...	Pentominoes heißen die 12 Figuren, die man aus fünf Quadraten bilden kann. Die Quadrate muss man so zusammenstellen, dass sie mindestens eine Seite gemeinsam haben. Wegen ihrer mehr oder weniger großen Ähnlichkeit mit großen Buchstaben hat man sie nach ihnen benannt.

Rechtecke bilden top
Das Grundproblem besteht darin, Rechtecke zu legen.
Vier Rechtecke sind möglich:

Neue Figuren bilden top
Außer Rechtecken kann man auch andere Figuren aus Pentominoes bilden. Man legt kein Muster fest und baut einfach drauf los. Dann ist es relativ leicht, neue Figuren zu finden. 

Der Fantasie sind keine Grenzen gesetzt.

Figuren mit Löchern top
Ein Quadrat mit den Maßen eines Schachbretts  8x8 lässt sich legen, wenn man 4 Löcher zulässt (8x8-4=60) (Bild 1). 
Daraus leiten sich neue Probleme ab: 
>Rechtecke mit isolierten Löchern (Bild 2). 
>Figuren mit möglichst vielen isolierten Löchern (Bild 3). Es geht bis zu 13 Löchern. Dafür gibt es nur 2 Lösungen (Buch 2).

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Vergrößerungsprobleme  top
Dreifache Pentominoes:

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Ein einzelner Pentomino-Stein wird aus neun Steinen in dreifacher Vergrößerung nachgelegt.  Drei Steine bleiben übrig.

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Eine Erhöhung des Schwierigkeitsgrades besteht darin, die betreffenden Pentominoes nicht zu verwenden.

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Man kann auch in einem dreifachen Pentomino ein Pentomino aussparen und den Rest mit acht Pentominoes ausfüllen.  Dann bleiben vier Pentominoes übrig.

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Einige kompakte Pentominoes lassen sich mit vier Steinen in doppelter Größe nachlegen. Dann bleiben acht Steine übrig.

Number of ways to duplicate a pentomino using four pieces 

Dup F = 1

Dup I = 2

Dup L = 8

Dup N = 7

Dup P = 50

Dup T = 1

Dup U = 7

Dup V = 0

Dup W = 5

Dup X = 0

Dup Y = 2

Dup Z = 7

Number of ways to triplicate a pentomino using any nine of the twelve pieces 

Trip F = 443

Trip I = 201

Trip L = 938

Trip N = 610

Trip P = 9144

Trip T = 382

Trip U = 444

Trip V = 482

Trip W = 202

Trip X = 20

Trip Y = 809

Trip Z = 395

Number of ways to triplicate a pentomino not using the piece being replicated 

Trip F = 125

Trip I = 19

Trip L = 113

Trip N = 68

Trip P = 497

Trip T = 106

Trip U = 48

Trip V = 63

Trip W = 91

Trip X = 15

Trip Y = 86

Trip Z = 131

Ringe top
Man kann aus Pentominoes Ringe legen, Brücken bauen oder weitere ähnliche Figuren bilden, so dass möglichst viele Quadrate eingeschlossen werden.  - Belgische Schüler der Schule "TID" in Ronse mit ihrer Lehrerin Odette de Meulemeester haben sich auf  Probeme dieser Art spezialisiert. 
   (URL http://pentomino.classy.be/indexnl.html)
 - Der Ring umfasst 120 Quadrate. Es gibt nach (URL: http://www.iread.it/lz/maximizing.html) einen Ring mit 128 Quadraten.
 - Die Brücke rechts schließt 251 Quadrate ein. Es gibt nach (8) eine Brücke mit 278 Quadraten.

Noch einmal Rechtecke    top

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Man kann Pentominoes auch so legen, dass das Innere oder der Rand ein Rechteck bilden.  Man kann auch beides erreichen.

Links werden 84 Quadrate eingeschlossen, 90 ist maximal (Buch 6, nach Lunnon)

Vom Pentomino zum Pentawürfel    top

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Pentominosteine sind meist nicht zweidimensional, sondern sie werden aus Würfeln hergestellt und bilden dann ebene Pentawürfel. Sie sind dann handlicher und ermöglichen neue Raum-Puzzles.

Quader aus Pentawürfel     top
Das Grundproblem besteht darin, Quader zu legen.
Man kann drei Quader legen:
  Lösungen: Es gibt 3940 Lösungen für 3x4x5 , 264 Lösungen für 2x5x6 und 12 Lösungen für 2x3x10.

Große Pentawürfel      top
Man kann Pentominoes in doppelter Größe und in dreifacher Höhe bilden. Es folgt eine Lösung für das T-Pentomino. Anzahl aller Lösungen: W (0), X(0), F(1),  T(3), Y(7), U(10), I(12), V(21), Z(24), N(51), L(99), P(1082). 

Weitere Körper aus Pentawürfel   top
Man kann aus den Pentominoes neue Körper bauen. Es folgt ein Beispiel, ein Turm mit einem Lichtschacht in der Mitte. Der Fantasie sind keine Grenzen gesetzt.

Daten der Pentawürfel     top Bedeutung der Zahlen:

V Volumen, O Oberfläche, K Kantensumme k Anzahl der Kanten, e Anzahl der Ecken, a Anzahl der Seitenflächen

Es gilt der Satz e + a - k = 2.       (Dank an 6c, 7a, 7c, 7d von 99/00)

Weitere Pentawürfel stop

...	Neben den ebenen Pentawürfeln gibt es 17 räumliche. Fünf sind symmetrisch bzgl. einer Ebene(pink). Die übrigen treten als Paare spiegelbildlicher Würfelkörper auf. Drei Paare enthalten drei aufeinanderfolgende Würfel (hellblau), drei nicht (grün).

Basteln von Pentominoes    top
Will man sich mit Pentominoes beschäftigen, muß man sie unbedingt bauen.

Im einfachsten Fall genügen Figuren aus Pappquadraten, denn viele Probleme bleiben in einer Ebene.

Zur Herstellung dreidimensionaler Pentominoes zersägt man eine quadratische Holzstange, die man in jedem Baumarkt erhält, zu Würfeln und leimt die Würfel entsprechend zusammen.

Eine weitere Methode ist das Zusammenkleben von Spielwürfeln. Man verwendet am besten Zweikomponentenkleber, da dieser nicht sofort erhärtet und man dann in Ruhe die Würfel zu Pentominoes zusammensetzen kann. 

Ein billige Methode ist die Herstellung aus Papier. Man muß dazu zu jedem Pentomino ein Netz entwerfen, dann die Körper falten und zusammenkleben.

Pentominoes aus Kunststoff  werden in Deutschland unter dem Namen "Zwölfer-Puzzle" verkauft. Sie kosten zwischen 8,50 € - 9,90  € (November 2014) und werden in den diversen Internetshops und im Einzelhandel verkauft. Hersteller ist Elke Rittel, Am Blindgraben 12A, 64331 Weiterstadt, mail@zwoelfer-puzzle.de. Dem Zwölfer-Puzzle ist ein Heftchen beigelegt, in dem viele Lösungsvorschläge enthalten sind.

Pentominoes im Internet top

Deutsch

Andrew Clarke
Polyominoes

B.Berchtold
Pentominoes - Lösung 6x10 - Applet Online

Dr. Nagy László
Pentomino HungarIQa
Das Element der Pentominoes ist kein Quadrat mehr, sondern ein Rhombus. Puzzle-Aufgaben mit jetzt 20 Pentominoes

Thimo Rosenkranz
Pentomino-Figuren

Wikipedia
Pentomino, Polyomino

Andrew Clarke
Polyominoes (Tetrominoes, Pentominoes, Hexominoes, Heptominoes, Octominoes, Fixed (translation only) Polyominoes, Links)

c.w.ricken
play pentacubes online

David J. Eck
Pentomino Solver(8x8 with 4 holes), Applet

Eithan Samara
Pentominoes-3D Solver

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Pentomino, Polyomino

Gerard's Home Page
Gerard's Universal Polyomino Solver

Kevin Gong
The Mathematics of Polyominoes

Michael Reid
Michael Reid's polyomino page

Miroslav Vicher (Miroslav Vicher's Puzzles Pages)
Polyominoes

Snaffles home page
Pentomino Relationships

Torsten Sillke
Tiling and Packing results

Wikipedia
Pentomino, Polyomino

Leonid Mochalov [PUZZLES of LEONID MOCHALOV] 
Puzzles with Polyominoes

Referenzen   top
(1) Martin Gardner: Mathematical Puzzles & Diversions, New York 1959
(2) bild der wissenschaft 7/1976
(3) Pieter van Delft, Jack Botermans: Denkspiele der Welt, München 1980
(4) Martin Gardner: Bacons Geheimnis, Frankfurt a.M. 1986 (Polywürfel)
(5) R.Thiele, K.Haase: Der verzauberte Raum, Leipzig, 1991 
(6) Jens Carstensen: Legespiele, MU26:2 1980 (Seite 5 bis 36)
(7) Solomon W.Golomb: Polyominoes, Princeton, New Jersey 1994 (ISBN0-691-08573-0)
8) Pieter Torbijn: Pentominos Bridges, Cubism For Fun 59, November 2002