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Was ist ein regelmäßiges Siebeneck?
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Das regelmäßige Siebeneck ist ein Vieleck
mit
sieben gleich langen Seiten und
sieben gleich großen Innenwinkeln. |
Das regelmäßige Siebeneck heißt auch Heptagon
oder manchmal Septagon, auf dieser Seite meist einfach Siebeneck.
Größen
des Siebenecks
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Winkel im Siebeneck
Weitere
Größen
Ist die Seite a gegeben, so lassen sich daraus der Radius
r
des Inkreises, der Radius
R des Umkreises, die Diagonalen
d1
und
d2
und die Höhe h, der Flächeninhalt
A
und der Umfang U errechnen.
Vorbemerkung
In Formelsammlungen fehlt das Siebeneck.
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Das liegt daran, dass man seine Größen nicht
wie zum Beispiel beim Sechs- und Achteck durch Wurzelterme ausdrücken
kann. |
Formeln
Herleitung
der Formeln
Radius r des Inkreises und
Radius
R des Umkreises
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Es gilt sin(180°/7)=(a/2)/R und tan(180°/7)=a/(2r).
Daraus folgen die Formeln R=a/[2*sin(180°/7)] und
r=a/[2*tan(180°/7)]. |
Erste
Diagonale
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Es gilt sin(90°-180°/7)=cos(180°/7)=d1/(2a).
Daraus folgt d1=2a*sin(180°/7). |
Zweite
Diagonale und Höhe
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Wegen des Mittelpunktsatzes ist der Umfangswinkel halb
so groß wie der Mittelpunktwinkel.
Diese Aussage ist auf den Umkreis bezogen.
Es gilt tan(90°/7)=(a/2)/h. Daraus folgt h=a/[2*tan(90°/7)].
Es gilt weiter sin(90°/7)=(a/2)/d2. Daraus
folgt d2=a/[2*sin(90°/7)]. |
Flächeninhalt
und Umfang
Der Flächeninhalt ergibt sich aus dem 7-fachen der
Fläche des Bestimmungsdreiecks: A=7(a*r/2)=7a²/[4*tan(180°/7)].
Der Umfang ist 7a.
Diagonalen top
Das Siebeneck hat 14 Diagonalen.
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Sieben Diagonalen verbinden jeden zweiten und sieben
jeden dritten Eckpunkt.
Die Diagonalen bilden zwei voneinander unabhängige
Sterne (Heptagramme).
Sie können in einem Streckenzug gezeichnet werden. |
Die Winkel an den Spitzen der Heptagramme sind 540°/7
und 180°/7.
Zeichnen eines
Siebenecks
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Nicht konstruierbar
Nach Gauss (1796) sind die und nur die p-Ecke (p ist
eine ungerade Primzahl) konstruierbar, bei denen es natürliche Zahlen
k gibt, so dass p=2^(2k )+1 Primzahlen sind.
Das sind p=3, p=5, p=17, ... für k=0,1,2,...
Darunter ist also nicht p=7.
Weitergehende Untersuchungen gehen von der Gleichung z7=1
bezogen auf komplexe Zahlen aus. Näheres findet man bei Robert Geretschläger
(URL unten).
Zeichnung
(1) Zeichne einen Winkel von 51,4° mit einem Geodreieck.
(2) Zeichne einen Kreis um den Scheitelpunkt.
(3) Zeichne die Sehne.
(4) Trage sie sechsmal auf dem Kreisbogen ab. Zeichne
alle Sehnen.
Es ist ein Siebeneck entstanden.
Erste Näherungskonstruktion
Wenn man das Siebeneck nicht exakt mit Zirkel und Lineal
konstruieren kann, so gibt es doch eine Reihe von Näherungskonstruktionen.
Es folgen zwei Beispiele.
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Die Zeichnung oben setzt einen Winkel von 51,4° voraus,
dann folgen Konstruktionen.
Diesen Winkel kann man näherungsweise konstruieren.
Man geht von einem (Scheitel-)Punkt 4 Einheiten nach
rechts und 5 Einheiten nach oben. Das dazugehörige Dreieck enthält
einen Winkel von fast 360/7° oder gerundet 51,43°. |
Die Gleichung tan(alpha)=5/4 führt zu einen Winkel von
51,34°. Dieser Winkel ist nur um 0,17% kleiner als 360/7° .
Man kann tan(alpha) beliebig
nahe kommen, wenn man den Kettenbruch tan(2pi/7) = [1,3,1,15,31,1,3,...]
wählt. Die ersten Näherungsbrüche sind 1, 4/3, 5/4, 79/63,
2454/1957, 2533/2020, 10053/8017, ...
Zweite
Näherungskonstruktion
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>Zeichne einen Kreis um Punkt A mit dem Radius AB=R.
>Zeichne den Kreis um B mit dem Radius AB=R. Du erhältst
Punkt C.
>Zeichne die Höhe CD.
>Zeichne um C einen Kreis mit dem Radius CD. Du erhältst
Punkt E.
>Die Strecke CE ist angenähert die Seite eines Siebenecks. |
Man wählt also die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks
als Seitenlänge des Siebenecks.
Überprüfung
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Die Höhe in einem gleichseitigen Dreieck ABC oben
ist CD=(1/2)sqrt(3)R.
Diese Strecke wird zur Grundseite im Grunddreieck des
angenäherten Siebenecks.
Für den halben Grundwinkel gilt sin(alpha/2)=(1/4)sqrt(3)
oder alpha/2=25,6589°. |
Zum Vergleich ist 180/7°=25,7143°. Der Fehler ist
0,22%.
Zu dieser Konstruktion gibt
es auf der Webseite http://de.wikipedia.org/wiki/Siebeneck eine Animation.
Dort steht auch, dass sich die Konstruktion schon bei
Abu l-Wafa (10. Jahrhundert) findet.
Es gibt im Internet eine zweite Quelle, nämlich
eine Faksimile-Ausgabe in der Sammlung Geometria [Matthäus Roriczer
(15.Jahrhundert)] auf der Webseite der Hochschule Augsburg (URL unten).
Die Hinweise auf diese Näherungskonstruktion und
auf die Quellen stammen von Lutz Führer.
Dreieck im Siebeneck
top
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Die lange Diagonale, die kurze Diagonale und die Seite
des Siebenecks bilden ein Dreieck. Zwischen den Seiten gelten folgende
Beziehungen:
(I) d1²=ad2+a²
(II) d2²=d1d2+a²
(III) d2²=ad1+d1²
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Beweis:
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Im Siebeneck treten drei verschiedene gleichschenklige
Trapeze mit einem Umkreis auf. |
Aus dem Satz des Ptolemäus ergeben sich die drei Formeln
unmittelbar.
Der Satz wird auf meiner Seite Sehnenviereck
bewiesen und besprochen.
Hier ist eine weitere Formel,
die sich aus dem Satz des Ptolemäus ergibt.
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Dazu zeichnet man das nebenstehende grüne Sehnenviereck
ein.
Es gilt: d1d2=ad1+ad2
. Daraus folgt a=(d1d2)/(d1+d2).
Die Seite ist das halbe harmonische Mittel der beiden
Diagonalen. |
Es gibt noch viele weitere
interessante Aussagen zum Dreieck in den Webseiten der Linkliste unten.
Ein
Satz zum regelmäßigen Siebeneck top
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Es gilt die Formel d1+d2-a=sqrt(7)r |
Herleitung
Man stelle sich vor, in den Eckpunkten eines Siebenecks
liegen Punktmassen m im Abstand r um eine Drehachse durch M.
>Dann ist das Trägheitsmoment bzgl. dieser Achse
7mr².
>Verschiebt man die Drehachse parallel nach A, so wird
das Trägheitsmoment AB²m+AC²m+AD²m+AE²m+AF²m+AG²m.
>Nach dem Satz von Steiner ist AB²m+AC²m+AD²m+AE²m+AF²m+AG²m
= 7MA²m+ 7mr².
Daraus folgt AB²+AC²+AD²+AE²+AF²+AG²
= 7MA²+ 7r² oder a²+d1²+d2²+d2²+d1²+a²=14r²
oder a²+d1²+d2²=7r².
>Nach dem Satz von Ptolemäus (s.o.) gilt d1d2=ad1+ad2
oder d1d2-ad1-ad2=0.
Es ist (d1+d2-a)²=d1²+d2²+a²+2(d1d2-ad1-ad2)=
d1²+d2²+a²=7r².
Dann ist d1+d2-a = sqrt(7)r, wzbw.
Quelle: (4)
Verschiedenes top
Figuren im Siebeneck
Hier wird besonders deutlich: Das Siebeneck ist achsensymmetrisch.
Unregelmäßige
Siebenecke aus Quadraten und gleichseitigen Dreiecken
Die beiden ersten Bilder folgen der Zerlegung 7=4+3.
Siebeneck-Knoten
... ...... |
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So wie man aus einem Streifen Papier einen Fünfeckknoten
bilden kann, so auch einen Siebeneckknoten. |
Quelle: (3) Seite 57 f.
... ... |
Man erzeugt den Knoten am besten, indem man ein Siebeneck
ausschneidet und einen Streifen passender Breite herumwickelt. Anschließend
kann man das Siebeneck entfernen und den Streifen mit Hilfe der Faltlinien
verweben. |
Regelmäßige
Siebenecke auf Münzen
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Alle Euromünzen sind rund bis auf das 20-Cent-Stück.
Es hat sieben Einkerbungen, die "Spanische Blume". |
Florian Pranghe teilte mir
zur Spanischen Blume als Münzsammler mit, dass die alte spanische
50-Peseten-Münze auch diese Prägung hatte, um Blinden die Unterscheidung
von anderen Münzen zu erleichtern.
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Die alte spanische 200-Peseten-Münze enthält
auf beiden Seiten ein Siebeneck. |
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Engländer hängen an ihrer Währung (2005).
Das 20-Pence- und das 50-Pence-Stück haben Siebeneckform.
Mehr auf meiner Seite Gleichdick. |
Perioden
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Periodische Erscheinungen veranschaulicht man gerne durch
Vielecke.
Zur Periode 7 gibt es zum Beispiel die Wochentage und
die Tonleiter. |
Siebeneck im Internet
top
Deutsch
Joachim Mohr
Das Siebeneck,
die Dreiteilung des Winkels und die Kubikwurzel
NN (Lehrstuhl der Mathematik und ihre Didaktik, Universität
Bayreuth)
Knoten
regulärer Vielecke
Wikipedia
Siebeneck,
Heptagramm
Englisch
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Heptagon,
Heptagonal
Triangle, Heptagon
Theorem, Trigonometry
Angles Pi7
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Heptagon,
Heptagonal
Triangle
Jay Kappraff, Gary W. Adamson
A
Unified Theory of Proportion
"The heptagonal system is particularly rich in algebraic
and geometric relationships."
JIM ALISON
HEPTAGRAM
CONSTRUCTION
John Page
Heptagon
Robin Hu
The Heptagon
(Constructions)
Wikipedia
Heptagon,
Heptagram
Referenzen top
(1) Bankoff, L. and Garfunkel, J. "The Heptagonal Triangle."
Math. Mag. 46, 7-19, 1973
(2) Robert Geretschläger: Folding the regular heptagon,
(im Internet verfügbar)
Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem, Vol 23,
Nr. 2.März1997, pp. 81-88
(3) H.Martyn Cundy, A.P.Rollett: Mathematical Models,
Oxford 1961
(4) T. S. Tufton: ABCDEFG is a regular heptagon
in a circle of unit radius; to prove that AC+AD-AB=sqrt(7).
Mathematical Gazette 18, (1934)
274-275.
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URL meiner
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https://www.mathematische-basteleien.de/
©
2005, erweitert 2011, Jürgen Köller
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