Betragsfunktion

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Was ist die Betragsfunktion?
Eigenschaften
Allgemeine Betragsfunktion

Funktionen mit Beträgen
Relationen mit Beträgen
Betragsfunktionen im Internet.

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Was ist die Betragsfunktion?
Jeder reellen Zahl ist ein (absoluter) Betrag |x| zugeordnet. Diese Zuordnung f mit f(x)=|x| heißt Betragsfunktion.

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Jede reelle Zahl hat einen Platz auf der Zahlengeraden. Der Betrag |x| einer Zahl ist die Entfernung der Zahl vom Nullpunkt. Zahl und Gegenzahl haben den gleichen Betrag.

Der Funktionsterm wird abschnittsweise definiert.

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Es verwirrt vielleicht, dass in der dritten Zeile vor x ein Minuszeichen steht.
Es gilt trotzdem -x>0, denn dahinter steckt "-(-a)=a".

In Programmiersprachen wird der Funktionsterm |x| mit abs(x) bezeichnet.

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Graph

....... Der Graph besteht aus zwei Halbgeraden im 1. und 2. Quadranten.
Das sind die 1. und 2. Winkelhalbierende im Koordinatensystem.
Im Nullpunkt liegt eine Knickstelle, in der keine eindeutige Steigung definiert werden kann.
Der Graph ist achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse, denn es gilt f(x) = f(-x).
Ich bezeichne ihn auf dieser Webseite als V-Linie.

Ableitung

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Die Ableitung gibt die Steigung des Graphen der Betragsfunktion an. Die beiden Halbgeraden haben die Steigung +1 und -1. Das führt zum nebenstehenden Graphen.
Der Funktionsterm könnte sein: f '(x)=|x|/x.

Die problematische Stelle x= 0 muss man herausnehmen. Das beschreibt man durch die beiden hohlen Kreise bei y=1 und y=-1.

Signumfunktion
Die Signum- oder Vorzeichenfunktion hält das Vorzeichen einer reellen Zahl fest.

Graph

Die Signumfunktion ist im Grunde die Ableitungsfunktion, nur dass hier auch die Stelle x=0 definiert ist.
Das markiert man durch ein Kreuz oder (wie hier) durch einen ausgefüllten Kreis.

Mit der Signumfunktion erhält man eine Schreibweise der Betragsfunktion, in der Zahl und Vorzeichen getrennt sind: |x| = sign(x)*x.

Wurzel
Es gibt auch die Darstellung |x| = sqrt(x²). Darin ist die Aussage enthalten, dass die Wurzel aus einer Zahl immer nichtnegativ ist. Man schreibt also besser sqrt(x²) = |x|.

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V-Linie und Parabel
Die V-Linie erinnert an die Normalparabel. Auch sie hat im Nullpunkt ein Minimum und ist symmetrisch zur y-Achse.

p(x)=x²
f(x)=|x|

Eine Verallgemeinerung der Betragsfunktion erfolgt in zwei Schritten.
Schar von V-Linien

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Wie bei der quadratischen Funktion mit q(x)=ax² erhält man eine Schar von V-Linien, wenn man f(x)=|x| auf f(x)=a|x| verallgemeinert. Die Variable a steht für eine reelle Zahl außer 0.

"Scheitelform"

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In einem nächsten Schritt verschiebt man die V-Linie im Koordinatensystem.
Die Spitze in O(0|0) bewegt sich zu einem beliebigen Punkt P(b|c).

Das führt zur allgemeinen Betragsfunktion f(x)=a|x-b|+c.

Für die Zeichnung gilt f(x)=|x-1|+2.

Zwei weitere Beispiele

2.Beispiel: f(x)=(1/2)|x-1|+2

Für x>1 gilt f(x)=(1/2)x+3/2
Für x=1 gilt f(x)=2
Für x<1 gilt f(x)=-(1/2)x+5/2

3. Beipiel f(x)=-|x+1|+2

Für x>-1 gilt f(x)=-x+1
Für x=-1 gilt f(x)=1
Für x<-1 gilt f(x)=x+3

Darstellung ohne Beträge

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Dazu gibt man - ausgehend von der allgemeinen Betragsfunktion f(x)=a|x-b|+c - eine abschnittsweise definierte Darstellung an. So beseitigt man die Betragsstriche durch Fallunterscheidungen.

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|f(x)| und f(|x|)
Man versieht gerne die Terme ganzrationaler Funktionen f(x) mit Betragsstrichen. Dann erhält man einfache Beispiele stetiger, aber nicht differenzierbarer Funktionen.
Die beiden Funktionen links stehen für die beiden Haupttypen |f(x)| und f(|x|). Die rechte Funktion hat beide Eigenschaften.

f(x) = |(x-1)²-1|
f(x)=(|x|-1)²+1/2
f(x) = |x²|x|-x²-|x|-1|

Die Bereiche des Graphen von |f(x)|, die unterhalb der x-Achse liegen, werden nach oben geklappt.
Die Graphen von y=f(|x|) sind achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse.

Funktionsterme mit ineinander geschachtelten Beträgen
Diskussion der Funktionsgleichung y=||x|-2|
Wegen einer besseren Darstellung lasse ich die Knickstellen x=-2, x=0 und x=2 weg.
Ich verwende in den folgenden Überlegungen das Symbol /\ für das logische "und".
Die Aussageformen rechts und links des Symbols /\ müssen richtig sein.

Auflösen der inneren Betragsstriche
Fall I
x>0 /\ y=|x-2|
Fall II
x<0 /\ y=|-x-2|

Auflösen der äußeren Betragsstriche
Fall Ia
x>0 /\ x>2 /\ y=x-2, zusammengefasst x>2 /\ y=x-2
Fall Ib
x>0 /\ x<2 /\ y=-x+2, zusammengefasst 0<x<2 /\ y=-x+2
Fall IIa
x<0 /\ -x-2>0 /\ y=-x-2, vereinfacht x<0 /\ x<-2 /\ y=-x-2, zusammengefasst x<-2 /\ y=-x-2
Fall IIb
x<0 und -x-2<0 /\ y=x+2, vereinfacht x<0 /\ x>-2 /\ y=x+2, zusammengefasst 0<x<-2 /\ y=x+2

Ergebnis

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Es ergeben sich die vier Geradengleichungen mit
y=x-2, y=-x+2, y=-x-2 und y=x+2.

Sie gelten jeweils nur für die oben bestimmten Bereiche.

Dieses Beispiel entspricht der teilweise hochgeklappten Parabel mit p(x) = |x²-1|.

Diskussion der Funktionsgleichung y=|x+|x+1||

Auflösen der inneren Betragsstriche
Fall I
x+1>0 /\ y=|x+x+1|, vereinfacht x>-1 /\ y=|2x+1|
Fall II
x+1<0 /\ y=|x-x-1|, vereinfacht x<-1 /\ y=1

Auflösen der äußeren Betragsstriche
Fall Ia
x>-1 /\ 2x+1>0 /\ y=2x+1, vereinfacht x>-1 /\ x>-1/2 /\ y=2x+1,
zusammengefasst x>-1/2 /\ y=2x+1
Fall Ib
x>-1 /\ 2x+1<0 /\ y=-2x-1, vereinfacht x>-1 /\ x<-1/2 /\ y=-2x-1,
zusammengefasst -1<x<-1/2 /\ y=-2x-1

Zusammenfassung im Graphen

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Verfremdung der Kreisgleichung

...... Der Einheitskreis ist der Graph der Relation x²+y²=1.
Man könnte Beträge in folgender Weise einführen: |x|x+|y|y=1.
Der Graph links ist eher langweilig.
Der Kreis bleibt nur im 1. Quadranten erhalten.
Das ist verständlich, denn nur für x>0 und y>0 ist nach wie vor x²+y²=1.

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Betrachtet man die anderen Fälle, so liegt im 2. Quadranten die (blaue) Hyperbel mit -x²+y²=1.

Im 4. Quadranten liegt die (rote) Hyperbel mit x²-y²=1.

Im 3. Quadranten gilt -x²-y²=1.
Die Gleichung wird von keiner Zahl erfüllt. Deshalb bleibt das Feld leer.

Quadrat und Achteck

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Es ist möglich, ein Quadrat in einem Koordinatensystem nur durch eine Gleichung zu beschreiben,
|x|+|y|=2 oder abs(x)+abs(y)=2.

Es ist möglich, auch ein Achteck in einem Koordinatensystem durch nur eine Gleichung zu beschreiben,
2(|x|+|y|)+sqrt(2)(|x-y|+|x+y|)=8.

Aus dem Quadrat wird eine Raute, wenn man die Gleichung von |x|+|y|=2 auf |x|/|a|+|y|/|b|=1 erweitert.

Oktaeder

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Es ist möglich, ein Oktaeder in einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem durch eine Formel darzustellen.

Die Formel lautet |x|+|y|+|z|=1 oder abs(x)+abs(y)+abs(z)=1.

Vier Quadrate

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Auf der japanischen Webseite

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/graph/absolutevalue.htm

fand ich die Gleichung |||x|-2|+|y|-2|=1/2 oder abs(abs(abs(x)-2)+abs(y)-2)=1/2 mit dem nebenstehenden Graphen.

Noch ein Quadrat
Für zwei beliebige reelle Zahlen a und b ist der Term (1/2)(a+b+|a-b|) definiert.
Für a>b gilt (1/2)(a+b+|a-b|) = (1/2)(a+b+a-b)=a
Für a=b gilt (1/2)(a+b+|a-b|)=a
Für a<b gilt (1/2)(a+b+|a-b|) = (1/2)(a+b-a+b)=b

Der Term gibt also immer die größere Zahl an. Man schreibt deshalb max(a,b)= (1/2)(a+b+|a-b|)

Der Term wurden früher gerne in Computerprogrammen eingesetzt.

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Inzwischen kennen viele Programme in ihren Bibliotheken den Ausdruck max(a,b), so auch das Programm WINPLOT, von dem ich die Graphen auf dieser Seite habe zeichnen lassen.

Die Gleichung zum nebenstehenden Quadrat heißt
max(abs(x), abs(y))=1 oder max(|x|,|y|)=1.

Für die kleinere Zahl zweier Zahlen gilt die Gleichung min(a,b)=(1/2)(a+b-|a-b|).

Jetzt ist eine weitere Darstellung der Betragsfunktion f(x) = |x| mit f(x) = max(x,-x) möglich.

Auch an anderen Stellen meiner Homepage verwende ich Beträge.

Herzkurven