Oktaederstern

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Was ist der Oktaederstern?
Beziehung zu anderen Körpern
Formeln
Basteln des Oktaedersterns

Verschiedenes
Oktaederstern im Internet
Referenzen
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Was ist der Oktaederstern?

...... Zwei gleiche Tetraeder durchdringen sich so, dass ein Stern mit acht Zacken entsteht.
Man kann das auch so sehen: Auf die Seitenflächen eines Oktaeders werden acht Zacken gesetzt.
Der Körper heißt Oktaederstern.
Als ein Körper, der nur von gleichseitigen Dreiecken begrenzt wird, gehört es zu den (konkaven) Deltaedern.

.	Das nebenstehende Bildpaar ermöglicht eine dreidimensionale Sicht des Oktaedersterns.

Besondere Ansichten führen auf die Figuren Hexagramm und Quadrat.

undurchsichtig

durchsichtig

durchsichtig

undurchsichtig

Der Oktaederstern heißt auch Keplerstern. Johannes Kepler (1571 bis 1630) untersuchte ihn wie andere vor und nach ihm.
Er nannte ihn Stella Octangula.
Diejenigen, die in einem Oktaederstern mehr als einen geometrischen Körper sehen, nennen ihn Merkaba.

Beziehung zu anderen Körpern top
Beziehung zum Würfel

...... Zeichnet man alle Flächendiagonalen eines Würfels, so entstehen zwei Tetraeder, die sich durchdringen.

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Verbindet man noch zusätzlich benachbarte Mittelpunkte der Seitenflächen, also der Quadrate, so ist im Inneren das Oktaederstern auszumachen. Man erkennt das Oktaeder und die acht Tetraeder.

Anders ausgedrückt: Der Würfel umhüllt den Oktaederstern. Ich nenne ihn deshalb Hüllwürfel (Englisch: Convex hull).

Beziehung zum Pentagondodekaeder

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In einem Pentagondodekaeder liegt ein Würfel und im Würfel ein Oktaederstern.
Da es fünf verschiedene Würfel im Pentagondodekaeder gibt, gibt es in ihm fünf Oktaederstern.
Ich verzichte links auf die Darstellung des Oktaedersterns.

Einordnung des Oktaedersterns
Setzt man Tetraeder auf ein Tetraeder, ein Oktaeder und ein Ikosaeder, so entstehen die folgenden Sterne.

Bild eines Hypertetraeders
oder Tetraedersterns

Oktaederstern

Großes Sterndodekaeder
oder Ikosaederstern

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Ecken, Kanten und Seitenflächen
Der Oktaederstern hat e = 5+4+5 = 14 Eckpunkte, k = 8*3+12 = 36 Kanten und f = 3*8 = 24 Seitenflächen.
Betrachtet man die beiden Tetraeder, die sich durchdringen, sind die Daten e = 8, k = 12 und f = 8.

Größen
Die Kantenlänge des Sterns sei a, dann ist die Oberfläche O = 3*8*[(1/4)sqrt(3)a²] = 6sqrt(3)a² oder gerundet 10,39a².

Das Volumen setzt sich aus dem Volumen der acht Tetraeder und des Oktaeders zusammen.
V=8*[(1/12)sqrt(2)a³]+(1/3)sqrt(2)a³ = sqrt(2)a³ oder gerundet 1,41a³.

Der Radius R der Umkugel findet man als halbe Diagonale im Hüllwürfel.
D.h., R = (1/2)[sqrt(3)]*[sqrt(2)a] = (1/2)sqrt(6)a oder gerundet 1,22a.

Vergleich der Volumina von Tetraeder und Oktaeder
[(1/12)sqrt(2)a³]:[(1/3)sqrt(2)a³] = 1:4 (!)

Vergleich mit dem Hüllwürfel
Der Hüllwürfel hat eine Kantenlänge von sqrt(2)a, eine Oberfläche von 6*[sqrt(2)a]² = 12a² und ein Volumen von [sqrt(2)a]³ = 2sqrt(2)a³.
Das Verhältnis der Oberflächen vom Stern zum Hüllwürfel ist [6sqrt(3)a²]:[12a²] = (1/2)sqrt(3) oder gerundet 0,8660 = 86,60%.
Das Verhältnis der Volumina vom Stern zum Hüllwürfel ist [sqrt(2)a³]:[2sqrt(2)a³] = 1/2 = 50% (!).

Basteln des Oktaedersterns top
Basteln mit Hilfe eines Netzes

...... Auf der Webseite Stella Octangula von MathWorld (URL unten) findet man eine Vorlage zum Basteln des Oktaedersterns. Die Doppellinie bedeutet, dass dort ein Schnitt zu machen ist. [siehe auch (1)]
Der Stern ist mir nicht gelungen :-(.

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Im Internet fand ich eine genaue Anleitung. Die schwarzen Linien bedeuten eine Bergfaltung, die blauen eine Talfaltung. Das Netz ist mit Klebestreifen versehen. Die 24 Dreiecke sind nach dem Alphabet nummeriert.
Man klebt die Tetraeder aus den Dreiecken MST, KFL, QPW, YRV, ONI, CFE und UHG in dieser Reihenfolge. Dann schließt man den Körper, und es entsteht das achte Tetraeder ABD.

Das ist das Resultat.
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Gefalteter Stern mit acht Zacken

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Der nebenstehende Stern entstand aus einem quadratischen Blatt Papier einem russischsprachigen Video bei Youtube folgend (DYI, URL unten).

Die Zacken sind nicht Tetraeder, sondern rechtwinklige dreiseitige Pyramiden.

Bascetta-Stern mit acht Zacken
Die Zacken sind nicht Tetraeder, sondern dreiseitige Pyramiden.

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Freundlicherweise zur Verfügung gestellt von Rudolf Kunstmann

Sonobe-Stern mit acht Zacken

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Der nebenstehende Stern entstand aus 12 quadratischen Blättern.
Die Zacken sind nicht Tetraeder, sondern rechtwinklige dreiseitige Pyramiden.

Mehr über Sterne aus den Sonobe-Modulen findet man auf meiner Webseite Sonobe-Stern.

Think 3D Free
Es gibt für das IPad eine App von Paul Hangas, mit der man auf einfache Weise aus Oktaeder und Tetraedern einen Oktaederstern baut. -
Es soll noch erwähnt werden, dass man auch Würfelkörper zusammensetzen kann wie rechts ein Pentomino (URL unten).
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Hexagramm

...... Im Sechseckstern kann man die zweidimensionale Version des Oktaedersterns sehen.

Parkettierung des Raumes

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Setzt man auf zwei gegenüberliegende Seitenflächen eines Oktaeders zwei Tetraeder, entsteht ein Parallelepiped. So wie die Würfel füllen die Parallelepipede den Raum aus.

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So sähe die Raumerfüllung in einem Ausschnitt aus. Jedes Oktaeder ist von acht Tetraedern umgeben. Das aber ist ein Oktaederstern. Man stellt fest:
In der Parkettierung des Raums durch Oktaeder/Tetraeder entdeckt man Oktaedersterne.

Zeichnung nach https://commons.m.wikimedia.org/wiki/Tessellation?uselang=de#/media/File%3AHC_P1-P3.png

Tetrakishexaeder
Verbindet man die Mittelpunkte der Dreiecke und Achtecke eines abgestumpften Würfels, so entsteht das Tetrakishexaeder. Das ist ein Oktaeder, auf dessen Seitenflächen dreiseitige Pyramiden liegen. Im Unterschied zu den Tetraedern des Oktaedersterns sind die Pyramiden flacher.

Abgestumpfter Würfel

Tetrakishexaeder

Kepler-Fraktale
Ersetzt man beim Oktaederstern die dunklen Tetraeder wiederum durch Oktaedersterne, so erhält man ein Fraktal der Ordnung 1.

n=0

n=1

Das setzt man fort. Es entsteht dann eine Folge von Fraktalen.
Fraktale findet man auf den Webseiten von Paul Bourke und des Instituts für Geometrie der Technischen Universität Dresden (URL unten).

Oktaederstern-Zahlen
Oktaederstern-Zahlen sind figurierte Zahlen, also Zahlen, die sich durch Figuren, in diesem Falle durch Oktaederstern, darstellen lassen.
Sie werden nach der Formel S(n) = 2n³-n bestimmt.
Die ersten zehn Oktaederstern-Zahlen sind 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990.

Die folgenden Überlegungen führen zur Formel.

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Ordnet man 14 Kugeln so an, dass sie in den Ecken und in den Mittelpunkten der Seitenflächen eines Würfels liegen, so bilden sie einen Oktaederstern. Dazu muss man sich in nebenstehender Zeichnung vorstellen, dass die Kugeln größer sind und sich berühren. Das ist der kleinste Oktaederstern aus Kugeln.

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Das ist eine andere Überlegung.
Man bildet ein Quadrat aus vier sich berührenden Kugeln und legt in die Mitte eine fünfte Kugel. Eine sechste Kugel liegt unter dem Quadrat. - Die sechs Kugeln stehen für das Oktaeder.
Man legt vier Kugeln in die von drei Kugeln geformten Mulden. Weitere vier Kugeln liegen darunter. - Die acht Kugeln stehen für die Tetraeder und die Spitzen des Oktaedersterns.

Es gibt immer größer werdende Sterne, die man aus Kugeln bauen kann. Das Prinzip ist offenbar das folgende.
Man gibt ein immer größer werdendes Oktaeder vor und setzt auf die Seitenflächen Tetraeder.
Also geht man aus von den Oktaeder- und Tetraederzahlen.

Oktaederzahlen

...	Die Oktaederzahlen errechnen sich nach der Formel O(n)=(1/3)(2n³+n).

Tetraederzahlen

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Die Tetraederzahlen berechnet man nach der Formel T(n)=(1/6)[n(n+1)(n+2)].

Es gilt für die Oktaederstern-Zahlen S(n) = O(n)+8*T(n-1) = (1/3)(2n³+n)+8*(1/6)[(n-1)n(n+1)] = 2n³-n, was zu zeigen war.

Auf der Wikipedia-Seite Stella octangula number (URL unten) findet man das Bild eines Oktaedersterns aus 124 magnetischen Kugeln.

Sternpuzzle
Verwandt mit dem Oktaederstern ist das Sternpuzzle. Der Stern liegt auch in einem Würfel. Die Spitzen der Zacken liegen nicht in den Ecken, sondern in den Kantenmitten des Hüllwürfels. Die 12 Zacken sind gerade Pyramiden mit einer Raute als Grundfläche.