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Was ist ein Zylinder?
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Ein Zylinder ist ein Körper, der von zwei parallel
liegenden Kreisflächen erzeugt wird.
Er entsteht, wenn man einen Kreis senkrecht zur Normalen
verschiebt. |
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Dieser Körper ist ein Zylinder im engeren Sinne und
heißt genauer
gerader Kreiszylinder.
Allgemeiner Zylinder
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Die Verallgemeinerung erfolgt in zweierlei Weise.
1
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Die Richtung der Verschiebung des Kreises ist nicht senkrecht
zum Kreis.
Dieser Zylinder heißt dann schiefer Kreiszylinder |
2
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Der Kreis kann durch eine andere ebene, geschlossene
Kurve ersetzt werden. Das kann eine Ellipse oder ein anderes Flächenstück
sein.
Ist das Flächenstück ein Vieleck, so entsteht
ein Prisma. |
Im Folgenden wird nur der gerade Kreiszylinder untersucht
und einfach mit Zylinder bezeichnet.
Größen
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Radius und Höhe
... ......
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Die Kreise mit dem Radius r, die den Zylinder begrenzen,
heißen Grund- und Deckfläche. Ihr Abstand heißt Höhe
h.
Die Seitenfläche ist gekrümmt und heißt
Mantel(fläche) M. |
Mantel
... ...
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Die Mantelfläche ist einfach gekrümmt und kann
abgewickelt werden.
Es gilt M=2*pi*rh. |
Volumen
und Oberfläche
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......
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Ist der Zylinder durch den Grundkreisradius r und die
Höhe h gegeben, so gilt
für das Volumen V=pi*r²h und für die Oberfläche
O = 2*pi*r²+2*pi*rh = 2*pi*r(r+h). |
Es ist bemerkenswert, dass
V/O=(rh)/[2(r+h)] gilt, d.h., dass der Quotient aus dem Volumen und der
Oberfläche gleich dem 4. Teil des harmonischen Mittels aus dem Radius
und der Höhe ist. Einen tieferen Sinn gibt es wohl nicht.
.. ....
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Ein Prisma mit einem regelmäßigen Vieleck
als Grundfläche kommt dem Zylinder mit einem Kreis als Grundfläche
beliebig nahe, wenn man die Anzahl der Ecken des Vielecks über alle
Grenzen gehen lässt. |
So leitet man die Formel für das Volumen V des Kreiszylinders
her.
Form
eines Zylinders
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Von den drei Zylindern links sind zwei leicht verfremdet:
Einmal ist die Höhe h wesentlich größer
als der Kreisdurchmesser, einmal wesentlich kleiner. Die Zylinder sind
ein Stab und eine Scheibe.
Das Besondere am dritten Körper ist, dass er genau
so hoch wie breit ist. |
Die Form eines Zylinders kann man durch das Verhältnis
des Kreisdurchmessers d=2r zur Höhe h, nämlich durch d/h
beschreiben.
In der Zeichnung sind z.B. für den Stab d/h=0,1,
für die Scheibe d/h=26. Auffällig ist ein Zylinder mit d/h=1.
Diese Form haben das Urkilogramm in Paris und die Kopien des Urkilogramms
in Braunschweig bei der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt (PTB).
Zylinderteile
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Schräg abgeschnittener Kreiszylinder
.. .... |
Schneidet man einen Zylinder schräg ab, so entsteht
ein Körper mit einer Ellipse als Deckfläche. Er wird durch die
Höhen h1 und h2 und durch den Grundkreisradius
r festgelegt. |
Die schräg liegende Ellipse hat die Halbachsen 2r und
sqrt[4r²+(h2-h1)²].
... ... |
Zwei gleiche Körper dieser Art bilden einen Zylinder.
So gelangt man zu Formeln für das Volumen, den Mantel und die Oberfläche
des Körpers.
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V=pi*r²(h1+h2)/2
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M=pi*r(h1+h2)
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O=pi*r*{h1+h2+r+sqrt[r²+(h1+h2)²/4]}
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Rollt man den Mantel des
schräg abgeschnittenen Kreiszylinders ab, so
entsteht eine Sinuskurve.
... ...
Foto
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 ...
Scan
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Rechnung dazu:
Der Zylinder steht senkrecht auf x-y-Ebene mit dem Radius
r.
Die Schnittebene gehe durch die x-Achse mit der Steigung
z/y = m.
Dann ist die Schnittlinie
x(t) = r cos(t)
y(t) = r sin(t)
z(t) = my = mr*sin(t).
Abgewickelt haben wir z(t). Das ist eine Sinuskurve mit
der Amplitude m*r. |
Zylinderabschnitt
Herleitung:
A' sei der Flächeninhalt des Kreisausschnitts und
A'' der Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks.
Dann gilt für den Flächeninhalt A des Kreisabschnitts
A=A'-A''.
Für A' gilt: A':(pi*r²)=(2*alpha):2*pi
oder A'=alpha*r². (alpha im Bogenmaß)
Für alpha gilt cos(alpha)=(r-h')/r oder alpha=arc
cos[(r-h')/r]. Damit ist A'=r²*arc cos[(r-h')/r]
Für A'' gilt: A''=(r-h')*sqrt[r²-(r-h')²]=(r-h')*sqrt(2rh'-h'²).
Zusammengefasst: A=A'-A''=r²*arc cos(r-h')/r-(r-h')sqrt(2rh'-h'²)
V=Ah=h[r²arc cos(r-h')/r-(r-h')sqrt(2rh'-h'²)]
Zylinderabschnitt
schräg, Zylinderhuf (englisch: Cylindrical
wedge, zylindrischer Keil)
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V=h[a(3r²-a²)+3r²(b-r)alpha]/(3b)
M=2rh[(b-r)alpha+a])/b
alpha in rad
Quelle: (3), Seite 199 |
.. . |
Hat der Zylinderabschnitt einen Halbkreis als Grundfläche,
so vereinfachen sich die Formeln.
V=h[r(3r²-r²)+3r²(r-r)alpha]/(3r)=(2/3)hr²
M=2rh[(r-r)alpha+r])/r=2hr
Obwohl ein Flächenstück gekrümmt ist,
taucht pi in den Formeln nicht auf. |
Quelle: (4), Seite 125
Ein
Puzzle
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Der Keil passt durch alle drei Öffnungen.
(6, Seite 200f.) |
Das Problem findet man bei
Martin Gardner (5), Seite 89 und bei MathWorld unter dem Namen Cork
Plug (URL unten).
Hohlzylinder
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Der Hohlzylinder besteht aus zwei konzentrisch liegenden
Zylindern.
Es gilt V=pi*h(R²-r²) und O=2*pi*(R²-r²)+2*pi*h(r+R). |
Extremwertaufgaben
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Zwei (gleiche?) Aufgaben
In einem Lehrbuch von 1938 (2, Seite 97) fand ich die
beiden folgenden Aufgaben.
Die zweite Aufgabe wird in Lehrbüchern meist auf eine
Konservendose bezogen: Wie sind die Ausmaße einer zylindrischen
Dose zu wählen, damit zu ihrer Herstellung möglichst wenig Material
benötigt wird und damit sie den Inhalt 1 Liter hat?
Lösung:
Kurzbeschreibung
der Rechnung
Zielfunktion f=f(r,h)
Nebenbedingung
Zielfunktion f=f(r)
Ableitung f'(r)
Radius
2.Ableitung f''(r)
Höhe
Durchmesser/Höhe |
Zylinder größten Volumens
bei konstanter Oberfläche
V=pi*r²h
O=2*pi*r(r+h) oder h=(O-2*pi*r²)/(2*pi*r)
V(r)=Or/2-pi*r³
V'(r)=O/2-3pi*r²
V'(r)=0 führt zu r=[O/(6pi)]1/2
V''(r)=-6*pi*r<0,
also ist in r ein Maximum
h=[(2O/(3*pi)]1/2
d/h=1 |
Zylinder kleinster Oberfläche
bei konstantem Volumen
O=2pi*r(r+h)
V=pi*r²h oder h=V/(pi*r²)
O(r)=2pi*r²+2V/r
O'(r)=4pi*r-2V/r²
O'(r)=0 führt zu r=[(V/(2pi)]1/3
O''(r)=4*pi+4V/r-3 >0,
also ist in r ein Minimum
h=[4V/pi]1/3
d/h=1 |
In beiden Fällen haben
die Zylinder die gleiche Form d/h=1. Vom Gefühl her ist das nicht
erstaunlich, dass mit einem maximalen Volumen eine minimale Oberfläche
einhergeht.
Aber gibt es eine rechnerische Begründung?
Es folgt dazu eine Überlegung (nach Torsten Sillke).
Man führt das Verhältnis x=2r/h ein. Dann gilt
h=2r/x.
Das bedeutet V=pi*r²h=pi*r²*(2r/x)=2*pi*r³/x
und O=2*pi*r(r+h)=2*pi*r(r+2r/x)=2*pi*r²(1+2/x)
Um die Dimensionen auszugleichen, bildet man O³/V²:
O³=[2*pi*r²(1+2/x)]³=8*pi³r6(1+2/x)³=[8*pi³r6(x+2)³]/x³
V²=[2*pi*r³/x]²=4*pi²*r6/x²
O³/V²=2*pi*(x+2)³/x
Die Funktion f(x)=(x+2)³/x hat nach der Quotientenregel
die Ableitung f'(x)=[2(x+2)²(x-1)]/x².
Die einzige positive Nullstelle ist x=1, und sie ist
eine Tiefstelle.
Das bedeutet, dass O³ und damit O in x=1 ein Minimum
hat. Gleichzeitig hat an der gleichen Stelle V² und damit V ein Maximum,
da das Volumen im Nenner steht.
Die Dosenhersteller scheinen
sich an die obige Rechnung nicht zu halten. Ich kenne die Form d/h=1 nur
von den Kondensmilchdosen. Es gibt Dosen in allen möglichen Formen.
Wahrscheinlich legt man mehr wert auf Formen, die "schön" sind, typisch
für ein Produkt oder praktisch für den Inhalt sind. Würstchendosen
sind hoch, Fischdosen (Thunfischdosen) flach.
Größter
Zylinder im Kegel
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Zur Lösung:
Ansatz: V=pi*x²y
Nebenbedingung: (h-y):h=x:r (2.Strahlensatz) oder
y=h-(h/r)x
Zielfunktion: V(x)=pi*hx²-pi*(h/r)x³ ... |
Ergebnis: x=(2/3)r und y=(1/3)h
Größter
Zylinder in der Kugel
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Zur Lösung:
Ansatz: V=2pi*x²y
Nebenbedingung: : x²+y²=r² (Satz des Pythagoras)
oder x²=r²-y²
Zielfunktion: V(y)=2pi*r²y-2pi*y³ ... |
Ergebnis: y=(1/3)sqrt(3)r und x=(1/3)sqrt(6)r
Zylinder
aus einem Rechteck
top
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Gibt man ein rechteckiges Blatt Papier vor, so kann man
daraus leicht einen Zylinder formen. |
Das mag ein Grund dafür sein, dass Zylinder in unserer
Umgebung allgegenwärtig sind. Sie sind leicht anzufertigen.
... ...
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Der Zylinder entsteht auch, wenn ein Rechteck um eine
Seite rotiert.
Viele Gefäße haben die Form eines Zylinders. |
Zum Beispiel bei einer Töpferscheibe wird das Prinzip
der Rotation genutzt.
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Wickelt man ein rechtwinkliges Dreieck wie in der Skizze
angedeutet um einen Zylinder, so entsteht eine zylindrische Spirale oder
die Helix. |
Zwei Berührungsprobleme
top
Im ersten deutschsprachigen Buch Martin
Gardners (5) findet man im Kapitel "Neun Probleme" zwei Aufgaben,
die auf diese Zylinderseite passen. Das zweite Problem findet man schon
bei Lietzmann (6).
1
... ...
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Beim ersten Problem geht es um eine maximale Anzahl von
Zigaretten.
Man soll sie so anordnen, dass jede Zigarette jede berührt.
Man schafft es leicht, auf die Anzahl 5 zu kommen. |
Gardner teilt mit, dass in mehreren Rätselbüchern
die Zahl Sechs erreicht wird. Zwei Studenten von Harvard sandten ihm eine
Lösung von Sieben zu.
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Das ist die Maximallösung, die mir Dietmar Viertel
samt PovRay-Bild zusandte. |
2
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Das zweite Problem bezieht sich auf gleiche Münzen.
Es wird nach einer Anordnung gefragt, bei der fünf
Münzen so liegen, dass jede die vier übrigen Münzen berührt.
Die Lösung steht links.
Mit Bierdeckeln kann man die Lösung leicht nachlegen. |
Nimmt man tatsächlich Münzen, merkt man, dass
sie nicht zu dick sein dürfen. Nach einer Mitteilung von Torsten Sillke
muss theoretisch das Verhältnis des Durchmessers zur Dicke (d/h) mindestens
12,47 sein. Nach der Tabelle der Euro-Münzen im nächsten Kapitel
ist der Aufbau nur für die 5-Cent-Münze möglich.
Zylinder um uns top
Euromünzen
1 Cent
d=16,25mm
h=1,67mm
d/h=9,73
m=2,30g |
2 Cent
d=18,75mm
h=1,67mm
d/h=11,23
m=3,06g |
5 Cent
d=21,25mm
h=1,67mm
d/h=12,72
m=3,92g |
10 Cent
d=19,75mm
h=1,93mm
d/h=10,23
m=4,10g |
20 Cent
d=22,25mm
h=2,14mm
d/h=10,40
m=5,74g |
50 Cent
d=24,25mm
h=2,38mm
d/h=10,18
m=7,80g |
1 Euro
d=23,25mm
h=2,33mm
d/h=9,98
m=7,50g |
2 Euro
d=25,75mm
h=2,20mm
d/h=11,70
m=8,50g |
Man bestimmt die Längenmaße entweder direkt an
einer Münze mit einer Schraub- oder Schieblehre.
Man kann aber auch 10 gleiche Münzen nebeneinandergelegt
oder gestapelt ausmessen und dann durch 10 dividieren. Da genügt ein
Maßstab mit Millimetereinteilung.
Die alten DM-Münzen hatten meist glatte Werte.
Türme
Von den unzähligen Bauwerken
in Zylinderform greife ich zwei Türme mit persönlichem Bezug
heraus.
Zylindrische Türme gehörten
früher zu den Stadtbefestigungen vieler Städte.
Katzenturm meiner Heimatstadt
Bad Salzuflen
Er stammt aus dem Mittelalter und
war ein Teil der Stadtmauer.
An sich steht er vertikal.
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Milchkannentor meiner Geburtsstadt Danzig
Er sicherte an der Neuen Mottlau die Speicherinsel.
Der linke schräge Turm ist das "Sahnetöpfchen".
März 2006
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... ... |
Auf diesem Photo aus der frühen Nachkriegszeit kann
man "Milchkanne" und "Sahnetöpfchen" besser erkennen. |
Zylinder im Internet
top
Deutsch
Ingmar Rubin
Zwei
Türme (Quantum Mathematik Magazin, März / April 2000)
Serlo.org
Zylinder
Wikipedia
Zylinder
(Geometrie), Zylinder
(Technik)
Englisch
Ask Dr. Math - The Math Forum
Maximizing
Cylinder Volume
EricW.Weisstein (MathWorld)
Cylinder,
Cylindrical
Segment, Cylindrical
Wedge, Steinmetz
Solid, Vault,
Cylinder-Sphere
Intersection,
Vivianis
Curve, Capsule,
Elliptic
Cylinder, Cork
Plug
G. Korthals Altes
Cylinder
John Page
Volume
enclosed by a cylinder
Wikipedia
Cylinder
(geometry), Tin
can, Steinmetz
solid
Referenzen top
(1) A.Kleyer: Lehrbuch der Körperberechnungen, Stuttgart
1886
(2) Reinhardt-Zeisberg: Mathematisches Unterrichtswerk
Teil IV, Frankfurt a.M. 1938
(3) I.N.Bronstein, K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik,
Leipzig 1987
(4) Richard Dörfling: Mathematik für Ingenieure
und Techniker, München 1965
(5) Martin Gardner: Mathematische Rätsel und Probleme,
Vieweg Braunschweig 1968 (Best.Nr. 8175)
(6) Walter Lietzmann: Lustiges und Merkwürdiges
von Zahlen und Formen, Göttingen 1969
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https://www.mathematische-basteleien.de/
©
2006 Jürgen Köller
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