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Was sind platonische Körper?
Platonische Körper sind konvexe Körper, die von
kongruenten, regelmäßigen Vielecken gebildet werden und bei
denen an jeder Ecke die gleiche Anzahl von Vielecken zusammentrifft.
Obwohl es beliebig viele regelmäßige Vielecke
gibt, gibt es nur fünf regelmäßige Körper:
Tetraeder, Würfel (oder Hexaeder), Oktaeder, Pentagondodekaeder
und Ikosaeder.
... ... |
Ein Körper zum Beispiel, der von zwei Tetraedern
gebildet wird, ist kein platonischer Körper.
Er wird zwar von regelmäßigen Dreiecken begrenzt,
aber an den Ecken treffen sich mal drei, mal vier Dreiecke. |
Es gibt in meiner Homepage
die Einzelseiten
Tetraeder, Würfel,
Oktaeder,
Pentagondodekaeder
und Ikosaeder, ferner Deltaeder.
Bilder
der platonischen Körper top
Stereobilder
Parallelprojektionen
Eine Seitenfläche liegt parallel zur Zeichenebene.
Hier werden noch In- und
Umkugel hinzugefügt.
Zentralprojetionen
Das Projektionszentrum wird so
gelegt, dass sich die Kanten nicht überlagern.
... ... |
Man kann sich auch vorstellen, dass zum Beispiel beim
Dodekaeder das grüne Fünfeck vorne gestreckt und das blaue Fünfeck
hinten gezerrt werden, so dass sich das linke Bild ergibt.
Bei dieser Darstellung ist nicht die Form bestimmend,
sondern die Beziehungen zwischen den Ecken, Kanten und Seitenflächen. |
Die Bilder heißen Schlegel-Diagramme.
Netze
Die Anzahl der verschiedenen Netze ist 2, 11, 11 und (nach
MathWorld) 43380 und 43380.
Dualitäten top
Verbindet man die Mittelpunkte der Seitenflächen
eines platonischen Körpers, so entsteht wieder ein platonischer Körper.
Diese zusammengehörigen Körper heißen duale Körper.
4Ecken, 6Kanten, 4Flächen
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8Ecken, 12Kanten, 6Flächen
6Ecken, 12Kanten, 8Flächen
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20Ecken, 30Kanten, 12Flächen
12Ecken, 30Kanten, 20Flächen
Beide Zeichnungen von Christian Grünwaldner |
>Das Tetraeder ist selbstdual,
der Würfel ist dual zum Oktaeder und das Dodekaeder dual zum Ikosaeder.
>Auf diese Weise kann man die Körper in drei Klassen
einteilen.
>Duale Körper haben die gleiche Kantenzahl, die
Anzahl der Ecken und Flächen tauschen sich aus.
Auf Robert Webbs Seite kann
man in einer Animation beobachten, wie duale Körper ineinander übergehen
(URL unten).
Formeln top
Eulersche Polyederformel
Die Eulersche Polyederformel gilt für alle konvexen
Körper und besagt, dass die Summe aus der Anzahl der Ecken e und der
Flächen f um 2 größer ist als die Anzahl der Kanten k.
In der Formelsprache heißt das e + f = k
+ 2. Hier gilt sie auch:
.
.
Tetraeder
Würfel
Oktaeder
Pentagondodekaeder
Ikosaeder
|
e
.
04
08
06
20
12
|
f
.
04
06
08
12
20
|
k
.
06
12
12
30
30
|
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Vier
Größen
Ein platonischer Körper wird durch die Kantenlänge
a eindeutig bestimmt. Aus ihr lassen sich u.a. die Größen Volumen
V, Oberfläche O, Radius der Umkugel R und Radius der Inkugel r berechnen.
| Tetraeder |
|
| Würfel |
|
| Oktaeder |
|
| Pentagondodekaeder |
|
| Ikosaeder |
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Zahlenwerte,
auf drei Stellen gerundet.
Tetraeder
Würfel
Oktaeder
Pentagondodekaeder
Ikosaeder |
V=0,118a³
V=a³
V=0,471a³
V=7,66a³
V=2,18a³ |
O=1,73a²
O=6a²
O=3,46a²
O=20,6a²
O=8,66a² |
R=0,612a
R=0,866a
R=0,707a
R=1,40a
R=0,951a |
r=0,204a
r=0,5a
r=0,408a
r=1,11a
r=0,756a |
Körper
in der Umkugel
Der Anteil des Volumens eines platonischen Körpers am
Volumen seiner Umkugel ist 12,3%; 36,8%; 31,8%; 66,5%; 60,5%.
Der Anteil der Oberfläche eines platonischen Körpers
an der Oberfläche seiner Umkugel ist 36,7%; 63,7%; 55,1%; 83,7%;
76,2%.
Die Zahlen zeigen, wie "kugelig" die Körper sind.
Das Pentagondodekaeder hat die größte Prozentzahl und kommt
der Kugel am nächsten.
Gleiche Körper
Will man platonische Körper mit gleichem Volumen
bauen, so ist von Interesse, wie groß die Seitenlängen der Vielecke
dann sein müssen.
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4,02
|
1,97
|
2,53
|
1 (vorgegeben)
|
1,58
|
Will man platonische Körper mit gleicher Oberfläche
bauen, so ist von Interesse, wie groß die Seitenlängen der Vielecke
dann sein müssen.
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3,45
|
1,85
|
2,44
|
1 (vorgegeben)
|
1,54
|
Winkel
zwischen den angrenzenden Vielecken
Tetraeder
70,5° |
Würfel
90° |
Oktaeder
109,5° |
Dodekaeder
116,6° |
Ikosaeder
138,2° |
Quelle: (4)
Körper
gleicher Höhe
Unter der Höhe H eines platonischen Körpers
versteht man beim Tetraeder die Raumhöhe H und bei den übrigen
Körpern den Abstand paralleler, gegenüberliegender Seitenflächen
H.
In der Tabelle wird angenähert angegeben, wie groß
bei gleicher Höhe H die Kantenlänge a ist.
Tetraeder
a = 1,225H |
Würfel
a = H |
Oktaeder
a = 1,225H |
Dodekaeder
a = 0,449H |
Ikosaeder
a = 0,662H |
Nur fünf
platonische Körper top
Winkelbetrachtung
Man kann nur aus drei, vier oder fünf Dreiecken
eine Ecke formen. Man braucht nämlich mindestens drei Dreiecke für
eine Ecke und sechs Dreiecke haben schon zusammen 360° und liegen somit
in einer Ebene. Also bleiben nur 3, 4 und 5 Dreiecke.
Man kann nur aus drei Quadraten
und drei Fünfecken eine Ecke bilden. Das sind alle Fälle.
Diese Überlegungen gehen schon auf Euklid zurück.
Betrachtung der Eulerschen Formel
Aus der Eulersche Polyederformel e + f =
k + 2 folgt, dass es - wenn überhaupt - höchstens fünf platonische
Körper gibt.
Beweis:
f sei die Anzahl der Flächen des Körpers,
n sei die Anzahl der Ecken eines Vielecks,
m sei die Anzahl der Vielecke, die sich an einer Ecke
treffen.
Die n-Ecke haben dann zusammen nf Seiten.
Die Anzahl der Kanten ist k=nf/2. Man muss halbieren,
denn an jeder Kante berühren sich zwei n-Ecke.
Die Anzahl der Ecken ist e=nf/m. Man muss durch die Anzahl
der Vielecke an einer Ecke dividieren.
Also lautet die Eulersche Formel:
fn/m + f = fn/2 + 2
oder 2nf + 2mf -fnm -4m = 0
Diese Gleichung untersucht
mein Computer mit Visual Basic:
Programm (Die Zahl 30 ist willkürlich):
For n = 3 To 30
For m = 3 To 30
For f = 3 To 30
If 2 * n * f + 2 * m * f - n * f *m - 4 *m = 0 Then Print
n; f; m
Next f
Next m
Next n |
Es gibt fünf Lösungen:
3 4 3
3 8 4
3 20 5
4 6 3
5 12 3
Das sind die fünf platonischen Körper. |
Das ist aber kein Beweis.
Der Beweis kann so geführt werden.
Dividiert man beide Seiten der Gleichung 2nf + 2mf -fnm
-4m = 0 durch nf, so erhält man 1/m+1/n=1/2+2/nf oder
1/m+1/n=1/2+1/k.
Die Anzahl der Vielecke m und die Anzahl der Ecken n muss
gleich oder größer als 3 sein, damit ein Körper entsteht.
Nach der Gleichung können m und n nicht zugleich
größer als 3 sein, denn es gilt 1/4+1/4=1/2<1/2+1/k.
Also ist entweder m=3 oder n=3.
1. Fall: n=3,
Falls n=3 gilt, wird die Gleichung zu 1/m+1/3=1/2+1/k
oder 1/m-1/6=1/k. Dann kann m die Werte 3,4 oder 5 annehmen, da der Term
1/m-1/6 positiv bleiben muss. Für k ergeben sich dann 6,12 oder 30.
Das führt zu den drei platonischen Körpern
aus Dreiecken.
2.Fall: m=3
Falls m=3 gilt, wird die Gleichung zu 1/3+1/n=1/2+1/k
oder 1/n-1/6=1/k. Dann kann n die Werte 3,4 oder 5 annehmen. 1/n-1/6 darf
nicht negativ werden.
Das führt zum Tetraeder und den beiden Körpern
aus Vierecken und Fünfecken.
siehe auch
>(5), Seite 62ff.,
>Seite von Michael Rockstroh, auf das Pentagramm klicken.
(URL unten).
> Mathematrix (URL unten).
Keplers kosmischer
Becher top
Johannes Keplers (1571 bis 1630) brachte in einem Frühwerk
die fünf platonischen Körper in Beziehung zu den Planetenbahnen.
Zur Demonstration entwarf er ein Planetarium.
... ... |
Beschreibung:
In der Mitte steht die Sonne. Die Planeten bewegen sich
auf Kugelschalen.
> Die große Halbkugel trägt die Bahn des Saturn.
Die übrigen Schalen sind Inkugeln in einem platonischen
Körper:
> Im Würfel ist die Kugel
des Jupiter.
> Im Tetraeder ist die Kugel des
Mars.
> Im Pentagondodekaeder ist die
Kugel des Erde.
> Im Ikosaeder ist die Kugel des
Venus.
>Im Oktaeder ist die Kugel des
Merkur. |
Kepler bemerkte, dass die Zahlen nicht genau stimmten. Er
verbesserte das Modell, indem er den Schalen eine gewisse Dicke gab, die
er mit den Monden in Verbindung brachte.
Später verwarf er dieses Modell. (Diese letzte Aussage
ignoriert man häufig.)
(1), Seite 262ff.
Archimedische Körper
Man erhält neue Körper, indem man an den Ecken
eines platonischen Körpers Schnitte so legt, dass Körper mit
regelmäßigen Vielecke als Seitenflächen entstehen.
... ... |
Beispiel:
Links ein Oktaeder. Man teilt jede Kante in drei gleiche
Teile.
So kann ein Körper aus sechs Quadraten und acht
regelmäßigen Sechsecken entstehen.
Er heißt folgerichtig "das abgestumpfte Oktaeder
". |
Es gibt 13 archimedische Körper.
Mehr auf meiner Webseite Archimedische
Körper.
Reguläre
Körper im vierdimensionalen Raum top
Sie heißen auch vierdimensionale reguläre
Polytope.
Es gibt sechs Körper dieser Art:
Hypertetraeder (5-Zelle),
Hyperwürfel
(8-Zelle), 16-Zelle, 24-Zelle, 120-Zelle, 600-Zelle.
| Polytop
5-Zelle
8-Zelle
16-Zelle
24-Zelle
120-Zelle
600-Zelle |
Anzahl der Ecken
5
16
8
24
600
120 |
Anzahl der Kanten
10
32
24
96
1200
720 |
Anzahl der Flächen
10 Dreiecke
24 Quadrate
32 Dreiecke
96 Dreiecke
720 Fünfecke
1200 Dreiecke |
Anzahl Körper
5 Tetraeder
8 Würfel
16 Tetraeder
24 Oktaeder
120 Dodekaeder
600 Tetraeder |
Die mit gleicher Farbe markierten Polytope sind dual, die
schwarzen selbstdual.
In Buch 2 wird versucht, den Weg zu den Polytopen darzustellen.
Ausgangspunkt ist die Fragestellung, welche gleichen platonischen Körper
an einer Kante zusammenstoßen können.
Es müssen mindestens drei Körper sein. Das
sind 3, 4 oder 5 Tetraeder, 3 Würfel, 3 Oktaeder und 3 Pentagondodekaeder.
... ...
|
In dieser Bildreihe fehlen die drei Dodekaeder an einer
Kante und somit der Hinweis auf die 120-Zelle. |
Man gelangt in dieser Reihenfolge durch "Projektionen" zu
den Körpern 5-Zelle, 16-Zelle, 24-Zelle, 8-Zelle, 600-Zelle
(2) Seite 97ff.
Bau der platonischen
Körper
top
Papiermodelle
Man verwendet zum Bau von Modellen die Netze der Körper.
Ich biete hier zum Herunterladen eine Vorlage
in A4-Größe als .pdf-Datei an, die mir Benedikt Seidl freundlicherweise
zur Verfügung gestellt hat.
Alle Körper haben die gleiche Kantenlänge.
Vorlagen mit Motiven von
Escher findet man in Buch 3.
Tetraeder, Kuboktaeder, Oktaeder
Kantenmodelle
Mit dem Modespielzeug aus Magnetstäben
und Kugeln lassen sich schnell und einfach Modelle der platonischen Körper
bauen.
Oktaeder, Oktaeder
Für das Dodekaeder und Ikosaeder hätte ich mir
noch mehr Magnete und Kugeln kaufen müssen.
Flechtmodelle
Man kann die platonischen Körper aus Streifen flechten.
Vorlagen findet man in der Homepage von H. B. Meyer (URL unten).
Spielwürfel
kaufen
Heute kann man in jedem gut sortierten Spielzeugladen die
platonischen Körper aus Kunststoff kaufen.
Man benötigt sie für Rollenspiele.
Platonische
Körper im Internet top
Deutsch
Peter Geist/Arno Fehringer
Der
Mathematik-Garten
Friedrich Cordes
Fraktale
platonischer Körper
Gerd Müller
Platonische
Körper in Stereodarstellung
H. B. Meyer
Polyeder
aus Flechtstreifen
Rüdiger Appel
Platonische
Körper
Walter Fendt (Mathematik-Applets)
Die
Platonischen Körper
Wikipedia
Platonischer
Körper, Cluster
(Physik)
Englisch
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Platonic
Solid
G. Korthals Altes
Paper Models
of Polyhedra
H. B. Meyer
Polyhedra
plaited with paper strips
Lee Stemkoski (Mathematrix)
Platonic
Solids
Poly-pro
A program for downloading
(Poly is a shareware program for exploring and constructing
polyhedra)
Robert Webb
Dual
morphing of the regular polyhedra
Wikipedia
Platonic
solid, Ileodictyon
cibarium
Referenzen top
(1) Walter Lietzmann: Lustiges und Merkwürdiges
von Zahlen und Formen, Göttingen 1969
(2) Thomas F. Banchoff: Dimensionen - Figuren und Körper
in geometrischen Räumen, Spektrum-Bibliothek, Bd.31, 1991
[ISBN 3-89330-817-2]
(3) Doris Schattenschneider und Wallace Walker, M.C.Escher
Kaleidozyklen, Köln 1992
(4) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models,
Oxford 1961
(5) H.Rademacher und O.Toeplitz: Von Zahlen und Figuren,
Berlin-Heidelberg-New York, Nachdruck 1968
Feedback: Emailadresse
auf meiner Hauptseite
URL meiner
Homepage:
https://www.mathematische-basteleien.de/
©
2005 Jürgen Köller
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