|
Verhältnisse und Proportionen
|
Was ist ein Verhältnis?
Gegeben seien zwei reelle, positive Zahlen a und b.
Man nennt den Quotienten a:b der beiden Zahlen in bestimmten
Zusammenhängen auch das Verhältnis der beiden Zahlen a und b.
Man liest a:b dann als "a zu b".
Zur Erläuterung zwei Beispiele
Eine
Menge von Kugeln
... ... |
Gegeben seien 5*9 = 45 Kugeln, 20 rote und 25 blaue.
Das Verhältnis der roten Kugeln zu den blauen beträgt
20:25 = 4:5, gelesen 4 zu 5. |
Die Zeichnung enthält
weitere Verhältnisse, in denen das Ganze (45 Kugeln) berücksichtigt
wird.
Das Verhältnis der roten Kugeln zu allen Kugeln
beträgt 20:45 = 4:9.
Das Verhältnis der blauen Kugeln zu allen Kugeln
beträgt 25:45 = 5:9.
Teilung einer Strecke
... ... |
Gegeben sei die Strecke AB. Der Punkt T teilt die Strecke
im Verhältnis 2:1.
Es gilt nämlich a = 2 Längeneinheiten und b
= 1 Längeneinheit. |
Was ist eine Proportion?
Gegeben seien zwei weitere reelle, positive Zahlen c
und d.
Die Gleichung a:b = c:d aus zwei Verhältnissen heißt
Proportion oder Verhältnisgleichung.
Man liest das als a verhält sich zu b wie c zu
d.
Zur Erläuterung zwei Beispiele
1.
Strahlensatz
... ... |
Zeichnet man zur Strecke AB die Senkrechten durch die
Punkte B und T und durch Punkt A eine Halbgerade wie links, so entstehen
die Strecken c und d.
Es gilt die Verhältnisgleichung a:b = c:d. |
Dreisatz
5 kg Mehl kosten 6,40 €. Was kosten 300g?
Lösung
Die gesuchten Kosten seien x €.
Es gilt die Proportion 5kg:300g = 6,40€:x€
oder 5000:300 = 640:x. Dann ist 5000x = 300*640 oder x = 38,4.
Antwort
300g Mehl kosten 38,4 ct.
Beim Erstellen meiner Webseiten
stieß ich oft auf Verhältnisse und auf Proportionen.
Auf dieser Seite habe ich das Thema erläutert und
zusammengestellt, was ich auf meiner Homepage fand.
Rechnen mit
Verhältnissen top
Umformungen
Oben wurde im ersten Beispiel festgestellt, dass das
Verhältnis der roten Kugeln zu den blauen 20:25 beträgt. Es ist
üblich zu kürzen und das Verhältnis durch ganze Zahlen anzugeben,
20:25 = 4:5.
Man kann das Verhältnis ausrechnen, 4:5 = 0,8. Dann
ist 4:5 = 0,8:1.
Es ist auch 4:5 = 1:(5/4) = 1:1,25. - Ferner ist 4:5
= 80% =80 :100.
Allgemein
Für das Verhältnis a:b mit gekürztem Bruch
a/b gelten auch die Identitäten (a/b):1 = 1:(b/a) = (100a/b)%.
Produktgleichung
Gilt die Verhältnisgleichung a:b = c:d, so auch
die Produktgleichung ad = bc.
Herleitung
Fasst man die Quotienten als Brüche auf (a/b = c/d)
und multipliziert beide Terme mit den Nennern b und d, so entsteht ad =
bc.
Es gilt die Umkehrung.
Gilt die Produktgleichung ad = bc, so auch Verhältnisgleichung
a:b = c:d.
Herleitung
Dividiert man beide Terme der Produktgleichung ad = bc
durch bd, so entsteht die Verhältnisgleichung a:b = c:d.
Man beschreibt die Produktgleichung
so:
In einer Proportion ist das Produkt der Außenglieder
gleich dem Produkt der Innenglieder.
Alle
Verhältnisgleichungen
Gilt a:b = c:d, so gibt
es noch sieben Varianten.
| a:b = c:d |
b:a = d:c |
a:c = b:d |
c:a = d:b |
c:d = a:b |
d:c = b:a |
b:d = a:c |
d:b = c:a |
Alle Proportionen haben die gleiche Produktgleichung ad
= bc.
Summen
und Differenzen
Gilt a:b = c:d, so gibt
es fünf Varianten mit Summen und Differenzen.
|
(a+b):b = (c+d):d
|
a:(a+b) = c:(c+d)
|
(a-b):b = (c-d):d
|
a:(a-b) = c:(c-d)
|
(a+b):(a-b) = (c+d):(c-d)
|
Man kann die Gleichungen so vereinfachen, dass man immer
zur Produktgleichung ad = bc gelangt.
Bestimmung
von Proportionalen
Man nennt die Variablen in einer Proportion a:b = c:d
die Proportionalen. Da gibt es zwei Suchgleichungen.
Das sind die Bestimmung der vierten Proportionalen in
a:b = c:x und die der mittleren Proportionalen in a:x = x:d.
Geometrisch interpretiert geht es einmal um die Berechnung
eines Rechtecks, das den gleichen Flächeninhalt wie ein gegebenes
Rechteck hat, und zum anderen um die Berechnung eines zum gegebenen Rechteck
flächengleichen Quadrats.
Proportionenkette
Gilt a:b = d:e und b:c = e:f, so gilt auch a:c = d:f.
Beweis
Aus a:b = d:e folgt ae = bd, aus b:c = e:f folgt bf =
ce.
Aus ae = bd und bf = ce bzw. ce = bf folgt nach
Division der rechten und linken Terme a:c = d:f, wzbw..
Man fasst die Proportionen
a:b = d:e, b:c = e:f und a:c = d:f zur Schreibfigur a:b:c = d:e:f zusammen.
Sie heißt Proportionenkette oder fortlaufende Proportion.
Figuren und Körper
top
Es gibt einfache Figuren oder Körper, deren Form
man durch ein Zahlenverhältnis festlegt.
Papierformat A4
Bekannt ist das Papierformat der
A-Reihe. Man erhält die verschiedenen Blätter, indem man von
einem Blatt von 1m² Fläche mit dem Seitenverhältnis
1:sqrt(2) ausgeht und durch fortwährendes Halbieren über A1,
A2, ... zum gebräuchlichen Format A4 gelangt.
Mehr auf meiner Seite Papierformat
A4
Rechtecke
Es folgt eine Zusammenstellung von Rechtecken mit unterschiedlichen
Seitenverhältnissen.
1) Quadrat, 2) 3-4-5-Dreieck und seine Spiegelung, 3) Papierformat
der A-Reihe, 4) Rechteck um zwei verkettete Quadrate, 5) Goldenes Rechteck,
6) 30-60-90-Dreieck und seine Spiegelung oder das gleichseitige Dreieck
- neu zusammengesetzt, 7) Doppelquadrat
Entnommen meiner Seite Rechteck
Formen
eines Zylinders
.. ....
|
Von den drei Zylindern sind zwei leicht verfremdet.
Einmal ist die Höhe h wesentlich größer
als der Kreisdurchmesser, einmal wesentlich kleiner.
Die Zylinder heißen dann Stab oder Scheibe.
Das Besondere am dritten Körper ist, dass er genau
so hoch wie breit ist. |
Die Form eines Zylinders kann man durch das Verhältnis
des Kreisdurchmessers d=2r zur Höhe h, nämlich durch d/h
beschreiben.
In der Zeichnung sind z.B. für den Stab d/h=0,1,
für die Scheibe d/h=26. Auffällig ist ein Zylinder mit d/h=1.
Diese Form haben das Urkilogramm in Paris und die Kopien des Urkilogramms
in Braunschweig bei der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt (PTB).
Entnommen meiner Seite Zylinder
Strahlensätze top
Die Proportionen haben in der Geometrie
als Entsprechung die Strahlensätze.
Gegeben seien zwei sich schneidende Geraden und ein Parallelenpaar.
Es entstehen dann Abschnitte auf den Geraden bzw. auf den Parallelen, die
auf zweierlei Weise in Beziehung gebracht werden können.
1.
Strahlensatz
... ...
|
Für die Abschnitte auf den Geraden gilt: a:b = c:d.
Das ist der erste Strahlensatz.
In Worte:
Werden zwei sich schneidende Geraden von zwei Parallelen
getroffen, so verhalten sich die Abschnitte auf der einen Geraden wie die
Abschnitte auf der anderen. |
2.
Strahlensatz
... ...
|
Bezieht man die Parallelenabschnitte mit ein, gilt a:(a+b)
= c':d'. Das ist der zweite Strahlensatz.
In Worte:
Werden zwei sich schneidende Geraden von zwei Parallelen
getroffen, so verhalten sich die Abschnitte auf den Parallelen wie die
Abschnitte auf einer Geraden. Die Abschnitte werden vom Schnittpunkt aus
gemessen. (Dieser Zusatz ist wichtig. Die Beziehung a:c' = b:d' ist ein
häufiger Fehler.) |
... ... |
Das sei angemerkt:
Die Parallelen können auch auf verschiedenen Seiten
zum Schnittpunkt der Geraden liegen.
Auch da können die Strahlensätze abgelesen werden. |
Die folgende Figur ist eine
Variation des zweiten Strahlensatzes und heißt manchmal auch 3. Strahlensatz.
... ...
|
Es gilt die Proportion p:q = r:s.
In Worte:
Werden drei sich in einem Punkt schneidende Geraden von
zwei Parallelen getroffen, so verhalten sich die Abschnitte auf der einen
Parallelen wie die Abschnitte auf der anderen.
Die Formel folgt aus a:(a+b) = p:r und a:(a+b) = q:s. |
Ähnliche
Dreiecke
| ...... |
Die Figur zu den Strahlensätzen kann auch anders
gesehen werden.
Sie besteht aus den beiden Dreiecken ADE und ABC mit einem
gemeinsamen Winkel und zwei gleichen Winkeln. Die Dreiecke sind deshalb
einander ähnlich.
Für ähnliche Dreiecke gilt: Entsprechende Seiten
stehen in gleichem Verhältnis.
So ist z.B. a:c = (a+b):(c+d). Daraus folgt a:b = c:d.
Das ist der erste Strahlensatz. |
Feststellung: Die Strahlensätze können auch
durch Sätze über ähnliche Dreiecke ersetzt werden.
Man kann noch weitergehen.
Ähnliche Dreiecke liegen i.a. nicht perspektivisch, so dass die Figur
zum Strahlensatz nicht mehr da ist.
Zum Beispiel kann man die Diagonale im regelmäßigen
Fünfeck nur über ähnliche Dreiecke bestimmen.
... ... |
Mit Hilfe der Winkel erkennt man, dass die beiden gelben
Dreiecke gleichschenklig und ähnlich sind. Dann gilt (d-a):a=a:d oder
d(d-a)=a². Diese quadratische Gleichung in d hat die (positive) Lösung
d=[1+sqrt(5)]/2*a. |
Entnommen meiner Seite Regelmäßiges
Fünfeck
Trotzdem: Der Strahlensatz
ist eine große Hilfe beim Lösen geometrischer Probleme. Ich
könnte auf viele Seiten meiner Homepage hinweisen.
Ich will mich auf die Seite Extremwertaufgaben
mit Nebenbedingung beschränken. Von den 39 Aufgaben werden sieben
mit Hilfe eines Strahlensatzes gelöst, nämlich die Aufgaben 02,
03, 19, 24, 26, 31 und 32.
Teilung einer Strecke
top
Grundaufgabe
Teile die Strecke AB im Verhältnis
2:3.
... ... |
> Gib den Punkt C beliebig vor und verbinde ihn mit Punkt
A
> Trage eine Einheitsstrecke von A aus fünfmal ab.
Du erhältst die Punkte P und Q.
> Zeichne die Strecke BQ.
> Zeichne die Parallele zu BQ durch den Punkt P.
> Der Schnittpunkt mit der Strecke AB ist der gesuchte
Teilpunkt T. |
Die Konstruktion erklärt sich
aus dem ersten Strahlensatz.
Harmonische
Teilung
... ... |
Der Punkt T teile die Strecke AB in einem bestimmten
Verhältnis, nämlich k=AT:TB. Der Punkt T heißt innerer
Teilpunkt. |
... ... |
Es gibt einen zweiten Punkt U, für den auch k= AU:UB
gilt. Er heißt äußerer Teilpunkt. |
Man findet ihn durch die folgende Zeichnung.
... ... |
> Wähle Punkt C und verbinde ihn mit Punkt A.
> Zeichne die Gerade CT.
> Zeichne durch B die Parallele zu AC. Nenne den Schnittpunkt
mit CT Punkt D.
> Trage die Strecke BD von B aus ab. Nenne den Schnittpunkt
D'.
> Zeichne die Gerade durch C und D'. Nenne den Schnittpunkt
mit der Geraden AB Punkt U. |
Das Verhältnis k= AU:UB sieht man so ein.
Es gilt AT:TB =AC:DB (nach
dem 2.Strahlensatz)
AU:UB = AC:BD' (nach dem
2. Strahlensatz)
BD = BD' (laut Konstruktion)
Folgerung: AT:TB = AU:UB = k
Man sagt: Die Punkte T und U teilen die Strecke AB
harmonisch
oder die Punkte A, T, B und U sind harmonische Punkte.
Es gilt ferner der Satz:
Die Strecke UT ist das harmonische Mittel der Strecken
AU und BU. In der Formelsprache heißt das UT=(2AU*BU)/(AU+BU).
Eine Rechnung dazu findet man auf meiner Seite Klassische
Mittelwerte.
Stetige
Teilung
Die stetige Teilung ist eine besondere
Teilung einer Strecke.
... ... |
Eine Strecke s=AB wird durch den Punkt T stetig geteilt,
wenn die gesamte Strecke sich zum größeren Abschnitt so verhält
wie diese zum kleineren. |
In Formelsprache heißt das AB:AT=AT:TB
oder s:x = x:(s-x). Das ist gleichwertig mit x²+sx-s²=0.
Der Name stetige Teilung
ergibt sich aus der folgenden Eigenschaft.
Trägt man den kleineren Abschnitt s-x auf
der größeren Teilstrecke x ab, so wird diese Strecke x durch
den neuen Teilpunkt ebenfalls stetig geteilt.
Nachweis:
Es gilt x:(s-x)=(s-x):[x-(s-x)] oder x:(s-x)=(s-x):[2x-s].
Daraus folgt die Produktgleichung x(2x-s)=(s-x)²
oder 2x²-sx=s²-2sx+x² oder x²+sx-s²=0. Das ist
die quadratische Gleichung von oben. Somit ist es die gleiche Teilung.
Die Teilung kann beliebig oft wiederholt werden, daher
der Name.
Die stetige Teilung heißt
auch die Teilung nach dem goldenen Schnitt.
Mehr auf meiner Seite Goldener
Schnitt.
Proportionale Größen
top
Dieses Thema wird anhand der Aufgabe
oben abgehandelt.
5 kg Mehl kosten 6,40 €. Was
kosten 300g?
1
Die Aufgabe wurde über eine
Proportion gelöst.
Die gesuchten Kosten seien x €.
Es gilt die Proportion 5kg:300g = 6,40€:x€
oder 5000:300 = 640:x. Dann ist 5000x = 300*640 oder x = 38,4.
Antwort
300g Mehl kosten 38,4 ct.
2
Klassisch löst man die Aufgabe
nach dem Dreisatz.
5 kg kosten 6,40 €
0,3 kg kosten x €
------------------------
5 kg kosten 6,40 €
1 kg kostet 6,40/5 €
0,3 kg kosten (6,40/5)*0,3 €
-----------------------------------
x = (6,40/5)*0,3 = 0,384
Antwort: 300g Mehl kosten 38,4 ct.
In den ersten beiden Zeilen steht die Aufgabe. In der
ersten Zeile steht das, was man weiß, in der nächsten das, was
man wissen will. Dabei muss darauf geachtet werden, dass die Suchvariable
x rechts steht.
Dann kommen die drei Zeilen, die den Namen Dreisatz erklären.
Die erste Zeile wird von oben übernommen. In der zweiten Zeile geht
man von der Mehrheit auf die Einheit, in der dritten von der Einheit auf
die Mehrheit.
Abschließend erfolgt die Rechnung.
In der Aufgabe kommen zwei Größen
vor, nämlich die Menge M und die Kosten K, die der Menge zugeordnet
sind.
Die Zuordnung ist speziell: Menge M und Kosten K sind
zueinander proportional (abgekürzt M ~ K), d.h., dass mit der
Menge die Kosten in gleichem Maße steigen. Genauer ausgedrückt:
Der Quotient P aus den Kosten K und der Menge M ist konstant
Es gilt die Gleichung K= P*M, wobei P der Proportionalitätsfaktor
ist.
Aus 1 kg Mehl kostet 1,28 €
folgt K/M = 1,28€/1kg = 1,28€/kg. Also kann P als Preis gedeutet
werden.
3
Heute wird in den Schulen die Aufgabe
meist mit einer Tabelle gelöst. Ist das Verfahren eingeübt,
genügt eine Kurztabelle.
Mit Hilfe einer Wertetabelle
erstellt man den Graphen der Zuordnung Kosten K zu Menge M.
Das ist eine Funktion mit K=P*M.
Verschiedenes top
Seitenhalbierende im Dreieck
... ... |
Die Seitenhalbierenden in einem beliebigen Dreick teilen
sich im Verhältnis 2:1.
AS:AMa = BS:SMb = CS:SMc
= 2:1
|
Mehr auf meiner Seite Allgemeines
Dreieck
Sinussatz
... ...
|
In einem beliebigen Dreieck stehen die Seiten zu den
Sinuswerten der gegenüberliegenden Winkel im gleichen Verhältnis.
Das fasst man in einer Proportionenkette zu a:b:c=sin(alpha):sin(beta):sin(gamma)
zusammen. |
Eine
Definition der Ellipse
... ... |
Ist P ein beliebiger Ellipsenpunkt, und verbindet man
ihn mit einem Brennpunkt und zeichnet zu ihm die Senkrechte zur "Leitlinie"
l, so gilt PP1:PF2=a:e.
Das führt zu der Definition: Die Ellipse ist der
geometrische Ort aller Punkte, für die das Verhältnis ihres Abstands
d von einer Leitlinie zu ihrer Entfernung s vom Brennpunkt einen konstanten
Wert annimmt. |
Mehr auf meiner Seite Ellipse
Potenzierung
in der Homöopathie
Es gibt in der Homöopathie Arzneien mit einer "Verstärkung"
wie D8.
D8 entspricht einer Verdünnung von 1:100.000.000.
D.h., 1cm³ Wirkstoff kommt auf 100.000.000 cm³=100.000
Liter=1.000hl=100m³= 4m*5m*5m.
Das letzte Produkt kann man als Volumen eines Quaders
mit der Länge 5m, der Breite 5m und der Höhe 4m auffassen.
Ein Würfel von 1cm³ ist winzig in diesem riesigen
Raum. - Kein Kommentar.
Mehr auf meiner Seite Geometrische
Folgen und Reihen
Epizykloide
Ein Kreis mit dem Radius r rollt auf einem festen Kreis
mit denm Radius R ab. Ein Punkt auf dem Rollkreis beschreibt dabei eine
Kurve, die Epizykloide. Nur wenn das Verhältnis R:r rational ist,
ist die Kurve in sich geschlossen.
R:r = 7:2
|
R:r = 7:sqrt(2)
|
Mehr auf meiner Seite Epizykloide
Trigonometrische Funktionen
... ... |
Am rechtwinkligen Dreieck kann man sechs Verhältnisse
ablesen.
Sie führen zu den trigonometrischen Funktionen.
Für spitze Winkel gilt
sin(alpha)=a/c, cos(alpha)=b/c, sec(alpha)=c/b, csc(alpha)=c/a,
tan(alpha)=a/b und cot(alpha)=b/a. |
3-4-5-Dreieck
... ... |
Das Seitenverhältnis beträgt a:b:c = 4:3:5.
Das 3-4-5-Dreieck ist rechtwinklig,
da der Satz des Pythagoras gilt: 3²+4²=5². |
Mehr
auf meiner Seite 3-4-5-Dreieck
Gleichschenkliges
Trapez
... |
Eine Diagonale teilt das Trapez
in zwei Dreiecke.
Für die Flächeninhalte
gilt die Proportion Aa: Ac=a:c. |
... |
Die Diagonalen teilen das Trapez
in vier Dreiecke.
Für die Flächeninhalte
gilt die Proportionenkette A1:A2:A3:A4=a²:c²:ac:ac. |
Mehr
auf meiner Seite Trapez
Drei
ähnliche Dreiecke
... ... |
Die Höhe teilt das rechtwinklige Dreieck in zwei
zum Ausgangsdreieck ähnliche Dreiecke auf, da entsprechende Winkel
übereinstimmen.
Für die Flächeninhalte gilt die Proportionenkette
A1:A2:A3 = c²:a²:b² |
Mehr auf meiner Seite Rechtwinkliges
Dreieck
Verhältnisse
und Proportionen im Internet top
Deutsch
Wikipedia
Quotient,
Strahlensatz,
Ähnlichkeit
(Geometrie), Dreisatz,
Harmonische
Teilung, Doppelverhältnis,
Proportionalität,
ferner Kartoffelparadoxon
Englisch
Wikipedia
Quotient,
Ratio,
Intercept
theorem,
Similarity
(geometry), Cross-multiplication,
Projective
harmonic conjugate, Proportionality
(mathematics),
ferner: Potato
paradox
Referenzen
top
W.Gellert (Herausgeber u.a.): Kleine Enzyklopädie
Mathematik, Leipzig 1986
Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite
URL meiner Homepage:
https://www.mathematische-basteleien.de/
© 2015 Jürgen Köller
top |
