Prisma

Inhalt dieser Seite

Was ist ein Prisma?
Was ist ein dreiseitiges Prisma?
Gleichkantiges Prisma
Größtes regelmäßiges dreiseitiges Prisma
Schnitte durch ein Prisma
Dreiseitige Prismen um uns

Was ist ein quadratisches Prisma?
Größen des Prismas
Größte Prismen
Zwei besondere Quader
Wolkenkratzer und Türme
Prisma im Internet.

Zur Hauptseite "Mathematische Basteleien"

Was ist ein Prisma?
Gerades Prisma

...... Verschiebt man ein beliebiges Vieleck längs der Flächennormalen parallel im Raum, so entsteht ein Prisma.
Dieser Körper ist im engeren Sinne ein Prisma und heißt genauer gerades Prisma.

Schiefes Prisma

...

Ist die Richtung der Verschiebung nicht senkrecht zur Grundfläche, so entsteht ein schiefes Prisma.

Dreiseitiges Prisma und quadratisches Prisma

...

Unter den Prismen gibt es solche, die Dreiecke oder Quadrate als Grundflächen haben.

Sie heißen dreiseitiges (gerades) Prisma oder quadratisches (gerades) Prisma.

Zylinder

...

Es ist die Frage, ob man auch die Zylinder zu den Prismen zählt.

Das ist zwar nicht üblich, kann man aber tun.

Früher hieß das Prisma auch Säule. Dieser Begriff ist aus den Lehrbüchern der Mathematik verschwunden.

Auf dieser Seite geht es um das dreiseitige und das quadratische Prisma.

Was ist ein dreiseitiges Prisma? top
Das dreiseitige Prisma heißt manchmal auch Dreieckprisma oder Dreiecksäule.

...... Verschiebt man ein beliebiges Dreieck parallel im Raum, so bilden die Punkte im Bereich der Verschiebung ein dreiseitiges Prisma.
Es besteht aus zwei kongruenten Dreiecken, deren Eckpunkte passend miteinander verbunden sind. Dadurch entstehen drei Parallelogramme, die Seitenflächen. Die Dreiecke heißen Grundflächen oder anschaulicher Grund- und Deckfläche. Der Abstand der Dreiecke ist die Höhe des Prismas.
Die Bezeichnung "dreiseitig" bezieht sich auf die Grundfläche, das Prisma ist "neunkantig".

Dreiseitiges, gerades Prisma

...

Wird ein Dreieck senkrecht zu seiner Fläche (d.h. in Richtung der Normalen der Grundfläche) verschoben, so entsteht ein gerades Prisma. Die Seitenflächen werden zu Rechtecken.

Das Prisma oben nennt man schief.

Regelmäßiges, dreiseitiges, gerades Prisma

...

Sind die Dreiecke gleichseitig, so ist das Prisma auch noch regelmäßig.

Wer den 3D-Blick beherrscht, sieht ein gerades Prisma räumlich.

Gleichkantiges Prisma top
Damit ist ein regelmäßiges, dreiseitiges, gerades Prisma mit gleich langen Kanten gemeint.
Darstellung

...... In zwei Schrägdarstellungen (k=1/2, alpha=45°) wird das Quadrat und rechts das gleichseitige Dreieck originalgetreu dargestellt.
Das Prisma besteht aus drei Quadraten und zwei gleichseitigen Dreiecken.

Schneidet man den Körper an den Kanten auf, so erhält man ein Netz. Es gibt neun verschiedene Netze.

Größen
Das sind die Seitenlänge des Dreiecks a, die Höhe h=a, das Volumen V, der Mantel M und die Oberfläche O.

...

Ist die Kantenlänge a gegeben, so lassen sich die übrigen Stücke berechnen:
V=sqrt(3)/4*a³, M=3*a² und O=[sqrt(3)/2+3]*a².

Das Prisma hat e=6 Ecken, k=9 Kanten und f=5 Flächen.
Es gilt die eulersche Polyedersatz e+f-k=2.

Mittelpunkt und Umkugel

...

Verbindet man die Mittelpunkte der beiden Dreiecke, so liegt in der Mitte dieser Strecke der Mittelpunkt M des Prismas. Dieser Punkt hat von allen Eckpunkten des Prismas die gleiche Entfernung. Somit ist er der Mittelpunkt der Umkugel.

Nach dem Satz des Pythagoras ist R=sqrt(21)/6*a. Das ist 0,76*a

Keine Inkugel

...

Eine Kugel, die alle 6 Flächen innen berührt, gibt es nicht. Begründung:
Der Radius einer möglichen Inkugel müsste nach nebenstehender Zeichnung r=h'/3=sqrt(3)/6*a sein. Andererseits hat das Prisma die Höhe a. Danach wäre r=a/2. Das ist ein Widerspruch.

Größtes regelmäßiges dreiseitiges Prisma top

...... Die Frage ist, welche Form ein regelmäßiges, dreiseitiges Prisma hat, dessen Volumen maximal ist und dessen Oberfläche vorgegeben wird.

Die Antwort gibt eine Rechnung.

Ergebnis:

Es ist erstaunlich:
Dieselbe Form hat ein regelmäßiges, dreiseitiges Prisma, wenn bei festem Volumen die Oberfläche maximal ist.

Schnitte durch ein Prisma top

Man verbindet die beiden hinteren Eckpunkte eines Prismas mit den gegenüberliegenden vorderen Eckpunkten. Es entstehen zwei Dreiecke, die Schnittebenen durch das Prisma kennzeichnen. Der (rote) Restkörper unten ist eine Pyramide mit einem Viereck als Grundfläche.
Diese Pyramide wird vom ersten Schnittdreieck gebildet, wenn es an seiner Mittellinie nach hinten umgeklappt wird.

Verbindet man den oberen hinteren Eckpunkt mit den beiden unteren Eckpunkten, so entsteht ein (violettes) Dreieck. Dieses Dreieck ist Grundfläche einer Pyramide, die im hinteren Eckpunkt unten ihre Spitze hat.

Zeichnet man zum Viereck vorne eine Diagonale, so kann man zwei weitere Pyramiden entdecken. Das Besondere ist, dass die drei Pyramiden das Prisma ausfüllen und das gleiche Volumen haben.

Dreiseitige Prismen um uns top
Hört man den Namen Prisma, so denkt man am ehesten an das Glasprisma, mit dem man weißes Licht zerlegen kann.

...... Sendet man ein schmales Lichtbündel weißen Lichts in ein Prisma, so wird das Licht beim Übergang von Luft nach Glas zum Lot hin gebrochen. Beim Übergang von Glas zu Luft wird das Licht vom Lot weg abgelenkt.
Das Besondere ist, dass die Brechung des Lichts von der Farbe abhängt. Zum Beispiel wird blaues Licht stärker gebrochen als rotes. In der Zeichnung wird der Unterschied zur Verdeutlichung übertrieben.
Das weiße Licht wird in die Spektralfarben zerlegt.
Es entsteht ein Spektrum.
In ähnlicher Weise zerlegen Wassertropfen manchmal das weiße Sonnenlicht und erzeugen einen Regenbogen.

Im Unterschied zu anderen Körpern ist das dreiseitige Prisma nicht sehr verbreitet. Mir fallen als Stichworte ein:
Axt oder Beil, BOC Tower in Hongkong, Bucheckern, Flat-Iron House in New York, Kaleidoskop, Keil, Satteldach, Toblerone-Packung, Umkehrprisma, Zelt.
Über Antiprismen findet man einiges auf meiner Deltaeder-Seite.

Was ist ein quadratisches Prisma? top

...... Ein Quader mit zwei quadratischen Seitenflächen heißt auch quadratisches Prisma.
Ein anderer Name ist regelmäßiges, vierseitiges Prisma.
Die alte Bezeichnung quadratische Säule ist aus den Lehrbüchern der Mathematik weitgehend verschwunden.

Wer den 3D-Blick beherrscht, sieht das Prisma räumlich.

...	Auch der Würfel ist ein quadratisches Prisma.

Größen des Prismas top
Das Prisma sei durch die Grundkante a und die Höhe h gegeben.

...... Dann sind die Längen der Flächendiagonalen d₁=sqrt(a²+h²) und d₂=sqrt(2)*a.
Die Raumdiagonale hat die Länge d=sqrt(d₁²+a²)=sqrt(2a²+h²).
Die Oberfläche ist O=2a²+4ah und das Volumen V=a²h.

Größte Prismen top
Prisma größten Volumens

...... Die nebenstehenden quadratischen Prismen haben die gleiche Oberfläche, aber unterschiedliche Formen.
Man erkennt vielleicht, dass der Würfel in der Mitte das größte Volumen hat.

Das zeigt die folgende Rechnung.
Nebenbedingung: O=2a²+4ah oder h=(O-2a²)/(4a)
Zielfunktion: V=a²h oder V(a)=a²(O-2a²)/(4a)=Oa/4-a³/2
Es gilt V'(a)=O/4-3a²/2. V'(a)=0 ergibt O/4-3a²/2=0 oder a=sqrt(O/6)=sqrt(6O)/6.
Dann ist h=(O-2a²)/(4a)=sqrt(6O)/6.
Es gilt also a=h. Damit ist das Prisma ein Würfel.

Dem Würfel kann man sich auch aus einer anderen Richtung nähern.

Prisma größter Oberfläche top
Es stellt sich weiter die Frage nach dem Prisma größter Oberfläche, wenn das Volumen konstant gehalten wird.
Auch da ist der Körper ein Würfel, wie die folgende Rechnung zeigt.

Nebenbedingung: Es gilt V=a²h oder h=V/a².
Zielfunktion: O=2a²+4ah oder O(a) =2a²+4V/a.
Es gilt O'(a)=4a-4V/a² O'(a)=0 ergibt 4a³-4V=0 oder a=V^1/3 . Dann ist h=V/a²=V/V^2/3 =V^1/3
Es gilt also a=h. Damit ist auch hier das Prisma ein Würfel.

Eine Schachtel größten Volumens top

...

Gegeben ist ein quadratisches Stück Papier.

Man entfernt an den Ecken vier Quadrate, so dass ein Kreuz entsteht. Aus dem Kreuz faltet man eine oben offene Schachtel.

Die Frage ist, wie groß die Eckquadrate sein müssen, damit das Volumen möglichst groß ist.
Die Antwort gibt eine Rechnung.

...

Zielfunktion: V(x)=(a-2x)²x=4x³-4ax²+a²x
Die erste Ableitung ist V'(x)=12x²-8ax+a².
V'(x)=0 ergibt 12x²-8ax+a²=0 oder x²-2ax/3+a²/12=0. V''(x)=-8a+24x.
Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen x₁=a/6 und x₂=a/2.
Für x₂=a/2 gibt es keine Schachtel. Die Lösung ist x₁=a/6 oder (a-2 x₁)=2a/3.
Mit V''(a/6)= - 4a<0 ist sichergestellt, dass ein Maximum vorliegt..

Ergebnis: Die Schachtel hat die Kanten a/6, 4a/6 und 4a/6. Das ist das Verhältnis 1:4:4

Größtes Prisma in der quadratischen Pyramide top

...

Gegeben sei eine quadratische Pyramide durch die Grundkante S und die Höhe H .
Gesucht wird ein quadratisches Prisma in der Pyramide mit dem größten Volumen.

Für eine Rechnung betrachtet man einen Schnitt durch die Punkte A, C und E

Rechnung

...

Die Grundseite des Prismas sei x und die Höhe sei y.
Dann gilt nach dem zweiten Strahlensatz:[sqrt(2)S/2] : [sqrt(2)x/2]=H : (H-y) oder y=H-(H/S)x.
Zielfunktion: V=x²y oder V(x)=x²[H-(H/S)x]=Hx²-(H/S)x³
V'(x)=2Hx-3(H/S)x². V'(x)=0 ergibt 2Hx-3(H/S)x²=0 mit den Lösungen x₁=0 und x₂=2S/3.
Für x₁=0 existiert kein Prisma.
Zu x₂=2S/3 gehört y₂=H-(H/s)x₂=H/3

Ergebnis: Das Prisma mit der Grundseite (2/3)S und der Höhe (1/3)H hat das größte Volumen.
Ist H=S, so ist das Prisma ein halber Würfel.

Zwei besondere Quader top

...... Die beiden nebenstehenden Prismen haben unterschiedliche Grundseiten und Höhen und damit unterschiedliche Formen, aber die Volumina und die Oberflächen sind gleich.
Es gilt für den linken Körper V=3²*4=36 und O=2*3²+4*3*4=66.
Für den rechten Körper gilt V=3,62²*2,74=36 und O=2*3,62²+4*3,62*2,74=66.
Allerdings sind Volumen und Oberfläche auf zwei Stellen gerundet.
Unten stehen die genauen Maße.

Die folgende Rechnung zeigt den Hintergrund.
Oben wurde die Gleichung V=Oa/4-a³/2 hergeleitet. Man kann sie auch als kubische Gleichung in a schreiben: a³-Oa/2+2V=0.
Es werden die Körper gesucht, für die V=36 und O=66 ist.
Das führt zur Gleichung a³-33a+72=0 oder (a-3)(a²+3a-24)=0
Diese Gleichung hat die Lösungen
a₁=3, (Dazu gehört h₁=4)
a₂=sqrt(105)/2-3/2, ungefähr 3,62. Zu a₂ gehört h₂=[144+3sqrt(105)]/64, ungefähr h₂=2,73.
a₃= - sqrt(105)/2-3/2<0 (Keine Lösung, eine negative Maßzahl ist nicht möglich.)
Diese Rechnung zeigt auch, dass nur die beiden quadratischen Prismen oben das Volumen 36 und die Oberfläche 66 haben.

Wolkenkratzer und Türme top
Wenn man darauf achtet, stellt man fest, dass Hochhäuser und Türme sehr oft die Form eines quadratischen Prismas haben.
Sears Tower in Chicago
Stellvertretend für Wolkenkratzer mit quadratischem Grundriss wähle ich den Sears Tower in Chicago. Durch ihn bin ich darauf gekommen, diese Seite über quadratische Prismen zu machen.
Der Sears Tower besteht aus einem Bündel von 3x3=9 Türmen, die unterschiedlich hoch sind.
Der Wolkenkratzer war von 1974 bis 1997 das höchste Gebäude der Welt.

Die Zahlen geben die
Anzahl der Stockwerke an.

September 2005
September 2005

Auch das hohe Aon Center rechts ist ein quadratisches Prisma.

Jetzt kommt der Sprung von der Weltstadt in die Provinz ;-).

Zwei Kirchen in Bad Salzuflen
Stellvertretend für Kirchtürme wähle ich aus meiner Heimatstadt die Stadtkirche in Bad Salzuflen und die Kilianskirche in Schötmar.
In beiden Fällen haben die Kirchtürme einen quadratischen unteren Aufbau und eine Bekrönung aus dem 19. Jahrhundert.