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Was ist ein Paraboloid?
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Im einfachsten Fall ist ein Paraboloid ein Rotationsparaboloid.
Das ist der Körper, der entsteht, wenn eine Parabel
im Raum um ihre Achse rotiert.
Dieses Paraboloid hat die Form eines unten runden Gefäßes,
das oben keine Begrenzung hat.
Weiter unten werden noch das (allgemeinere) elliptische
Paraboloid und das hyperbolische Paraboloid vorgestellt. |
Formel
des Rotationsparaboloids
top
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Hat die erzeugende Parabel die Gleichung z=[1/(2p)]y²
mit p>0, so hat das Paraboloid die Gleichung z=[1/(2p)](x²+y²).
Legt man eine Schnittebene senkrecht zur z-Achse, so ist
die Schnittlinie ein Kreis.
Schließt man das Paraboloid oben mit diesem Kreis
ab, dann stellt sich die Frage, wie groß das Volumen und die Mantelfläche
dieses Körpers sind. |
Volumen und Mantelfläche
top
Rotiert eine Kurve mit y=f(x) um die x-Achse, so gelten
für Volumen und Mantelfläche die beiden folgenden Formeln.
Volumen
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Man stelle sich also vor, die Parabel mit y²=2px
rotiere um die x-Achse. Dann gilt
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Mantelfläche
Zur Berechnung des zweiten Integrals stellt man die Gleichung
y²=2px, die Ableitung 2yy'= 2p oder y'=p/y und den Term sqrt(1+y'²)=sqrt(1+p²/y²)=(1/y)sqrt(2px+p²)
bereit.
Das führt zu
Substitution: z=sqrt(2px+p²)
Dann ist z²=2px+p² oder x=(z²-p²)/(2p)
oder dx/dz=z/p oder dx=(1/p)zdz.
Weiter ist sqrt(2px+p²)dx gleich (1/p)z²dz.
Das Integral kann berechnet werden:
Ergebnis:
Graph mit Winplot top
Das Zeichenprogramm Winplot stellt das Rotationsparaboloid
mit Hilfe der Koordinatengleichung und einer Parametergleichung wie
folgt dar.
z=x²+y² mit -1<=x<=1 und -1<=y<=1
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x=sqrt(u)cos(t), y=sqrt(u)sin(t), z=u
mit 0<=t<=2pi, 0<=u<=pi
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Parameter- und Koordinatendarstellung
entsprechen sich:
x²+y²=[sqr(u)cos(t)]²+[sqr(u)sin(t)]²=u*cos²(t)+u*sin²(t)=u[sin²(t)+cos²(t)]=u=z,
was zu zeigen war.
Auf meiner Seite Torus
erkläre ich, wie man mit dem Freeware-Programm Winplot Körper
dieser Art zeichnet.
Elliptisches
Paraboloid top
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Das Rotationsparaboloid wird durch die Gleichung z=[1/(2p)](x²+y²)
oder z=x²/(2p)+y²/(2p) beschrieben.
Das elliptisches Paraboloid hat die leicht abgewandelte
Gleichung z=x²/(2p)+y²/(2q), wobei p>0 und q>0 gilt.
An Stelle der Kreise beim Rotationsparaboloid treten Ellipsen.
In der z-x-Hauptebene liegt die Parabel z=x²/(2p) (rot gekennzeichnet)
und in der z-y-Hauptebene die Parabel z=y²/(2q) (gelb gekennzeichnet). |
Kurvenscharen
Die Gleichung des allgemeinen elliptischen Paraboloids
lautet z=x²/(2p)+y²/(2q).
Hält man eine Koordinate (rot) fest und fasst sie
als Parameter auf, so ergeben sich Kurvenscharen.
z=x²/(2p)+y²/(2q)
Parabeln parallel zur z-y-Ebene |
z=x²/(2p)+y²/(2q)
Parabeln parallel zur z-x-Ebene |
z=x²/(2p)+y²/(2q)
Ellipsen parallel zur x-y-Ebene |
Symmetrie
Die Gleichung z=x²/(2p)+y²/(2q) ändert
sich nicht, wenn man x und y durch die Gegenzahlen -x und -y ersetzt. Das
heißt, dass das elliptische Paraboloid bzgl. z-y-Ebene und der z-x-Ebene
symmetrisch ist.
Graph
Das elliptische Paraboloid stellt man über eine
Koordinatengleichung und eine Parametergleichung wie folgt dar.
z=x²/9+y²/4 mit -3<=x<=3 und -3<=y<=3
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x=a*sqrt(u/h)cos(t), y=b*sqrt(u/h)sin(t), z=u
mit a=1, b=2, h=1 und 0<=t<=2pi, 0<=u<=pi
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Hyperbolisches
Paraboloid
top
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Das hyperbolische Paraboloid hat die Gleichung z=x²/(2p)-y²/(2q),
wobei p>0 und q>0 gilt.
Das Minuszeichen hat die Wirkung, dass die (rot gekennzeichnete)
Parabel im Unterschied zum elliptischen Paraboloid nach unten geöffnet
ist.
Es entsteht insgesamt eine "Sattelfläche". In der
Zeichnung wird angedeutet, wie man sich die Entstehung vorstellen kann:
Die gelb gekennzeichnete Parabel in der z-y-Ebene ist fest. Die rot gekennzeichnete
Parabel wird senkrecht zur y-Achse parallel verschoben. Dabei liegen alle
Scheitel auf der festen Parabel. |
Kurvenscharen
Die Gleichung des hyperbolischen Paraboloids lautet z=x²/(2p)-y²/(2q).
Hält man eine Koordinate (rot) fest und fasst sie
als Parameter auf, so ergeben sich Kurvenscharen.
z=x²/(2p)-y²/(2q)
Parabeln parallel zur z-y-Ebene |
z=x²/(2p)-y²/(2q)
Parabeln parallel zur z-x-Ebene |
z=x²/(2p)-y²/(2q)
Hyperbeln parallel zur x-y-Ebene |
Symmetrie
Die Gleichung z=x²/(2p)-y²/(2q) ändert
sich nicht. wenn man x und y durch die Gegenzahlen -x und -y ersetzt. Das
heißt, dass die Sattelfläche bzgl. der z-y-Ebene und auch der
z-x-Ebene symmetrisch ist.
Graph
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Das hyperbolische Paraboloid stellt man wie links über
eine Koordinatengleichung dar.
Die Gleichung ist z=0,2x²-0,4y² mit -5<=x,y<=5. |
Hyperbolisches
Paraboloid als Regelfläche
Das hyperbolische Paraboloid ist eine Regelfläche.
Das heißt, dass sie eine Fläche ist, die auch durch die Bewegung
einer Geraden gebildet wird.
Man kann die Gleichung z=x²/(2p)-y²/(2q) so
umformen, dass man die Geradengleichungen erkennt (nach 3).
Dazu setzt man zuerst 2p=a² und 2q=b², so dass
die Gleichung 2z=x²/a²-y²/b² heißt. Dann gilt
2z=(x/a+y/b)(x/a-y/b).
Man setzt u=z/(x/a-y/b) und v=2/(x/a+y/b), so dass die
Gleichung z=(x/a+y/b)(x/a-y/b) durch zwei Paare von Gleichungen ersetzt
werden kann.
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(x/a+y/b)=2u und (x/a+y/b)=vz
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(x/a-y/b)=2u und (x/a-y/b)=vz
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Jede dieser Gleichungen stellt eine Ebene dar, jedes Gleichungspaar
eine Gerade als Schnittgerade der Ebenen.
Die Geradenpaare bilden das Paraboloid, wenn die Parameter
u und v alle Werte durchlaufen.
Hyperbolisches
Paraboloid mit rechtwinkligen Hyperbeln
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Setzt man in der Gleichung z=x²/(2p)-y²/(2q)
die Variablen p und q gleich, ergibt sich
z=(1/(2p)(x²-y²). Bei festem z wird damit eine
Schar rechtwinkliger Hyperbeln beschrieben von der Art, wie sie links schwarz
dargestellt ist. Hier ist p=1.
Die übliche Darstellung rechtwinkliger Hyperbeln
wird in der Ebene durch die Gleichung xy=k (rot) dargestellt. Hier ist
k=1.
Diese Gleichung kann erweitert werden zu kz=xy. Diese
Gleichung eines Paraboloids ist einfacher und kann durch drei einfache
Parametergleichungen ersetzt werden: x=u, y=t, z=(1/k)ut.
Die Hyperbeln gehen durch eine Achteldrehung ineinander
über. |
Graph mit Winplot
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Das hyperbolische Paraboloid stellt man über die
Koordinatengleichung kz=xy (k=0.4) wie links dar.
Man erkennt die erzeugenden Geraden, die das hyperbolische
Paraboloid zu einer Regelfläche machen.
Eine Animation u.a. findet man bei Karla Nestler, TU Dresden
(URL unten). |
Parabolkegel
top
Der treffende Name Parabolkegel
ist nicht der übliche Name (gefunden bei 1).
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Rotiert die Parabel z²=2px um die z-Achse, so entsteht
ein Parabolkegel.
Dann ist z²=2p*sqrt(x²+y²) die Gleichung
der Fläche.
Quadriert man sie, so ergibt sich eine Gleichung 4.Grades,
z4=4p2(x2+y2).
Im Unterschied zum Paraboloid ist also der Parabolkegel
eine Fläche 4.Grades.
Nach (1) ist das Volumen V=(1/5)pi*x²y. |
Graph
mit Winplot
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Für den Graphen gilt z=2*sqrt[sqrt(x²+y²)]
mit -1<=x, y<=1. |
Parabolischer
Zylinder
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Für den Graphen gilt x²+2y=0 mit -2,1<=x,
y, z<=2,1. |
Flächen
zweiter Ordnung
top
Das Paraboloid gehört zu den Flächen zweiter
Ordnung.
Sie ergeben sich, wenn man in einem räumlichen kartesischen
Koordinatensystem die Gleichung Ax+By+Cz+Dxy+Eyz+Fzx+Gx+Hy+Kz+L=0 graphisch
darstellt.
Bei bestimmten Werten für die Variablen A bis L
ergeben sich im Wesentlichen die folgenden Flächen.
Zum
Vergleich
Lässt man die Variable z weg, so ergibt sich die
einfachere Gleichung Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0.
Im Zweidimensionalen gelangt man dann im Wesentlichen
zu den den Kegelschnitten.
Von der
Parabel zum Paraboloid top
Auf meiner Seite Parabeln findet
man das Kapitel
Figuren im Parabelsegment.
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Man erhält ein Parabelsegment wie links, wenn man
die Normalparabel an der x-Achse spiegelt und um eine Einheit nach oben
verschiebt. Das führt zur Funktionsgleichung f(x)=-x²+1
Es soll untersucht werden, welche Abmessungen einige Figuren
im Parabelsegment mit einem maximalen Flächeninhalt haben müssen. |
Die gelben Figuren sind maximal.
gleichsch. Dreieck
(trivial)
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Rechteck
x=(1/3)sqrt(3)
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gleichschenkliges Trapez
x=1/3
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rechtw. Dreieck
x=1/3
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gleichsch. Dreieck
x=(1/3)sqrt(3)
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Körper
im Paraboloid
Es stellt sich die Frage, wie man diese Extremwertaufgaben
auf das Paraboloid überträgt.
Die gelben Körper sollen
maximal sein.
Gerader Kegel
(trivial)
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Zylinder
x=(1/2)sqrt(2)
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Kegelstumpf
x=1/2
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unergiebig
(vielleicht doch nicht)
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Kegel
x=(1/2)sqrt(2)
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Paraboloid im
Internet top
Deutsch
Karla Nestler (TU Dresden, Fachrichtung Mathematik)
Hyperbolisches
Paraboloid
Material zur HM bei Prof. Dr. M. Stroppel (Uni-Stuttgart)
Bilder
von Quadriken im Raum
Philipp Kistler (Geschenkt)
Bauanleitung
für ein hyperbolisches Paraboloid
Ralf Schaper (Fachbereich Mathematik /Informatik, Universität
Kassel)
Aufgeschnittenes,
elliptischen Paraboloid, Aufgeschnittenes,
hyperbolisches Paraboloid
Wikipedia
Rotationsparaboloid,
Paraboloid,
Elliptisches
Paraboloid, Hyperbolisches
Paraboloid, Sattelflache,
Regelfläche,
Parabolspiegel,
Parabolantenne,
Zentrifugalkraft/Rotierende
Flüssigkeit, Flüstergewölbe,
Rotating
bucket
Englisch
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Paraboloid,
Elliptic
Paraboloid, Hyperbolic
Paraboloid, Quadratic
Surface
Richard Parris (Freeware-Programme)
winplot
The Wolfram Demonstrations Project
Elliptic
Paraboloid
Wikipedia
Paraboloid,
Elliptic
paraboloid, Saddle
surface, Ruled
surface,
Parabolic
reflector, Parabolic
antenna, Laminar
flow
Xahlee
Paraboloid,
Rotate
me
Französisch
Robert FERRÉOL (mathcurve)
PARABOLOÏDE
DE RÉVOLUTION, PARABOLOÏDE
ELLIPTIQUE, PARABOLOÏDE
HYPERBOLIQUE ,
ÉLICE
DU PARABOLOÏDE
Video
Youtube
Zentrifugalkraft
auf rotierende Flüssigkeiten
Referenzen top
(1) Georg Ulrich / Paul Hoffmann: Differential- und Integralrechnung
zum Selbstunterricht, Hollfeld [ISBN 3 8044 0575 4]
(2) M.J.Wygodski: Höhere Mathematik griffbereit,
Braunschweig 1977 [ISBN 3 528 18309 8]
(3) W.Gellert (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik,
Leipzig 1986
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2011 Jürgen Köller
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