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Was ist ein Quader?
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Ein Quader ist ein Körper, der von drei passenden
Paaren von Rechtecken gebildet wird.
Aneinander stoßende Rechtecke stehen senkrecht aufeinander. |
Das ist der gleiche Quader
in 3D-Sicht.
Besondere Quader
top
Besondere Quader haben auf meiner Homepage eigene Seiten.
Beim quadratischen Prisma sind zwei Seitenflächen
Quadrate. Beim Würfel sind alle Seitenflächen Quadrate.
Beschreibung
top
Seitenflächen
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Die drei Paare von Rechtecken zeigen sich, wenn man den
Quader in der Ebene ausbreitet.
Die Figur ist das Netz des Quaders.
Es gibt 54 verschiedene Netze (Quelle: Maurice Starck,
URL unten). |
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Je zwei Rechtecke sind kongruent, so dass nur drei Rechtecke
zu beschreiben sind.
Bezeichnet man die Kanten des Quaders mit a (Länge),
b (Breite) und c (Höhe), so haben die drei Rechtecke die Maße
a*b, a*c und b*c. |
Da Räume oft quaderförmig
sind, bezeichnet man die Flächen eines Quaders auch mit Grundfläche,
Deckfläche, Seitenfläche rechts, Seitenfläche links, Vorderfläche
und Rückfläche.
Kanten
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Es gibt 12 Kanten. Vier Kanten haben jeweils dieselbe
Länge.
Drei Kanten bilden die Ecke des Quaders und stehen paarweise
aufeinander senkrecht.
Addiert man die Kantenlängen, so ergibt sich die
Kantensumme s=4a+4b+4c. |
Eckpunkte
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Es gibt 8 Eckpunkte.
Die eulersche Formel für konvexe Körper, f+e=k+2,
wird erfüllt.
Mit f=6, e=8 und k=12 gilt f+e=6+8=14=12+2=k+2. |
Diagonalen
Es gibt 12 Flächendiagonalen. Jeweils vier Diagonalen
sind gleich lang.
Es gibt 4 Raumdiagonalen, die sich in einem Punkt schneiden.
Sie sind gleich lang.
Symmetrie
Der Schnittpunkt der Raumdiagonalen
ist der Mittelpunkt des Quaders und sein Symmetriezentrum.
Es gibt drei Symmetrie-Ebenen und
drei Symmetrie-Achsen.
Form
Das Verhältnis der drei Kanten, nämlich a :
b : c, ist geeignet, die Form eines Quaders zu beschreiben.
So hat der auf dieser Seite meist verwendete Quader die
Form a:b:c = 4:3:2 oder a:b:c
= 2:1,5:1.
Größen
des Quaders top
Der Quader wird i.a. durch die Länge a, die Breite
b und die Höhe c bestimmt.
Daraus lassen sich weitere Größen berechnen.
Volumen
V
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Das Volumen eines Quaders bestimmt man im Anfangsunterricht
Geometrie, indem man einen Einheitswürfel vorgibt und feststellt,
wie viele in den Quader passen. |
Mit den angegebenen Daten baut man eine Stange aus 4 Würfeln,
legt sie zweimal dahinter und setzt die so entstandene untere Schicht darauf.
Das ergibt V=4*3*2 Einheitswürfel.
Die bekannte Volumenformel V=a*b*c ist nur ein raffiniertes
Zählen.
Hier ist V=a*b*c=4cm*3cm*2cm=24cm³.
Oberfläche
O
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Es gilt O=2ab+2ac+2bc.
Das ist ein Netz des Quaders.
the fifty four nets of the rectangular parallelepiped
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Diagonalen
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Es gibt drei verschiedene Flächendiagonalen.
Nach den Satz des Pythagoras gilt d1=sqrt(a²+b²).
Entsprechend gilt d2=sqrt(a²+c²) und d3=sqrt(b²+c²).
Die Raumdiagonale hat die Länge e=sqrt(d1²+c²)=sqrt(a²+b²+c²). |
Radius
der Umkugel
Der Schnittpunkt der Raumdiagonalen hat von den Eckpunkten
des Quaders eine Entfernung, die gleich der halben Länge der Raumdiagonalen
ist. Es gilt also für den Radius der Umkugel R=(1/2)sqrt(a²+b²+c²).
Innenleben eines
Quaders top
Mittenkörper
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Verbindet man die Mittelpunkte der Seitenflächen
miteinander, so entsteht eine Bipyramide.
Die gemeinsame Grundfläche der beiden Pyramiden
ist eine Raute.
Ist die Grundfläche des Quaders ein Quadrat, so
entsteht eine
quadratische, gerade Bipyramide. |
Eckpyramiden
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Drei Kanten treffen sich in einem Eckpunkt. Verbindet
man die freien Endpunkte dieser Kanten miteinander, so entsteht eine dreiseitige
Pyramide. Die Seitenflächen sind rechtwinklige Dreiecke, und die drei
Flächendiagonalen bilden die Grundfläche. |
Es entsteht an jedem Eckpunkt eine kongruente Pyramide.
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Zwei Pyramiden, die eine Flächendiagonale gemeinsam
haben, lassen unter sich zwei Pyramiden. So wird der Quader in vier
kongruente Pyramiden aufgeteilt. |
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Zwei Pyramiden, die zwei gegenüberliegende Ecken
besetzen, lassen zwischen sich eine Art Antiprisma. |
Drei
Pyramiden
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In einem Quader liegen nebeneinander drei volumengleiche,
schiefe Pyramiden. |
24
Dreiecke
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Die Raumdiagonale, eine Flächendiagonale und eine
Kante bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Zu jeder Raumdiagonalen gibt es
sechs Dreiecke dieser Art, also gibt es im Quader insgesamt 24 Dreiecke. |
Sechs
Rechteck-Pyramiden
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Die Seitenfläche des Quaders und sein durch die
Raumdiagonalen festgelegter Mittelpunkt bilden eine Pyramide. Es gibt sechs
Pyramiden dieser Art.
Sie haben das gleiche Volumen. |
Sechs
dreiseitige Pyramiden
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Es gibt sechs schiefe, dreiseitige Pyramiden mit einem
halben Rechteck als Grundfläche und einer Quaderkante als Höhe.
Alle sechs Pyramiden haben das gleiche Volumen.
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Eine
gerade Rechteck-Pyramide
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Errichtet man auf der Grundfläche eine gerade Rechteck-Pyramide
und zeichnet die Flächendiagonale der Deckfläche ein, so entstehen
um sie herum vier schiefe Rechteck-Pyramiden. Zwei gegenüberliegende
Pyramiden füllen jeweils ein Drittel des Quaders aus, die gerade Pyramide
auf der Grundfläche das letzte Drittel. |
Pythagoräischer
Quader top
Rechtecke bestehen aus zwei kongruenten, rechtwinkligen
Dreiecken.
Es gibt das Problem, einen Quader zu finden, bei dem
die soeben beschriebenen Dreiecke pythagoräisch sind. Das heißt,
dass neben den Kanten des Quaders auch die Flächendiagonalen ganzzahlig
sind.
Das Gleichungssystem a²+b²=x², a²+c²=y²
und b²+c²=z² ist also in ganzen Zahlen zu lösen.
In Buch (2) wird eine Lösung von Euler angegeben
mit a=240, b=117 und c=44. Das führt zu d1=267, d2=244
und d3=125.
Diese Quader heißen im Englischen folglich Euler
Bricks.
Bis heute ist nicht bekannt,
ob es auch ein Zahlentripel gibt, für das zusätzlich die Raumdiagonale
e=sqrt(a²+b²+c²) ganzzahlig ist. (Hier ist e²=73225
oder e=270,6 angenähert.)
Ein solcher Quader würde pythagoräischer Quader
heißen.
Parallelepipede (s.u.) mit
ganzahligen Seiten, ganzahligen Flächendiagonalen und ganzahligen
Raumdiagonalen kennt man.
(Quelle bei ams.org, URL unten)
Es ist leicht, Quader mit
ganzzahligen Kanten zu finden, bei denen nur die Raumdiagonale e= sqrt(a²+b²+c²)
eine ganze Zahl ist.
Bei The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
findet man natürliche Zahlen, die sich als Summe von drei Quadratzahlen
>0 schreiben lassen. Das sind unter 100 die folgenden Zahlen.
3, 6, 9, 11, 12, 14, 17,
18, 19, 21, 22, 24, 26, 27, 29, 30, 33, 34, 35, 36,
38, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51,
53, 54, 56, 57, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 72, 73, 74, 75, 76,
77, 78,
81, 82, 83, 84, 86, 88, 89, 90, 91,
93, 94, 96, 97, 98, 99, ...
Darunter sind auch die Quadratzahlen 9, 36, 49 und 81.
Da z.B. 9=1+4+4=1²+2²+2² gilt, hat ein
Quader mit a=1, b=2 und c=2 eine ganzzahlige Diagonale, nämlich e=3.
Puzzles mit Quadern
top
Quader bauen
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Der Quader 4×3×2 besteht aus 24 Würfeln.
Welche Quader kann man aus ihnen noch bauen?
Es geht dabei um die Zerlegung der Zahl 24 in drei Faktoren:
24=1*1*24=1*2*12=1*3*8=1*4*6=2*2*6=2*3*4. Es gibt also
6 Quader. |
Statt der Einzelwürfel gibt man auch Körper aus
mehreren Würfeln vor, z.B. Tetrawürfel oder Pentominos (s.u.).
Pack
Puzzles
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Es geht dabei darum, in eine Kiste mehrere Holzstücke
zu packen, die sie genau ausfüllen.
In diesem Falle sind es 8 voneinander verschiedene Holzquader.
Puzzles dieser Art können sehr anspruchsvoll sein. |
In Buch (1) werden folgende
Pack-Puzzles beschrieben.
> Der geteilte Block von T.H.O'Beirne
> Das Conway-Packproblem
> Die Haselgrove-Kiste
> Der chinesische Quader
Parallelepiped
top
Ersetzt man beim Quader die Rechtecke durch Parallelogramme,
entsteht ein neuer Körper, das Parallelepiped.
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Kalkspat |
Kalkspat kann diese Form annehmen, deshalb heißt der
Körper auch Spat.
Der Quader ist ein rechtwinkliges
Parallelepiped.
Quader um uns
top
Hier ist eine kleine, persönliche Auswahl.
| A4-Blatt Druckerpapier 80g/m² |
210mm × 297mm × 0,1mm |
6,24cm³ |
| Streichholzschachtel |
5,0cm × 3,5cm × 1,5cm |
26,3cm³ |
| 9-V-Block |
48,5 mm × 26,2 mm × 17 mm |
21,6cm³ |
| 250g abgepackte Butter |
10cm × 7,5cm × 3,4cm (gemessen) |
255cm³ |
| Backstein, Normalformat (NF) -
Deutschland |
24,0cm × 11,5cm × 7,1cm |
1,96dm³ |
| 20'-Standardcontainer, außen |
6,1m × 2,4m × 2,6m |
38 m³ |
| Bramme auf der Schurenbachhalde
in Altenessen |
14,5m × 4,2m × 13,5cm (67 Tonnen schwer) |
822m³ |
| UN Hauptgebäude in New York |
91m × 22m × 154m (geschätzt nach google
map, o.G.) |
sinnlos |
Quelle der meisten Daten: Wikipedia
Auch an anderen Stellen meiner
Webseite kommen Quader vor.
Fliege-Spinne-Problem
Quader
aus Pentawürfel
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Es gibt etliche Quader, die man aus allen 12 Pentomino-Steinen
bauen kann.
Mehr findet man unter Quader
aus Pentawürfeln. |
Quader
aus Tetrawürfeln
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Es gibt etliche Quader, die man aus allen 12 Tetrawürfeln
bauen kann.
Mehr findet man unter Quader
aus Tetrawürfeln. |
Kasten
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Einen oben offenen Kasten
bastelt man aus einem quadratischen Blatt Papier. |
Quader im Internet
top
Deutsch
mathepower.com
Quader
Susanne Prediger
Quader
bauen aus 24 Würfeln – Kinder auf dem Weg zur Volumenformel
(.pdf Datei)
Wikipedia
Quader,
Parallelepiped,
Rhomboeder
WOLFGANG RIEMER – DIETRICH STOYAN
»Würfeln«
mit Quadern – die Gibbs-Verteilung (.pdf-Datei)
Englisch
JORGE F. SAWYER AND CLIFFORD A. REITER
PERFECT
PARALLELEPIPEDS EXIST (.pdf file bei AMS)
Eric W. Weisstein
Cuboid,
Hyperrectangle,
Euler
Brick,
Perfect
Cuboid, Parallelepiped
Fred Curtis
Primitive
Euler Bricks
Gijs Korthals Altes
Paper
Model of a Rectangular Prism, Paper
Model of a Oblique Rhombic Prism
MathsIsFun.com
Cuboids,
Rectangular Prisms and Cubes
Maurice Starck
the
fifty four nets of the rectangular parallelepiped
Rob Stegmann (Rob's Puzzle Page)
3-D
Packing Puzzles with Identical or Similar Pieces
N. J. A. Sloane (On-Line Encyclopedia of Integer
Sequences)
A000408
Wikipedia
Cuboid,
Euler
brick, Parallelepiped,
Unit
block
Referenzen
top
(1) Pieter van Delft, Jack Botermans: Denkspiele der
Welt, München 1998 ISBN 3-88034-87-0]
(2) David E. Hayes and Tatiana Shubin (Editors): Mathematical
Adventures for Students and Amateurs (Google book)
Das Kapitel Pythagorean
Cuboids (page 61/ 62) steht im Internet zur Verfügung.
Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite
URL meiner
Homepage:
https://www.mathematische-basteleien.de/
©
2010 Jürgen Köller
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