²cos²(t).
Wegen r1r2=e² ist (r²+e²)²-4r²e²cos²(t)=e4
oder
mit e ungleich 0 ist r²=4e²cos²(t)-2e².
Mit cos(2t)=2cos²(t)-1 ist r²=2e²cos(2t)
qed. |
Herleitung
der Koordinatengleichung
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Es gilt allgemein r²=x²+y² und cos(t)=x/r.
Setzt man diese Terme in r²=a²cos²(t)-a²
ein, ergibt sich (x²+y²)²-a²(x²-y²)=0. |
Ergebnis: Die Koordinatengleichung ist (x²+y²)²-a²(x²-y²)=0.
Herleitung
der Parametergleichung
Es gilt allgemein x=r*cos(t) und y=r*sin(t).
Hier gilt speziell r=a*sqrt[cos(2t)]
Daraus folgen die Parametergleichungen x=a*sqrt[cos(2t)]*cos(t)
und y=a*sqrt[cos(2t)]*sin(t).
Erste
Ableitung
y'=dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=y'(t)/x'(t).
x(t)=a*sqrt[cos(2t)]*cos(t) führt zu x'(t)= -a*sin(2t)*cos(t)/sqrt[cos(2t)]-a*sin(t)*sqrt[cos(2t)]=
-a*sin(3t)/sqrt[cos(2t)]
y(t)=a*sqrt[cos(2t)]*sin(t) führt zu y'(t)= -a*sin(2t)*sin(t)/sqrt[cos(2t)]+a*cos(t)*sqrt[cos(2t)]=
a*cos(3t)/sqrt[cos(2t)]
y'=y'(t)/x'(t)= -cot(3t)
Besondere
Punkte
Wegen der Punktsymmetrie der Lemniskate
kann man sich auf den ersten Quadranten beschränken.
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In P1 ist ein Wende- und Knotenpunkt mit der
Steigung 1 bzw. -1.
P2 ist ein Hochpunkt mit r=30° und den
Koordinaten x2=sqrt(6)/4 und y2=sqrt(2)/4.
P3 ist ein Punkt mit x3=a und einer
vertikalen Tangente. |
Die Aussagen zu den drei Punkten können mit Gleichungen
oben begründet werden.
Flächeninhalt
Die Lemniskate schließt zwei Flächenstücke
ein. Für den Flächeninhalt im 1.Quadranten gilt
Da die Lemniskate punktsymmetrisch ist, gilt für die
gesamte Fläche A=a².
Länge
Bei der Bestimmung der Länge
der Lemniskate gelangt man zur Formel
Das Integral ist als elliptisches
Integral nur näherungsweise zu lösen.
Für a=1 ergibt sich U=5,244...
Näheres findet man z.B. bei MathWorld unter "Lemniscate
Function".
Die
Lemniskate als Spezialfall der Cassinischen Kurven
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Die Cassinischen Kurven werden durch die Gleichung (x2+y2)2
- 2e2 (x2-y2) - a4 + e4=0
beschrieben.
Die nebenstehenden Cassinischen Kurven entstehen, wenn
man e=6 festhält und für a die Werte 10 (blau), 8.5 (grau), 7
( rot), 6 (schwarz) und 4 (grün) einsetzt.
Für a=e=6 ergibt sich die Lemniskate. |
Etwas mehr über Cassinische Kurven findet man auf meiner
Seite Eilinien.
Lemniskate
von Gerono, Lissajous-Figur top
Lemniskate von Gerono
(Eight Curve)
x4-b2x2+b2y2=0
mit b=1
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Eine Lissajous-Figur
x=cos(t) /\ y=sin(2t)
oder 4x4-4x2+y2=0
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Beide Kurven gehören zur Kurvenschar
a2x4-a2b2x2+b4y2=0
oder besser geschrieben als (x/b)4 – (x/b)2 + (y/a)2
= 0.
Einmal ist a=b(=1) und zum anderen b=1 und (a=2).
Die Erzeugung von Kurven
dieser Art kann man sich folgendermaßen vorstellen:
1 Gegeben ist ein Kreis mit dem Radius b und darin zentral
zwei sich berührende Kreise mit dem Durchmesser a. Sie liegen in
einem Koordinatensystem.
2 Eine Ursprungsgerade soll sich um den Nullpunkt des
Koordinatensystems um 360° drehen. Der Drehwinkel sei phi.
Dabei wird ein Punkt verfolgt, der durch die Schnittpunkte
der Geraden mit dem b-Kreis und a-Kreis bestimmt wird.
Seine x-Koordinate ist der x-Wert des Schnittpunktes
mit dem b-Kreis.
Seine y-Koordinate ist der y-Wert des Schnittpunktes
mit dem a-Kreis.
3 Für den x-Wert gilt cos(phi)=x/b
4 Für den y-Wert gilt sin(2*phi)=y/(a/2). (2*phi
ist der Mittelpunktswinkel zu phi.)
Aus den Gleichungen unter 3 und 4 folgt die Koordinatengleichung
a2x4-a2b2x2+b4y2=0.
Dabei verwendet man sin(2*phi)=2sin(phi)cos(phi)
5 Die Kurve hat die Parameter a=5 und b=6.
Weitere Achtkurven
top
Kurve von Watt
r²=b²-[a*sin(t)(c²-a²cos²(t))]²
mit a=b=1, c²=2
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xxx
y²=x²*ln(a²/x²) mit a=1
Quelle (3)
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Hippopede
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Devil's Curve
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Eine Nephroide
x=cos(t)-cos(3t).
y=sin(t)-sin(3t)
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Doppelkreis
r=abs[cos(t)] oder
(x+1)²+y²=R² /\ (x-1)²+y²=R²
mit R=1
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Doppeleier meiner Seite Eilinien:
r(t)=cos²t
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x4+2x2y2+4y4-x3-6x2-xy2=0
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Noch eine Acht: (x/3)²*((x/3)²-1)+0.25*(abs(y))²=0
Räumliche Acht top
Ein rotierender Doppelkreis erzeugt eine räumliche
Acht.
Eine rotierende Lemniskate
erzeugt eine räumliche Acht.
Achtkurven im
Internet top
Deutsch
Hans-Jürgen Caspar (Mathroid)
Kurvenverwandtschaft
bei der konformen Abbildung w=1/z
Ingmar Rubin (ZUM)
Der
optimale Schwimmring
Wikpedia
Lemniskate,
Hippopede,
Unendlichkeit,
Acht,
Achtknoten,
Achterbahn
Englisch
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Butterfly
Curve, Devil's
Curve, Dumbell
Curve, Eight
Curve, Eight
Surface, Lemniscate,
Lemniscate
Function,
Toric
Section,
Viviani's
Curve
Jan Wassenaar (2dcurves)
besace
(a Lissajous curve), Cassinian
oval, hippopede
(curve of Booth), Watt's
curve
JOC/EFR/BS (Famous curves index)
Devil's
Curve, Figure
Eight Curve, Lemniscate
of Bernoulli, Spiric
Sections
Wikipedia
Lemniscate
of Bernoulli, Lemniscate
of Booth, Lemniscate
of Gerono, Infinity,
Eight,
Figure
of Eight Knot
W. Volk
Münze/Coin
(Zeugnisse über Mathematiker - Monuments on Mathematicians)
Xah Lee (Famous Plane Curves)
Lemniscate
of Gerono, Lemniscate
of Bernoulli, Nephroid
Französisch
Robert Ferreol (mathcurve.com)
LEMNISCATE
DE BERNOULLI, LEMNISCATE
DE BOOTH, LEMNISCATE
DE GERONO, SPIRIQUE
DE PERSÉE,
COURBE
DE WATT
Referenzen top
(1) Heinz Nickel (Hrsg.): Algebra und Geometrie für
Ingenieur- und Fachschulen, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt/M und Zürich,
1966
(2) W. Leupold (Hrsg.): Analysis für Ingenieur-
und Fachschulen, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt/M und Zürich, 1966
(3) Richard Doerfling: Mathematik für Ingenieure
und Techniker, München 1965
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2004 Jürgen Köller
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