|
Was ist eine Raute?
Eine Raute (oder ein Rhombus) ist ein Viereck mit gleich
langen Seiten.
... ...
|
Das nebenstehende Viereck in zwei Ansichten hat diese
Eigenschaft und ist eine Raute. |
... ...
|
Auch ein Quadrat hat gleich
lange Seiten und ist deshalb eine Raute. Es ist ein Sonderfall der Raute. |
Die Raute wiederum ist ein Sonderfall des Parallelogramms
und des Drachenvierecks.
Eigenschaften
der Raute top
Gegenwinkel
... ...
|
Zeichnet man in die Raute die Diagonale e oder die Diagonale
f ein, so entstehen nach dem Kongruenzsatz SSS zwei kongruente gleichschenklige
Dreiecke. Die Winkel an der Spitze sind gleich. |
Es gilt also für die Raute: Gegenüberliegende Innenwinkel
sind gleich.
Gegenseiten
... ... |
Die Gegenseiten sind parallel. |
Begründung: Da die Diagonale zwei kongruente Dreiecke
erzeugt, sind Wechselwinkel gleich. Folglich sind nach der Umkehrung des
Satzes von den Wechselwinkeln die Gegenseiten parallel.
Diagonalen
... ...
|
Zeichnet man in die Raute beide Diagonalen ein, so kann
jeweils eine halbe Diagonale als Höhe in einem gleichschenkligen Dreieck
gesehen werden. |
Daraus folgt: Die Diagonalen halbieren sich und stehen aufeinander
senkrecht.
Die Diagonalen halbieren die Innenwinkel.
Die Raute ist achsensymmetrisch bzgl. der Diagonalen
und punktsymmetrisch bzgl. des Mittelpunktes.
Es gilt auch die Umkehrung:
Stehen in einem Viereck die Diagonalen aufeinander senkrecht und halbieren
sich, so ist das Viereck eine Raute.
Zum Beweis dieser Richtung: Die Diagonalen bilden nach
dem Kongruenzsatz SWS vier kongruente Dreiecke. Die Hypotenusen sind gleich.
Mittenviereck
1
... ... |
Verbindet man die Seitenmitten einer Raute, entsteht
ein Rechteck. |
Zum Beweis: Man zeichnet nacheinander die Diagonalen ein.
Die Seiten des Mittenvierecks sind Mittelparallelen im jeweiligen Dreieck.
Mittenvierecke
2
... ... |
Verbindet man die Seitenmitten eines Rechtecks oder auch
eines gleichschenkligen Trapezes, so entstehen Rauten.
Zum Beweis: Man zeigt, dass die Diagonalen aufeinander
senkrecht stehen und sich halbieren. |
Raute
im Parallelogramm
... ... |
1 Zeichne ein beliebiges Parallelogramm.
2 Zeichne die beiden Diagonalen.
3 Halbiere die Winkel zwischen den Diagonalen und verbinde
entsprechende Schnittpunkte. |
Das Viereck ist eine Raute.
Zum Beweis: Die Diagonalen bilden eine Geradenkreuzung.
Halbiert man die Winkel, so stehen die Winkelhalbierenden aufeinander senkrecht.
Alle
Formen
Hält man die horizontal liegende Diagonale e einer
Raute fest und wählt für die andere Diagonale f alle Längen
zwischen 0 und e, so erhält man alle Formen einer Raute.
Man beachte den kleineren Innenwinkel: Er durchläuft
die
Werte zwischen 0° und 90°. Er ist geeignet, die Form einer Raute
zu kennzeichnen.
Größen der
Raute top
Das sind die Seite a, die Diagonalen e
und f, die Innenwinkel alpha und 180°-alpha, die
Höhe
h, der Umfang U, der Flächeninhalt A
und der Radius des Inkreises r.
Abgesehen vom Quadrat hat die Raute keinen Umkreis.
Eine Raute ist durch zwei
Größen gegeben. Die anderen Größen lassen sich aus
ihnen berechnen.
1.Fall: Die Seite a und ein Innenwinkel alpha sind gegeben.
Zur Herleitung:
>Wende zur Bestimmung von e und f den Kosinussatz
an.
>A=4*(1/2)*(e/2)*(f/2).
>Zeichne zur Berechnung der Höhe h in die
Raute ganz links ein rechtwinkliges Dreieck. Lies den Sinus ab.
>r=h/2
2.Fall: Die Diagonalen e
und f sind gegeben.
Zur Herleitung:
>Wende den Satz des Pythagoras an: a²=(e/2)²+(f/2)².
>Setze die Fläche A aus den vier rechtwinkligen
Dreiecken, die die Diagonalen erzeugen, zusammen.
>Für den Flächeninhalt gilt (A=) a*h=(1/2)*e*f.
Berechne daraus die Höhe h.
> Berechne alpha mit dem Tangens, abgelesen im
Dreieck aus e/2 und f/2.
>r=h/2
Figuren aus Rauten
top
60°-Raute
Diese Raute hat die Innenwinkel 60° und 120°.
... |
Sie entsteht, wenn man ein gleichseitiges Dreieck an
einer Seitenmitte spiegelt.
Die beiden Diagonalen teilen die Raute in vier kongruente
30-60-90-Dreiecke. |
... ...
|
Aus sechs 60°-Rauten kann man einen Stern bilden.
Verbindet man die Zacken des Sterns mit sechs weiteren 60°-Rauten,
so entsteht ein regelmäßiges Sechseck. |
... |
Das Besondere dieses Sechsecks ist, dass es sechs halb
so kleine Sechsecke enthält. |
45°-Raute
... ... |
Aus acht 45°-Rauten kann man einen Stern bilden.
Füllt man den Bereich zwischen den Zacken mit Quadraten
und zwischen den Quadraten mit Rauten, so entsteht ein regelmäßiges
Achteck. |
... |
Das Besondere dieses Achtecks ist, dass es acht halb
so kleine Achtecke enthält. |
Penrose
Tiling
... ...
|
Aus fünf 72°-Rauten kann man einen fünfzackigen
Stern legen. Füllt man den Bereich zwischen den Zacken mit 36°-Rauten,
so ergibt sich ein regelmäßiges - Zehneck. |
... ...
|
Das Zehneck wird noch einmal gelegt.
Dieses Mal gilt zusätzlich eine Dominoregel:
Die zehn Rauten werden mit Farbmarkierungen versehen.
Gleiche Farben sollen aneinander stoßen. |
... ...
|
Man kann die markierten Rauten rund um das Zehneck immer
weiter legen.
Das Besondere ist, dass das zu einer "Parkettierung" der
gesamten Ebene führt und dass diese Parkettierung nichtperiodisch
ist. Das ist erstaunlich, denn bei so ziemlich allen Parkettierungen wiederholen
sich bestimmte Bereiche. Sie ist dann periodisch. |
Roger Penrose hat 1974 diese Parkettierung untersucht. N.G.
de Bruijn bewies 1981 streng, dass mit den schon von Penrose angegeben
Farbregeln eine periodische Parkettierung der Ebene nicht möglich
ist (Buch 1, Seite 58).
Bis heute ist ungeklärt, ob man mit einer einzelnen
Figur die Ebene nichtperiodisch parkettieren kann (Buch 2, Seite 214).
Eine Formel zur
Raute top
... ... |
Es ist möglich, eine Raute in einem Koordinatensystem
nur durch
eine Gleichung zu beschreiben.
Die Zahlen im Nenner der Gleichung findet man in der Zeichnung
als halbe Diagonalen.
|
|
|
Die Raute ist der Grenzfall n=1 einer Lamé-Kurve. |
Mehr findet man auf meiner Seite Eilinien.
Rauten im Rechteck
top
Mehr findet man auf meiner Seite Papierformat
A4
Körper aus Rauten
top
Aus sechs Rauten kann man einen Körper bilden. Er
heißt Parallelepiped oder Spat.
Aus 12 passenden Rauten entsteht
das Rhombendodekaeder.
Raute im Internet
top
Deutsch
mathepower
Raute berechnen
- online
Wikipedia
Raute,
Penrose-Parkettierung,
Rautenzeichen
Englisch
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Rhombus,
Diamond,
Golden
Rhombus,
Wikipedia
Rhombus,
Penrose
tiling
Referenzen
top
(1) F.L. Bauer, Einladung zur Mathematik, Deutsches Museum,
München (ISBN 3-924-18349-X)
(2) Ivars Peterson: Mathematische Expeditionen, Heidelberg-Berlin-New
York 1992 (ISBN 3-86025-044-2)
Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite
URL meiner
Homepage:
https://www.mathematische-basteleien.de/
©
2004 Jürgen Köller
top |
