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Was ist die Hierarchie der Vierecke?
Die vielfältigen Beziehungen zwischen den Vierecken
können durch Diagramme veranschaulicht werden. Bei in Stufen aufgebauten
Anordnungen spricht man von der
Hierarchie der Vierecke.
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Links ist ein typisches Beispiel:
Man geht vom allgemeinen Viereck oben aus, spezialisiert
es immer mehr und gelangt schließlich unten zum Quadrat.
Nebeneinander liegende Vierecke haben vergleichbare Eigenschaften. |
Diese Diagramme heißen auch griffig Haus der Vierecke
und beschreiben die Systematik der Vierecke.
Diagramm
aus sieben Vierecken top
Diagramm mit sieben Vierecken
Es geht zunächst um das eingangs erwähnte Diagramm
aus sieben Vierecken und ihren Eigenschaften.
Allg. Viereck
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Trapez
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Drachenviereck
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Parallelogramm
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Rechteck
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Raute
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Quadrat
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Definition |
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Zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel. |
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Das Viereck ist achsensymmetrisch. |
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Zwei Paar Gegenseiten sind parallel. |
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Alle Winkel sind rechte Winkel. |
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Die Seiten sind gleich lang. |
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Die Seiten sind gleich lang. Ein Winkel ist ein rechter
Winkel. |
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In den Spalten werden die Eigenschaften angekreuzt, die auf
die speziellen Vierecke zutreffen.
Diagramm
Die Tabelle kann zum folgenden Graphen führen.
Zusätzliche Informationen
zu den Vierecken erhält man, wenn man sie auf eine bestimmte Eigenschaft
hin untersucht. Diese bestimmen stark die Anordnung der Vierecke
in der Horizontalen.
Viereck
und Symmetrie
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Das symmetrische Drachenviereck hat eine Symmetrieachse
und das Parallelegramm ein Symmetriezentrum. Beide liegen deshalb in einer
Zeile. Dann liegen Raute und Rechteck nebeneinander. Beide haben zwei aufeinander
senkrecht stehende Symmetrieachsen und ein Symmetriezentrum. Das Quadrat
hat vier Achsen. Das Trapez passt nicht in diese Anordnung. |
Anzahl
gegebener Stücke
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Ein Viereck wird im Allgemeinen eindeutig bestimmt, wenn
von den vier Seiten und vier Winkeln fünf gegeben sind. Ein Dreieck
erfordert drei Stücke, für den vierten Eckpunkt des Vierecks
benötigt man zwei weitere. Hat das Viereck spezielle Eigenschaften,
so vermindert sich die Anzahl bis auf 1 beim Quadrat. |
Diese Reihe könnte für weitere Merkmale fortgesetzt
werden.
Diagramm aus
elf Vierecken
top
Will man auch Vierecke mit Um- und Inkreis berücksichtigen,
erweitert man das Diagramm wie folgt.
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Sehnenviereck |
Die Eckpunkte des Vierecks liegen auf einer Kreislinie. |
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Tangentenviereck |
Die Seiten des Vierecks berühren
einen Kreis. |
Dann ist es zum Ausfüllen
von Lücken sinnvoll, zwei weitere Vierecke bereitzustellen.
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Gleichschenkliges Trapez |
Es gibt eine Symmetrieachse durch die Mitten der beiden
parallelen Seiten. |
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Schiefer Drachen |
Eine Diagonale halbiert die andere. |
Diagramm
Diagramm
aus zwölf Vierecken top
Das folgende Diagramm weicht vom üblichen Schema
ab.
Drei Vierecke tauchen neu auf.
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Drachen-Sehnenviereck |
Der Drachen hat einen Umkreis. |
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Trapez-Tangentenviereck |
Das Trapez hat einen Inkreis. |
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Sehnentangentenviereck |
Es gibt einen In- und Umkreis. |
Quelle: Universität
Bayreuth - Lehrstuhl für Mathematik und ihre Didaktik
(Offenbar ist das Diagramm nur noch bei Google/Bilder
vorhanden. Deshalb konnte ich keinen Link setzen.)
Auf der englischen Wikipedia-Seite
„Quadrilateral“ (URL unten) findet man ein Diagramm mit 17 Vierecken, in
dem auch überschlagende und konkave Vierecke einbezogen sind.
Rechtwinklige
Vierecke top
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Definition: Ein Viereck ist rechtwinklig, wenn es mindestens
einen rechten Winkel hat.
Dieses ist mehr eine Spielerei. |
Mengendiagramme top
Man kann die Diagramme auch in Mengendiagramme umwandeln.
Das ist nicht immer sinnvoll. Das folgende Beispiel zeigt,
dass der Sachverhalt evtl. komplizierter dargestellt wird.
Drei Vierecke sind überschaubar.
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Das ist der untere Teil des Diagramms. Drei Vierecke
bilden ein Dreieck, das auf der Spitze steht. Das Rechteck und die Raute
werden zu einem Quadrat, wenn man Eigenschaften vorschreibt. |
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Das Mengendiagramm dazu eröffnet eine neue Sichtweise:
Die Menge der Rechtecke und die Menge der Rauten haben
eine gemeinsame Schnittmenge, nämlich die Menge der Quadrate. |
Es folgt noch das Beispiel
eines interessanten und originellen Mengendiagramms.
Der Autor ist Peter Jirjahlke. Ich nahm es zum Anlass,
um dieses Diagramm herum diese Seite zu machen.
Verschiebbarer
Rahmen top
In der Sammlung von mathematischen Lehrgeräten meiner
bis 2010 existierenden Schule befand sich auch ein Rahmen, mit dem man
gängige Vierecke demonstrieren konnte.
Jede der vier Seiten besteht aus je zwei Holzstäben,
die an den Ecken vernietet sind und sich im Inneren mit einer Schlaufe
aus Eisenblech umfassen. Jede Diagonale wird von je zwei Eisenstäben
gebildet, die auch an den Ecken befestigt sind und nach Art einer Stabantenne
in sich verschiebbar sind.
Das pfiffige Gerät stammt aus alten Zeiten und hat den
Aufdruck F.W.Günzel Kötzschenbroda, Verschiebbare Rahmen.
Hinweis auf Tetragon
top
Tetragon ist ein Legespiel, bei dem man aus acht ähnlichen
Vierecken aus Plexiglas Figuren legt.
Mehr auch meiner Webseite Tetragon
Hierarchie der
Dreiecke top
Die Dreiecke sind geordnet nach dem Merkmal "Anzahl der
gegebenen Stücke".
Mehr über Dreiecke findet
man auf meinen Seiten: Gleichseitiges Dreieck,
Gleichschenklig-rechtwinkliges
Dreieck, 3-4-5-Dreieck,
30-60-90-Dreieck.
Mehr über Vierecke findet
man auf meinen Seiten Quadrat, Quadrate
legen, Raute, Gleichschenkliges
Trapez, Drachenviereck, Doppelquadrat,
Sehnenviereck,
Tangentenviereck,
Parallelogramm,
Rechteck
Hierarchie
der Vierecke im Internet top
Deutsch
Wikipedia
Viereck,
Projektive
Geometrie, Wer
wird Millionär? (Strittige Fragen)
Englisch
Wikipedia
Quadrilateral,
Projective
geometry
Referenzen top
(1) Der Neue Brockhaus, Allbuch in vier Bänden und
einem Atlas, Leipzig 1938
(2) Lambacher Schweizer 8, Stuttgart 1995 [ISBN 3-12-730730-6]
Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite
URL meiner
Homepage:
https://www.mathematische-basteleien.de/
©
2007 Jürgen Köller
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