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Was ist ein Trapez?
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Ein Trapez ist ein Viereck
mit zwei parallelen Seiten.
Links zwei Beispiele. |
... |
Das Trapez kann auch ein überschlagenes Viereck
sein. |
... ...
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Sind zusätzlich die nicht parallelen Seiten gleich
lang, so ist das Viereck ein gleichschenkliges oder symmetrisches Trapez. |
Auch die folgenden fünf
Vierecke zählen zu den Trapezen, da sie ein Paar paralleler Seiten
haben.
Trapezoid
Ein Trapezoid ist (nach dem Brockhaus 1975) ein Viereck
mit nicht parallelen Seiten, also ein "Nichttrapez". Ein Beispiel ist das
Drachenviereck,
bei dem zusätzlich noch die Diagonalen aufeinander senkrecht stehen
und eine Diagonale die andere halbiert.
... ... |
Im Englischen heißt das Trapez trapezium (plural
trapezia)
und das Trapezoid wie im Deutschen trapezoid. Das ist wirklich verwirrend:
In nordamerikanischem Englisch sind die Begriffe vertauscht. Ein Trapez
ist ein trapezoid und ein Trapezoid ist ein trapezium. Diese
Bemerkung ist hilfreich, wenn man im Internet nach Trapezen sucht. - Bei
en.wikipedia setzt sich die amerikanische Schreibweise durch. |
Mehr über diese Konfusion findet man auf der Webseite
Trapezium von Eric W. Weisstein (URL unten).
(Interessant: Trapeziam wäre ein Kompromiss.)
Berechnungen top
... ... |
... ... |
Das Trapez hat die Größen Innenwinkel alpha,
beta,
gamma,
delta,
Grundseiten a und c
(a>c), Schenkel
b und d,
Mittellinie
m, Diagonalen
e und f, Höhe
h
als Abstand der Grundseiten, Flächeninhalt
A und Umfang
U. |
Sind
vier Größen gegeben, so lassen sich die übrigen berechnen.
Angenommen, die Seiten a,
b, c, d mit a>c seien gegeben. Dann gelten die folgenden Formeln.
Zu den Herleitungen
Winkel
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Zeichne die Parallele zu BC durch den Punkt D.
Es entsteht ein Dreieck, in dem der Winkel alpha nach
dem Kosinussatz berechnet wird.
Es gilt b²=d²+(a-c)²-2d(a-c)cos(alpha)
oder cos(alpha)=[d²+(a-c)²-b²]/[2d(a-c)] |
... ... |
Entsprechend leitet man die Formel cos(beta)=[b²+(a-c)²-d²]/[2b(a-c)]
her. |
| ... |
Als entgegengesetzte Winkel an Parallelen gilt delta=180°-alpha
und gamma=180°-beta. |
Mittellinie
... ... |
Spiegele das Trapez am Mittelpunkt eines Schenkels. Es
entsteht ein Parallelogramm mit einem Paar paralleler Seiten der Länge
a+c=2m. Daraus folgt m=(1/2)(a+c). |
Die Mittellinie ist das arithmetische
Mittel der Grundseiten. Es gibt weitere
Mittelwerte im Trapez.
Diagonalen
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Die Diagonale e errechnet sich nach dem Kosinussatz zu
e²=a²+b²-2ab*cos(beta).
Setzt man von oben cos(beta)=[b²+(a-c)²-d²]/[2b(a-c)]
ein, so ergibt sich nach Umformung
e=sqrt[(a²c-ac²-b²c+ad²)/(a-c)]. |
... ... |
Entsprechend leitet man die Formel f=sqrt[(a²c-ac²-cd²+ab²)/(a-c)]
her. |
Höhe
... ... |
Für das rechtwinkligen Dreieck gilt sin(alpha)=h/d
oder mit sin²(alpha)+cos²(alpha)=1 ist
h=d*sin(apha)=d*sqrt[1-cos²(alpha)]. Setzt man cos(alpha)=[d²+(a-c)²-b²]/[2d(a-c)]
von oben ein und formt um, so ergibt sich nach der englischen Wikipedia-Seite
 |
Mit der Rechnung ist wegen der Länge der Terme selbst
"Derive" überfordert.
Flächeninhalt
... ... |
Der Flächeninhalt ist A=(1/2)(a+c)h.
Setzt man die Höhe h von oben ein und formt um,
so erhält man
 |
Umfang
U=a+b+c+d
Mehr
zum Flächeninhalt top
Oben wurde der Flächeninhalt
aus den vier Seiten berechnet.
In der Schulmathematik steht die
Formel
A=mh=(1/2)(a+c)h im Mittelpunkt.
Diese Formel soll auf acht Wegen hergeleitet werden.
1
| ...... |
Spiegele das Trapez am Mittelpunkt eines Schenkels.
Es entsteht ein Parallelogramm mit einem Seitenpaar a+c.
Der Flächeninhalt ist 2A=(a+c)h. Für das Trapez
gilt dann A=(1/2)(a+c)h. |
2
... ... |
Will man die einfache Flächenformel für das
Rechteck anwenden, kann man in der Figur 1 das linke Dreieck rechts ansetzen.
Der Flächeninhalt ist 2A=(a+c)h.
Für das Trapez gilt dann A=(1/2)(a+c)h. |
3
... ... |
Zeichne die Mittellinie und in ihren Endpunkten Senkrechte.
Es werden unten zwei Dreiecke abgetrennt und oben angesetzt. Es entsteht
ein flächengleiches Rechteck mit A=mh=(1/2)(a+c)h. |
4
... |
Setze den oberen Teil des Trapezes - um 180° gedreht
- rechts an.
Es gilt A=[(1/2)h](a+c). |
5
... ... |
Zeichne durch den Eckpunkt A die Parallele zur Seite
BC. Es ist ein Parallelogramm entstanden.
Für den Flächeninhalt des Trapezes gilt
A=ah-(1/2)(a-c)h=(1/2)(a+c)h. |
6
| ...... |
Zeichne durch den Eckpunkt C die Parallele zur Seite
AD. Es ist ein Parallelogramm entstanden.
Für den Flächeninhalt des Trapezes gilt
A=ch+(1/2)(a-c)h=(1/2)(a+c)h. |
7
... ... |
Das Trapez setzt sich aus zwei Dreiecken und einem Rechteck
zusammen. Es gilt q=a-c-p.
A=(1/2)ph+ch+(1/2)qh =(1/2)ph+ch+(1/2)(a-c-p)h =(1/2)ph+ch+(1/2)ah-(1/2)ch-(1/2)ph
=(1/2)ah+(1/2)ch=(1/2)(a+c)h. |
8
... ... |
Die Diagonale AC teilt das Trapez in zwei Dreiecke gleicher
Höhe.
Für den Flächeninhalt des Trapezes gilt
A=(1/2)ah+(1/2)ch=(1/2)(a+c)h. |
Auf
die rechnerisch einfache Herleitung Nr.8 kam ich erst durch meine Recherchen
in Schulbüchern.
Trotzdem, ich favorisiere Nr.1.
Mehr zu den Diagonalen
top
Vier Formeln
... |
Nach dem Kosinussatz, bezogen auf das Dreieck ABC, gilt
e²=a²+b²-2ab*cos(beta).
Nach dem Kosinussatz, bezogen auf das Dreieck ACD, gilt
e²=c²+d²-2cd*cos(delta). |
... |
Nach dem Kosinussatz, bezogen auf das Dreieck ABD, gilt
f²=a²+d²-2ad*cos(alpha).
Nach dem Kosinussatz, bezogen auf das Dreieck BCD, gilt
f²=b²+c²-2bc*cos(gamma). |
Zwei
Teildreiecke
| ...... |
Eine Diagonale teilt das Trapez
in zwei Dreiecke mit a bzw. c als Grundseiten und h als gemeinsame Höhe.
Für die Flächeninhalte gilt Aa=(1/2)ah und Ac=(1/2)ch.
Damit stehen die Flächen im
Verhältnis Aa: Ac=a:c. |
Diagonalen-Abschnitte
... ... |
Nach dem zweiten Strahlensatz gilt AT:TC=a:c und BT:TD=a:c.
Es gilt also: Die Diagonalen teilen sich im gleichen
Verhältnis, nämlich im Verhältnis der Grundseiten. |
Schnittpunkt
der Diagonalen
... ... |
Legt man das Trapez in ein Koordinatensystem, so hat
der Schnittpunkt der Diagonalen die Darstellung
T[a(c+p)/(a+c) | ah/(a+c)].
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Herleitung
... |
Es ist günstig, die Hilfsgrößen p und
q wie in der Zeichnung einzuführen.
Es gilt a=p+c+q. |
| ...... |
Die Eckpunkte lassen sich wie links ausdrücken.
Man erhält die Koordinaten des Schnittpunktes T,
indem
man die Geradengleichungen der Geraden AC und BD bestimmt und sie zum Schnitt
bringt. |
Ausgeführt heißt das
AC: y=h/(p+c)*x
BD: y=-h/(a-p)*x+ah/(a-p)
x-Wert des Schnittpunkts: Es gilt [h/(p+c)]*x = [-h/(a-p)]*x+ah/(a-p)
oder xT=a(c+p)/(a+c)
y-Wert des Schnittpunkts: yT=[h/(p+c)]*x =
ah/(a+c)
Schnittpunkt: T[(a(c+p)/(a+c) | ah/(a+c)], wzbw.
Eine Deutung
... ... |
yT=ah/(a+c) bedeutet, dass die Schnittpunkte
der Diagonalen bei kontanten Größen a, c und h auf einer Parallelen
zu den Grundlinien liegen. |
Ist a=c, so entsteht ein
Parallelogramm. Die Schnittpunkte liegen dann auf der Mittelparallelen.
Harmonisches
Mittel
... ... |
Zeichnet man durch den Schnittpunkt der Diagonalen eine
Parallele zu den Grundseiten, so ist der Streckenabschnitt innerhalb des
Trapezes das harmonische Mittel der Grundseiten. - Formel: n=2ac/(a+c) |
Herleitung
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Es gilt n=P1P2. Man bestimmt die
Koordinaten der Punkte P1 und P2.
P1 ist der Punkt auf der Geraden AD mit dem
y-Wert von T.
y=(h/p)*x und y=ah/(a+c) ergibt (h/p)*x=ah/(a+c) oder
x1=(ap)/(a+c)
P2 ist der Punkt auf der Geraden BC mit dem
y-Wert von T. |
y=ah/(a+c) und y=h/(c+p-a)*x-(ha)/(c+p-a) ergibt ah/(a+c)=h/(c+p-a)*x-(ha)/(c+p-a)
oder x2=a(2c+p)/(a+c)
Dann ist P1P2=x2-x1=a(2c+p)/(a+c)-(ap)/(a+c)=2ac/(a+c),
wzbw.
Zwei
elegante, aber nicht einfache Beweise, ohne Koordinaten zu benutzen, findet
man auf den Webseiten von PlanetMath (URL unten) und Shannon
Umberger (URL unten).
Vier
Teildreiecke des gleichschenkligen Trapezes
Die Diagonalen teilen das Trapez in vier Teildreiecke.
Für deren Flächen gilt:
|
Dreieck ABS: A1=(1/2)a²h/(a+c)
Dreieck CDS: A2=(1/2)c²h/(a+c)
Dreieck BCS: A3=(1/2)ach/(a+c)
Dreieck ADS: A4=(1/2)ach/(a+c) |
Zur Herleitung: s sei die Ordinate des Punktes S. Es gilt
s=ah/(a+c) und weiter A1=as/2 und A2=c(h-s)/2.
Die gelben Dreiecke bestimmt man als Differenz der Gesamtfläche
und der Summe der Flächen der beiden gleichschenkligen Dreiecke.
| Ein Proportionenkette: A1:A2:A3:A4=a²:c²:ac:ac |
Eine Formel: A1A2=A3A4 |
Größtes Trapez
top
Größtes Trapez aus drei
Seiten
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Ein gleichschenkliges Trapez hat drei gleich große
Seiten, nämlich eine Grundseite und die beiden Schenkel. Welchen Winkel
alpha muss das Trapez haben, damit der Flächeninhalt maximal wird? |
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Geht alpha gegen Null, so geht auch der Flächeninhalt
gegen Null. - Nähert sich alpha dem Winkel 90° und geht darüber
hinaus, so wird der Flächeninhalt kleiner. |
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Für die Rechnung ist es günstig, nicht den
Winkel alpha zu betrachten, sondern die Höhe x.
Es gilt x=b*sin(alpha). Nach dem Satz des Pythagoras
ist s²=b²-x² oder s=sqrt(b²-x²).
Der Flächeninhalt ist A(x)=(1/2)[b+b+2s)x=[b+sqrt(b²-x²)]x=bx+x*sqrt(b²-x²). |
Rechnung
A'(x)=b+(-2x²)/[2sqrt(b²-x²)]+sqrt(b²-x²)=[-2x²+b²+b*sqrt(b²-x²)]/sqrt(b²-x²)
A'(x)=0 bedeutet -2x²+b²+b*sqrt(b²-x²)=0
oder b*sqrt(b²-x)=2x²-b² oder b²(b²-x²)=(2x²-b²)²
oder b4-b²x²=4x4-4b²x²+b4
oder -b²x²=4x4-4b²x² oder 4x4 =3b²x².
Das führt zu x=0 und x²=(3/4)b² bzw. x=(1/2)sqrt(3)b und
x=-(1/2)sqrt(3)b.
Für das Problem ist die Lösung x=(1/2)sqrt(3)b
zutreffend. Das führt zu sin(alpha)=(1/2)sqrt(3) oder alpha=60°.
Auf die zweite Ableitung verzichte ich.
Lösung: Das Trapez ist
am größten, wenn alpha=60° ist.
Es stellt sich die Frage,
weshalb das Trapez auf den Kopf gestellt wird.
... ... |
Das liegt daran, dass die Aufgabe meist so formuliert
wird.
Eine Rinne wird aus drei Bretter gleicher Breite gebildet,
einem Bodenbrett und zwei Seitenbretter. Wie groß muss der
Neigungswinkel der Seitenbretter sein, wenn durch die Rinne möglichst
viel Wasser fließen soll? |
Für alpha=60° ist
das Trapez übrigens ein halbes regelmäßiges Sechseck.
Größtes
Trapez im Halbkreis
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Gegeben ist ein Halbkreis durch die Gleichung x²+y²=r²
und y>0.
Welche Maße hat das größte Trapez, das
in den Halbkreis zwischen x-Achse und Kreislinie passt? |
Lösung
Es gilt A=[(2r+2x)/2]y=(x+r)y.
Die Nebenbedingung ist x²+y²=r² oder y²=r²-x².
Die Zielfunktion ist A²(x)=(x+r)²y²=(x²+2rx+r²)(r²-x²)=-x4-2rx3+2r³x+r4.
(A²)'=-4x³-6rx²+2r³.
(A²)'=0 führt zur Lösung x=r/2. (Gelöst
durch Probieren). Dann ist y=(1/2)sqrt(3)r.
Die Maximalstelle ist gesichert: (A²)''=-12x²-12r²<0
für x=r/2.
Ergebnis: Das größte Trapez hat die Grundseiten
2r und r und die Höhe (1/2)sqrt(3)r. Das Trapez ist ein halbes regelmäßiges
Sechseck.
Größtes
Trapez in der Halb-Ellipse
... ... |
Gegeben ist die Halbellipse durch die Gleichung x²/a²+y²/b²=1
und y>0.
Welche Maße hat das größte Trapez, das
in die Halbellipse zwischen der x-Achse und der Ellipse passt? |
Zur Lösung
Da die Ellipse das affine Bild eines Kreises ist, ist
anzunehmen, dass die Maximalstelle bei x=a/2 liegt.
Größtes
Trapez unter einer Parabel
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Gegeben ist die nach unten offene Parabel durch die Gleichung
y=-x²+1.
Welche Maße hat das größte Trapez, das
in das Parabelsegment zwischen der x-Achse und der Parabel passt? |
Lösung
Der Flächeninhalt des Trapezes ist A(x)=(1/2)(2+2x)y=(x+1)(-x²+1)=-x³+x-x²+1.
Die Ableitung ist A'(x)=-3x²-2x+1.
A'(x)=0 führt zur quadratischen Gleichung -3x²-2x+1=0
oder x²+(2/3)x-1/3=0
Die Lösungen sind x1=-(1/3)+sqrt(1/9+1/3)=-1/3+2/3=1/3
und (hier unbrauchbar) x2=-(1/3)-sqrt(1/9+1/3)=-1/3-2/3=-1.
Für die zweite Ableitung gilt A''(x)=-6x-2 und damit
A(x1)<0. Damit ist x1 eine Maximalstelle
Es gilt weiter y1=-(1/3)²+1=8/9.
Ergebnis: Das maximale Trapez hat die Größen
a=2, c=1/3, h=8/9.
Verschiedenes top
Ergänzungsdreieck
... ... |
Verlängert man die Schenkel eines Trapezes um b'
und d', so entsteht oberhalb des Trapezes ein Ergänzungsdreieck mit
den Seiten c, b', d' und der Höhe h'.
Nach dem zweiten Strahlensatz gilt b':(b+b') =
c:a. Daraus folgt b'=bc/(a-c).
Nach dem zweiten Strahlensatz gilt d':(d+d') =
c:a. Daraus folgt d'=cd/(a-c).
Nach dem ersten Strahlensatz gilt h':h=d':d. Daraus folgt
h'=ch/(a-c). |
Mittenviereck
... ...
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Verbindet man die Seitenmitten eines Trapezes, so ergibt
sich wie beim
allgemeinen Viereck ein Parallelogramm. |
... ...
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Ist das Trapez gleichschenklig, so ergibt sich sogar
eine Raute, da die Diagonalen aufeinander senkrecht stehen. |
Um-
und Inkreis
Ein allgemeines Trapez hat keinen
Um- oder Inkreis. Es gibt Sonderfälle.
Sehnenviereck
Das gleichschenklige Trapez hat
einen Umkreis. Es ist ein Sehnenviereck.
... ...
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Lege das Trapez zur Bestimmung des Radius des Umkreises
in ein Koordinatensystem. Bestimme die Geradengleichung für g als
Mittelsenkrechte der Punkte A(0|0) und D((a-c)/2|h). Die Gerade h wird
mit x=a/2 beschrieben. Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der Mittelpunkt
M, M(a/2|(c²-a²+4h²)/8h). |
Die Strecke AM ist der gesuchte Radius: R=sqrt(a4 +c4
+16h4+8a²h²+8c²h²-2a²c²)/(8h)
:-(
Tangentenviereck
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Es gibt besondere Trapeze mit einem Inkreis. Sie bilden
Tangentenvierecke.
Man findet sie so.
Man gibt einen Kreis vor und zeichnet zwei parallele
Tangenten. Man ergänzt die Figur durch zwei weitere Tangenten, die
dann die Schenkel bilden. |
Weitere
Trapeze meiner Homepage top
... ... |
Werden die Eckpunkte eines allgemeinen
Vierecks durch Koordinaten gegeben, so ist es günstig, den Flächeninhalt
über Flächeninhalte von Trapezen zu bestimmen. |
Schwerpunkt
... ... |
Die Lage des Schwerpunktes einer trapezförmigen
Scheibe findet man auf meiner Seite
Schwerpunkt von Figuren. |
Mittelwerte
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Im Trapez treten das arithmetische, das geometrische
und das harmonische Mittel als Strecken auf.
Mehr auf meiner Seite Klassische
Mittelwerte |
Besondere
Trapeze
Mehr über diese Figuren findet man auf meinen Seiten
Polyiamonds
und Polyabolos.
Papierbecher
Das Falten eines Papierbechers
führt zu einer interessanten Trapezform: Mittellinie und Höhe
sind gleich lang.
Anmerkung: Es sieht so aus, als ständen die Diagonalen
aufeinander senkrecht.
Trapez im Internet
top
Deutsch
Hans Walser
Fibonacci-Trapeze
Ingmar Rubin
Ein
Halbkreis im Trapez
Mathematik-Online-Aufgabensammlung (mo.mathematik.uni-stuttgart.de)
Aufgabe
616: Flächenmaximierung, Rinne
Michael Holzapfel
Knoten
im Papierstreifen (Goldenes Trapez)
Wikipedia
Trapez,
Trapezregel,
Trapez-Methode
Englisch
Antonio Gutierrez (GoGeometrie)
Problem
163. Trapezoid, Diagonals, Triangles, Areas
Problem
170. Trapezoid, Midpoint, Triangle, Area
Problem
171. Trapezoid, Midpoints, Triangles, Areas
Problem
172. Trapezoid, Midpoints, Quadrilaterals, Areas
Problem
185. Trapezoid, Triangles and Angles, Auxiliary Lines
Problem
337. Isosceles Trapezoid, Angle bisector, Parallel, Concyclic points
Problem
432: Trapezoid, Parallel, Measurement, Similarity, Transversal
Problem
529: Right Trapezoid, Circle, Diameter
Problem
530: Cyclic Quadrilateral, Diagonal, Diameter, Perpendicular, Congruence,
Math Education
efunda.com
Trapezoid,
Isosceles
Trapezoid
Eric W. Weisstein (mathworld)
Trapezium,
Trapezoid,
Isosceles
Trapezoid, BrahmaguptasTrapezium,
Pyramidal
Frustum
Jim Wilson
PROBLEMS:
Isosceles trapezoid, Discussion/Solution?
PlanetMath
Trapezoid
Shannon Umberger
Essay # 3 - Some
"Mean" Trapezoids
Susie Lanier
Isosceles
Trapezoid
Wikipedia
Trapezoid,
Isosceles
trapezoid,
Trapezoidal
rule
Referenzen top
Jan Gullberg: Mathematics- From the Birth of Numbers,
New York London 1997 (ISBN0-393-04002-X)
Feedback: Emailadresse
auf meiner Hauptseite
URL meiner
Homepage:
https://www.mathematische-basteleien.de/
©
2004 (erweitert 2010) Jürgen Köller
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