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Was ist das Parallelepiped?
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Das Parallelepiped ist ein Körper, der von sechs
paarweise kongruenten und parallel zueinander liegenden Parallelogrammen
gebildet wird.
Es heißt auch Spat oder Parallelflach. |
Wer den 3D-Blick beherrscht,
sieht das Parallelepiped räumlich.
Der Quader
und der Würfel sind spezielle Parallelepipede.
Das Parallelepiped wiederum ist ein spezielles schiefes
Prisma
mit einem Parallelogramm als Grundfläche. Darüber hinaus ist
es auch ein Hexaeder (Sechsflächner).
Mögliche Entstehung
top
Man stelle sich vor, die Kanten des Quaders seien Stäbe.
Dann entsteht das Parallelepiped durch Pressen und Dehnen eines Quaders.
Es kann also als ein verformter Quader angesehen werden.
Mathematisch ausgedrückt entsteht das allgemeine
Parallelepiped aus einem Quader durch Hintereinanderschaltung von Scherungen.
Eigenschaften
Die folgenden Eigenschaften hat
auch der Quader.
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Das Parallelepiped hat 8 Eckpunkte, 8 Kanten und 6 Seitenflächen.
An jedem Eckpunkt treffen 3 Kanten aufeinander.
Jeweils 4 Kanten liegen parallel und sind gleich lang. |
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Es gibt vier Raumdiagonalen, die sich in einem Punkt
schneiden.
Das Parallelepiped ist punktsymmetrisch bezüglich
dieses Punktes. |
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Ein Netz des Parallelepipeds ist wie beim Quader ein
"Kreuz". |
Eine
Klasseneinteilung
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Dehnt man einen Quader, so entstehen zwei Spitzen. An
diesen Eckpunkten treffen drei spitze Winkel aufeinander. An den sechs
übrigen Eckpunkten liegen zwei stumpfe und ein spitzer Winkel an.
Das Parallelepiped erscheint als ein Körper mit
zwei Spitzen. |
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Staucht man einen Quader, so entstehen zwei stumpfe Enden.
An diesen Eckpunkten treffen drei stumpfe Winkel aufeinander. An den sechs
übrigen Eckpunkten liegen zwei spitze und ein stumpfer Winkel an.
Das Parallelepiped erscheint als ein abgeplatteter Körper. |
In einer dritten Klasse liegen
Parallelepipede mit einem, zwei oder drei Paaren von Rechtecken. Darunter
sind auch die Quader.
So können die Parallelepipede
in drei Klassen eingeteilt werden.
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Auf der Webseite von G. Korthals Altes findet
man drei Vorlagen für Papiermodelle aus je einer Klasse.
(URL unten). |
Beschreibung
mit Vektoren
Assoziatives Gesetz
Für die Addition von Vektoren
gilt das Assoziativgesetz. Es lautet A+(B+C)=(A+B)+C.
(Vektoren werden mit großen, fetten Buchstaben
geschrieben.)
Durch Hintereinander-Hängen von Vektoren kann es
veranschaulicht werden.
A+(B+C)
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(A+B)+C
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Die Ergebnisvektoren sind gleich.
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Wählt man als Vertreter der drei Vektoren die, die
von einem Punkt ausgehen und ergänzt das "Dreibein" zu einem Parallelepiped,
so bilden die Ergebnisvektoren eine Raumdiagonale. |
Man schreibt A+B+C wegen des assoziativen
Gesetzes auch ohne Klammern.
Koordinaten der Eckpunkte
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Die drei Vektoren A,
B
und
C spannen ein Parallelepiped auf und können als Basisvektoren
eines Koordinatensystems angesehen werden.
Dann erfasst man die Eckpunkte
des Parallelepipeds durch Ortsvektoren bzw. Koordinaten. |
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Zum Beispiel gilt Vektor(P1P7)=A+B+C
oder P7 hat die Darstellung P7(1|1|1).
Entsprechend leitet man P2(1|0|0), P3(1|1|0),
P4(0|1|0), P5(0|0|1), P6(1|0|1), P7(1|1|1)
und P8(0|1|1) her.
Der Nullpunkt ist P1(0|0|0), der Mittelpunkt
M(0,5|0,5|0,5). |
Größen top
Wie viele Größen benötigt man, um das
Parallelepiped festzulegen?
Das Grundparallelogramm
ist gegeben durch a, b und alpha.
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Das Seitenparallelogramm
ist dann gegeben durch c und beta.
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Der Neigungswinkel
ist gamma.
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Das Parallelepiped wird also durch 6 Größen
bestimmt.
Im Allgemeinen sind es die drei Kanten a, b, c und die
drei Winkel der Parallelogramme alpha, beta und gamma. |
Zwei
Formeln
Aus den sechs Größen ergeben sich die Oberfläche
O des Parallelepipeds und sein Volumen V.
Die Formeln lauten
O=2ab*sin(alpha)+2bc*sin(beta)+2ac*sin(gamma) und
V=abc*sqrt[1 + 2cos(alpha)cos(beta)cos(gamma)-cos²(alpha)-cos²(beta)-cos²(gamma)].
Herleitungen
Der Flächeninhalt eines Parallelogramms wird
bestimmt durch die Formel A=ab*sin(alpha), wobei a und b die Seiten und
alpha der Winkel zwischen ihnen ist.
Die Oberfläche ist die Summe der Flächeninhalte
der sechs Parallelogramme.
O=2ab*sin(alpha)+2bc*sin(beta)+2ac*sin(gamma).
Für die Bestimmung des
Volumens
wird das Parallelepiped als schiefes Prisma angesehen. Für das Prisma
ergibt sich das Volumen als Produkt aus Grundfläche und Höhe.
Die Grundfläche ist mit A=ab*sin(alpha) der Flächeninhalt des
Parallelogramms.
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Die Höhe ist eingezeichnet und kann nach cos(delta)=h/c
durch h=c*cos(delta) ausgedrückt werden. Dabei ist delta der Winkel
zwischen der Kante c und der Höhe h, die die Normalenrichtung der
Grundfläche hat. |
Dann ergibt sich für das Volumen V=ab*sin(alpha)*h=abc*sin(alpha)*cos(delta)
Wie man den Winkel delta
eliminiert und die Winkel beta und gamma ins Spiel bringt und zur Formel
V=abc*sqrt[1 + 2cos(alpha)cos(beta)cos(gamma)-cos²(alpha)-cos²(beta)-cos²(gamma)]
gelangt, findet man im Internet auf einer Webseite von Mathpages
(URL unten).
Im nächsten Kapitel steht nach einer längeren
Vorbereitung eine zweite Herleitung der Volumenformel.
Spatprodukt top
Definition
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Oben wurde dargestellt, dass man das Parallelepiped vorteilhaft
mit den Vektoren A, B
und
C beschreibt.
Es gilt weiter:
Das Volumen V ist der Betrag des "Spatproduktes" AxB*C,
also V=|AxB*C|. |
Beschreibung
des Spatproduktes
Der Term |AxB*C| enthält die
beiden Produkte der Vektorrechnung, das Skalarprodukt und das Vektorprodukt.
Das Skalarprodukt U*V
wird so definiert.
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Man projiziert den Vektor V auf den Vektor U.
Das Produkt aus der Projektion |V|*cos(alpha) und |U| ist
das Skalarprodukt: U*V= |U|*|V|*cos(alpha). |
Sind die Vektoren im kartesischen
Koordinatensystem als Spaltenvektoren gegeben, so berechnet sich das Skalarprodukt
so:
Das Vektorprodukt UxV
wird so definiert.
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Das Vektorprodukt UxV ist ein Vektor, der
senkrecht auf den Vektoren U und V steht und der den Betrag
|U|*|V|*sin(alpha) hat. Das ist der Flächeninhalt des
Parallelogramms. |
U, V und UxV bilden dabei ein
Rechtssystem. Wenn man den Vektor U um den kleineren Winkel in Richtung
des Vektors
V dreht und die Drehung mit der halbgeöffneten,
rechten Hand andeutet, so zeigt der Vektor UxV in Richtung
des Daumens.
Sind die Vektoren im kartesischen
Koordinatensystem als Spaltenvektoren gegeben, so berechnet sich das Vektorprodukt
so:
Der Betrag des Spatprodukts
|AxB*C| ist das Produkt aus dem Flächeninhalt
des Grundparallelogramms und der Projektion des Vektors C auf den
Vektor AxB, und das ist die Höhe.
Der Term |AxB*C| ist also das Volumen.
Beweis
der Formel für das Volumen
Es gilt |AxB*C|=abc*sqrt[1 + 2cos(alpha)cos(beta)cos(gamma)-cos²(alpha)-cos²(beta)-cos²(gamma)]
1.Schritt
Sind die Kantenvektoren des Parallelepipeds als Spaltenvektoren
gegeben, so ist das Spatprodukt gleich der zugehörigen Determinante
wie die folgende Rechnung zeigt.
2.Schritt
Für die weitere Rechnung lässt man sich einen
Trick einfallen. Man bestimmt statt des Volumens V das Quadrat V²
als Produkt aus der Determinante und einer zweiten Determinante mit dem
gleichen Wert, in der aus den Spalten Zeilen werden.
Beim Multiplizieren der beiden Determinanten kommen so die
Skalarprodukte ins Spiel. Man erhält zum Beispiel nach der Multiplikationsregel
für Determinanten den Term C², indem man die dritte Spalte
mit der dritten Zeile skalar multipliziert.
3.Schritt
Ersetzt man die Skalarprodukte durch Terme mit den gegebenen
Größen des Parallelepipeds, so erhält man die Determinante
unten rechts. Berechnet man sie mit einigem Aufwand, so erhält man
die gesuchte Formel.
Quelle für diese Überlegungen: http://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedron
Rhomboeder top
Ein besonderes Parallelepiped ist das Rhomboeder. Es
wird von sechs kongruenten Rauten begrenzt.
Ein Rhomboeder sei durch die Kante a und den kleineren
Winkel alpha gegeben.
Dann ist die Oberfläche O=2ab*sin(alpha)+2bc*sin(beta)+2ac*sin(gamma)=6a²sin(alpha)
und
das Volumen V = abc*sqrt[1 + 2cos(alpha)cos(beta)cos(gamma)-cos²(alpha)-cos²(beta)-cos²(gamma)]
= a³sqrt[1+2*cos³(alpha)-3cos²(alpha)].
60°-Rhomboeder
Ein besonderes Rhomboeder liegt vor, wenn die Innenwinkel
der Rauten 60° und 120° betragen.
Dann lässt es sich in zwei Tetraeder und ein Oktaeder
aufteilen.
Da die Parallelepipede genau wie die Quader den Raum ausfüllen,
gilt das auch für das Rhomboeder.
So wird die Frage beantwortet, ob die Tetraeder oder
die Oktaeder den Raum ausfüllen.
Die Antwort ist ja, aber nur in der Kombination von zwei
Tetraedern und einem Oktaeder.
Goldenes
Rhomboeder
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Ist das Verhältnis der Diagonalen einer Raute 2p:2q
= (1/2)[sqrt(5)+1], also gleich dem Verhältnis des goldenen Schnittes,
so heißt sie Goldene Raute. |
Ein Rhomboeder aus Goldenen Rauten heißt dann Goldenes
Rhomboeder. Der spitze Winkel ist etwas größer als 60°,
nämlich 63,4°.
Entdeckt bei MathWorld (URL unten)
Dürer-Polyeder
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Das Dürer-Polyeder ist ein an zwei Ecken dergestalt
abgestumpftes Rhomboeder, dass es eine Umkugel hat.
Die Rauten des Rhomboeders haben die Innenwinkel 72°
und 108°.
Die Abbildung befindet sich auf dem Kupferstich Melencolia
I (1514) von Albrecht Dürer, auf dem man auch ein magisches
Quadrat findet. |
Soma
schräg
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Aus den nebenstehenden Körpern soll man ein 3x3x3
Rhomboeder legen. |
Mehr auf meiner Seite Die Somawürfel
Weitere Körper top
Dreiseitige Pyramide
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Durch die Kantenvektoren des Parallelepipeds wird auch
eine beliebige dreiseitige Pyramide beschrieben. |
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Diese Pyramiden wiederholen sich im Parallelepiped.
In der Zeichnung sind drei Pyramiden eingezeichnet. Sie
füllen ein halbes Parallelepiped aus. Also kann man das Parallelepiped
in 6 dreiseitige, gleiche Pyramiden aufteilen. |
Für das Volumen V' einer
beliebigen Pyramide gilt
V' = (1/6)V = (1/6)abc*sqrt[1 + 2cos(alpha)cos(beta)cos(gamma)-cos²(alpha)-cos²(beta)-cos²(gamma)].
Mittenkörper
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Verbindet man die Mittelpunkte nebeneinander liegender
Seitenflächen, so entsteht eine schiefe Doppelpyramide. Ein (rotes)
Parallelogramm ist die gemeinsame Grundfläche. |
Vier ihrer Eckpunkte sind
Seitenmitten eines (blauen) Parallellogramms. Deshalb sind die (roten)
Parallelogramme auch Rauten.
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Es gilt nämlich der Satz: Verbindet man die Seitenmitten
eines Parallelogramms, so entsteht eine Raute. |
Parallelepipede
im Rhombendodekaeder
Mehr auf meiner Webseite Rhombendodekaeder
Calcit top
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Das Kristall des Kalkspats oder Calcits kann die Form
eines Parallelepipeds haben.
So erklärt sich der zweite Name Spat für
das Parallelepiped. |
Parallelepiped
im Internet top
Deutsch
Heinz Schumann
Vom
Würfel zum Parallelflach (Spat) - dynamisch
Karl-Heinrich Meyberg
Methode
des geschlossenen Streckenzuges beim Parallelflach (.pdf-Datei)
scienceblogs.de
Quader
mit ganzzahligen Diagonalen
Wikipedia
Parallelepiped,
Rhomboeder,
Scherung
(Geometrie), Spatprodukt,
Calcit,
Hexaeder,
Rhomboederstumpf,
Melencolia
I
Englisch
AMS
PERFECT
PARALLELEPIPEDS EXIST
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Parallelepiped,
Rhombohedron,
Scalar
Triple Product, Golden
Rhombohedron, Golden
Rhombus,
Duerer's
Solid
G. Korthals Altes
Paper
Model of an Oblique Rhombic Prism Parallelepiped, oblique
rhombic prism (.PDF)
Nick Robinson (.pdf)
A4
Rhombic Unit
Wikipedia
Parallelepiped,
Rhombohedron,
Triple
product, Calcite,
Hexahedron,
Melencolia
I
Wolfram Demonstrations Project
Perfect
Parallelepipeds
Referenz top
Heinz Nickel u.a: Algebra und Geometrie für Ingenieur-
und Fachschulen, Frankfurt / Zürich 1966
Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite
URL meiner
Homepage:
https://www.mathematische-basteleien.de/
©
2013 Jürgen Köller
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