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Was ist der Torus?
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Der Torus ist ein mathematischer Körper, der dadurch
entsteht, dass ein senkrecht stehender Kreis um eine vertikale Achse, die
außerhalb des Kreises liegt, rotiert. Kreis und Achse liegen dabei
in einer Ebene.
Er wird bestimmt durch zwei Größen, den Radius
r des rotierenden Kreises und den "Mittelkreisradius" R. Es gilt R>r. |
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Der Torus heißt in
der Mathematik auch Ringkörper oder Kreiswulst, außerhalb auch
Ring,
Kranz, Reifen... .
Auf dieser Seite wird der
Torus wie auf meinen Webseiten Kugel und Ellipsoid
als ein weiterer geometrischer Körper abgehandelt.
Formeln des Torus top
Koordinatengleichung
Die Koordinatengleichung
(x²+y²+z²+R²-r²)²=4R²(x²+y²)
beschreibt
den Torus mathematisch.
Beweis
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Man stelle sich vor, der sich drehende Kreis und mit
ihm der Kreispunkt P(x1|0|z1) lägen in der x-z-Ebene
eines räumlichen Koordinatensystems.
Der Kreis hat die Darstellung (x-R)²+z²=r².
Gibt man den Kreispunkt P(x1|0|z1)
vor, so gilt (x1-R)²+z1²=r². |
Der Punkt P(x1|0|z1) beschreibt bei
Rotation um die z-Achse den Kreis x²+y²=x1² in
der Höhe z=z1.
Das sind drei Gleichungen mit den Variablen x, y, x1
und z1, aus denen die Gleichung des Torus entwickelt wird.
Dazu müssen x1 und z1
eliminiert werden. Es gilt
(x1-R)²+z1²
= r²
<=> x1²-2x1R+R²+z1²
= r²
<=> x²+y²+z²-2x1R+R²
= r²
<=> x²+y²+z²+R²-r² = 2x1R
|²
<=> (x²+y²+z²+R²-r²)²
= 4x1²R²
<=> (x²+y²+z²+R²-r²)²
= 4R²(x²+y²), wzbw.
Quelle: http://www.matheboard.de/archive/418208/thread.html
Parametergleichungen
Die folgenden Parametergleichungen beschreiben die Koordinaten
der Punkte des Torus.
x=[R+r*cos(u)]cos(v)
y=[R+r*cos(u)]sin(v)
z=r*sin(u)
Es gilt 0<=u<=2*pi und 0<=v<=2*pi.
Beweis
Vorweg: Aus x=[R+r*cos(u)]cos(v) und y=[R+r*cos(u)]sin(v)
folgt x²+y²=[R+r*cos(u)]² wegen sin²(v)+cos²(v)=1.
Die Variablen x, y und z in den Parametergleichungen
setzt man in die Koordinatengleichung ein.
(x²+y²+z²+R²-r²)² =
4R²(x²+y²)
<=> {[R+r*cos(u)]²+r²*sin²(u)+R²-r²}²
= 4R²[R+r*cos(u)]²
<=> [R²+2rR*cos(u)+r²*cos²(u)+r²sin²(u)+R²-r²]²
= 4R²[R²+2rR*cos(u)+r²*cos²(u)]
<=> [2R²+2rR*cos(u)]² = 4R²[R²+2rR*cos(u)+r²*cos²(u)]
|:R²
<=> [2R+2r*cos(u)]² = 4[R²+2rR*cos(u)+r²*cos²(u)]
<=> 4R²+8rR*cos(u)+4r²*cos²(u) = 4R²+8rR*cos(u)+4r²*cos²(u)
<=> 0 = 0
Die Umformungen sind aus logischen Gründen von unten
nach oben zu lesen.
Die Parameterdarstellungen genügen also der Koordinatengleichung.
Einige Eigenschaften
top
Breitenkreise und Meridiane
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Wie die Kugel hat auch der Torus
auf der Oberfläche ein System orthogonaler Kreise. Bei der Kugel sind
es Breiten- und Längenkreise. Beim Torus heißen die horizontal
liegenden Kreise auch Breitenkreise und die Kreise mit dem Radius
r Meridiane (1).
Die oben und unten liegenden Breitenkreise heißen
Plattkreise,
der in der Mittelebene liegende heißt Gürtelkreis oder
(äußerer)
Äquator und der innen liegende kleinste Breitenkreis Kehlkreis
oder innerer Äquator. |
Symmetrie
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Der Torus ist rotationssymmetrisch bzgl. der eingezeichneten
Achse.
Das heißt, dass der Torus bei einer beliebigen
Drehung um sie in sich selbst übergeht.
Damit ist jede Ebene durch die Achse Symmetrieebene.
Eine weitere Symmetrieebene ist die Mittelebene.
Der gemeinsame Punkt der Symmetrieebenenen ist der Mittelpunkt
des Torus. |
Geodätische
Linien
| ...... |
Geodätische Linien sind kürzeste
Linien auf Körperoberflächen. Man sieht leicht ein, dass die
Meridiane und der innere Äquator geodätische Linien des Torus
sind.
Auf der Seite Geodesics von Mark L. Irons (URL
unten) kann man sich davon überzeugen, dass es weitere, kompliziertere
geodätische Linien gibt. |
Villarceau-Kreise
... ... |
Man betrachtet eine Ebene durch die Symmetrieachse des
Torus (Zeichenebene).
Man zeichnet durch den Mittelpunkt des Torus eine gemeinsame
Tangente an die Kreise.
Ergebns: Eine Vertikalebene durch die gemeinsame Tangente
schneidet den Torus in zwei Kreisen. |
(2) - Ein anschauliches Bild findet man auf der Webseite
Torus
von MathWorld (URL unten)
Ringkörper
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Ein Körper mit r<<R bezeichnet man auch als
Ringkörper. |
Graph mit WINPLOT (Aktuelle
Version 1.370.1) top
1 Koordinatengleichung
Für meine Webseiten verwende ich für das Zeichnen
der Graphen fast nur das Freeware-Programm WINPLOT, auch in der Absicht,
es zu empfehlen. - Wegen etlicher Anfragen erkläre ich im Folgenden,
wie man zum Bild des Torus gelangt.
... ...
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>Installiere die deutsche Version des Zeichenprogramms
wplotde.exe.
>Starte das Programm wplotde.exe.
>Wähle Fenster/3-d. Es öffnet sich das Fenster
Unbenannt.wp3.
>Wähle Gleichung/3. Implizit ... Es öffnet
sich das Fenster Implizite Fläche.
>Gib die Gleichung (xx+yy+zz+3)(xx+yy+zz+3)=16(xx+yy)
ein. (d.h. R=2 und r=1).
> Wähle die Farbe schwarz und bestätige
mit OK.
>Es öffnet sich das Fenster Maße der Box.
>Gib ein -3.1<x<3.1, -3.1<y<3.1 und
-1.1<z<1.1
>Markiere das Feld Sperre Position und bestätige
mit OK.
Es öffnet sich das Fenster Inventar/Unbenannt.wp3.
>Klicke auf das Feld Höhen.
Es öffnet sich das Fenster Höhenlinien ...
>z ist markiert. Gehe auf Auto.
Schließe
das Fenster, in dem gezeichnet wird. |
>Markiere y und gehe auf Auto. Schließe
das Fenster, in dem gezeichnet wird.
>Markiere x und gehe auf Auto. Schließe
das Fenster, in dem gezeichnet wird.
>Verlasse das Fenster mit Beibehalten.
Der Graph wird berechnet. Warte, bis oben links Abbruch
mit Taste A verschwindet.
... ... |
Dann erscheint der Graph, der den Bildschirm ausfüllt.
Das nebenstehende kleinere Bild erhält man, wenn
man das Fenster mit Hilfe des Doppelquadrat-Symbols oben rechts (Verkleinern)
anklickt und das Fenster entsprechend einstellt. Mit einem Screenshot wird
das Bild gesichert.
Den weißen Hintergrund erreicht man z.B., indem
man das Bild im Programm mspaint.exe als Monochrom Bitmap speichert,
kopiert und als .gif-Datei speichert. |
2 Parameterdarstellung
Die Zeichenprozedur im Modus "Parametrisch" ist
einfacher.
| ...... |
>Starte das Programm wplotde.exe.
>Wähle Fenster/3-d. Es öffnet sich das Fenster
Unbenannt.wp3.
>Wähle Gleichung/2. "Parametrisch" ...
Es öffnet sich das Fenster Oberfläche x(t,u),
y(t,u), z(t,u).
> Gib ein x=(2+cos(u))cos(t), y=(2+cos(u))sin(t), z=sin(u)
(d.h. R=2 und r=1).
>Ersetze u_max=3.14159 durch u_max=6.28319
> Wähle die Farbe schwarz und bestätige
mit OK.
Der Graph wird gezeichnet. |
3 Röhre
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Im Programm sind Röhren vorgefertigt.
Mit Fenster/3-dim und Gleichung/Röhre
gelangt man in das entsprechende Fenster.
Dort erzeugt man mit der Zeile Röhre (cos(t),
sin(t),0);Radius = .3 einen Torus. |
Drehungen
... ...x= |
Koordinatenform
Mit der Gleichung (xx+yy+zz+3)(xx+yy+zz+3)=16(xx+zz)
erhält man eine andere Ansicht des Torus.
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 ... |
Parameterform
Man erreicht eine Drehung in der Parameterform z.B. durch
eine Eins statt Zwei.
x=(1+cos(u))cos(t)
y=(2+cos(u))cos(t)
z=sin(u)
Allerdings ändert sich dann auch die Form. Ich vermute,
dass die Meridiane zu Ellipsen werden. |
Halbe
Tori
... ... |
Zwei verschiedene halbe Tori erhält man mit Hilfe
der Parameterform
x=[3+cos(u)]cos(t),
y=[3+cos(u)]sin(t),
z=sin(u),
indem man die Bereiche der Variablen u und t unterschiedlich
einschränkt. |
Kugelkoordinaten
Das Programm WINPLOT ermöglicht auch die Darstellung
von Rotationskörpern durch Kugelkoordinaten.
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Das ist das Beispiel des Programms.
r=1+.25sin[3u] mit den Definitionsbereichen 0<=t<=2*pi
und 0<=u<=pi |
Und das sind meine Annäherungen an
den Torus.
r=sin(u)
0<=t<=2*pi
0<=u<=pi
|
r=sin(u)
0<=t<=2*pi
0<=u<=pi/4
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r=sin[pi/4)u]
0<=t<=2*pi
0<=u<=pi
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1+sin(2u)
0<=t<=2*pi
0<=u<=2*pi
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Hier ist ein weites Feld
zum Experimentieren.
Volumen und Oberfläche
top
Anschauliche Herleitung
... ... |
Man kann sich vorstellen, dass der Torus aus beliebig
vielen und beliebig dünnen Kreisscheiben besteht, die den Ring bilden.
Biegt man ihn zu einem Zylinder auf, so hat dieser die
Grundfläche pi*r² und die Höhe 2*pi*R.
Für das Volumen des Torus ergibt sich somit
V = (pi*r²)(2*pi*R)=2pi²r²R. |
Für die Oberfläche ergibt sich O=(2*pi*r)(2*pi*R)=4pi²rR.
Das ist die Fläche des Mantels des gedachten Zylinders.
Die exakte mathematische Herleitung dieser beiden Formeln
leisten die beiden guldinschen Regeln.
Es ist auch möglich,
das Volumen und die Oberfläche über Integrale zu berechnen.
Volumen über Integrale
Es wird eine Formel angewandt, die das Volumen eines
Körpers beschreibt, der entsteht, wenn man den Graphen zu y=f(x) um
die x-Achse rotieren lässt.
... ... |
In diesem Falle sind es zwei Halbkreise. Es entstehen
Scheiben, deren Differenz das gesuchte Volumen des Torus ist. Die eine
Scheibe hat einen konvexen Rand, die andere einen konkaven. Die Gleichungen
der Halbkreise sind f1(x)=R+sqrt(r²-x²) und f2(x)=R-sqrt(r²-x²).
|
Der Term wird vereinfacht.
Das Integral gibt den halben Flächeninhalt eines
Kreises
an.
wzbw.
Oberfläche
über Integrale
Es wird eine Formel angewandt, die die Oberfläche
eines Körpers beschreibt, der entsteht, wenn man den Graphen zu y=f(x)
um die x-Achse rotieren lässt.
... ... |
In diesem Falle sind die Graphen zwei Halbkreise und
die Rotationsflächen zwei Teilstücke des Torus, deren Summe die
gesuchte Oberfläche ist. Der äußere Teil wird durch Rotation
eines Halbkreises mit der Gleichung f1(x)=R+sqrt(r²-x²)
erzeugt, der innere Teil mit der Gleichung f2(x)=R-sqrt(r²-x²).
Die Summe ist die gesuchte Oberfläche. |
Vorweg wird der Term von sqrt(1+[f1'(x)]²
bestimmt.
f1(x) = R+sqrt(r²-x²)
f1'(x) = (1/2)(-2x)[1/sqrt(r²-x²)]
= -x/sqrt(r²-x²)
1+[f1'(x)]² = 1+x²/(r²-x²)
= r²/(r²-x²)
sqrt(1+[f1'(x)]² = r/sqrt(r²-x²)
Dann ist
Das erste Integral hat die Stammfunktion F(x)=arc sin(x/r)
und den Wert pi/2-(-pi/2)=pi.
Das zweite Integral hat die Stammfunktion F(x)=x und
den Wert 2r.
Dann ist O1=2pi²*Rr+4pi*r².
Analog ergibt sich für das innere Teilstück
O2=2pi²*Rr-4pi*r².
Die Oberfläche ist dann O=O1+O2=4pi²*Rr,
wzbw.
Eine Kugel im Torus
top
Die Öffnung des Torus schließt man durch eine
passende Kugel.
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Torus mit R=3 und r=1
(x²+y²+z²+8)²=36(x²+y²)
Kugel mit dem Radius 2
x²+y²=4
Da kann man die Frage stellen:
Um wie viel größer ist das Volumen des Torus
als das der Kugel?
Antwort: VTorus:VKugel
= (9*pi)/16 oder gerundet 1,77. |
Besondere Tori top
Ausartungen
Es ist üblich, den Namen Torus beizubehalten, auch
wenn sich die rotierenden Kreise berühren oder gar durchdringen.
Asymmetrischer
Torus
... ...
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Auf der Webseite (3) fand ich die Parametergleichungen
eines asymmetrischen Torus.
x=[R+rcos(u)(2+sin(t))]cos(t)
y=[R+rcos(u)(2+sin(t))]sin(t)
z=rsin(u)(2+sin(t))
mit R=20, r=4, 0<=t<=2*pi und 0<=u<=2*pi.
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Torus im Internet top
Deutsch
Jürgen Meier
Antisymmetrischer
Torus, Torus
Knoten
Herwig Hauser
Torus
animation, Croissant,
Dullo
Ingmar Rubin
Der
optimale Schwimmring (.pdf-Datei)
Matroids Matheplanet
Trägheitsmoment
eines Torus
{ I=2pi²Rr²[(3/4)r²+R²] }
Udo Hebisch (Mathematisches Café)
Torus
Wikipedia
Torus,
Kreisring
Beispiele: Donut,
Bagel,
Rettungsring,
Fahrradschlauch,
Schwimmreifen,
Buchstabe O im Fingeralphabet,
Reifen
(Spielzeug),
Kranz,
Frankfurter
Kranz, Gugelhupf
oder Napfkuchen, Kringel,
Rauchring,
Schwimmreifen,
Ringnebel
Englisch
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Torus,
Standard
Tori,
Ring Torus,
Horn
Torus, Spindle
Torus,
Cyclide,
Ring
Cyclide,
Apple,
Double
Torus,
Triple
Torus
Mark L. Irons
The
Torus,
Geodesics
Richard Parris (Freeware-Programme)
winplot
Sceptic's Play
The
unlinking torus
(Siehe auch Turning
a punctured torus inside-out)
Wikipedia
Standard
torus,
Torus,
Double
torus,
Triple torus,
Torus
knot,
Annulus
(mathematics), Toric
section
Examples: Donut,
Bagel,
Lifebuoy,
Bicycle
tire, Swim ring,
Letter O at Fingerspelling,
Hula
hoop, Wreath,
Frankfurter
Kranz,
Gugelhupf,
Smoke
ring, Swim ring,
Ring
Nebula, Villarceau
circles
Youtube
Gluing
a Torus,
Toroid
Knot Rotation, Zahnräder
auf einer Möbiusschleife, Magnetic
field in a toroidal coil,
Double
Toroid Knot Rotation, Torus,
Sliceform
torus, The fundamental
Group of the Torus is abelian, mad
shisha rings, König
Ubus Rauchring Werfer
Französisch
Robert FERRÉOL (mathcurve) TORE
(NOTION GÉOMÉTRIQUE),
SOLÉNOÏDE
(NOEUD ET ENTRELACS TORIQUE)
Referenzen top
(1) W.Gellert (Herausgeber u.a.): Kleine Enzyklopädie
Mathematik, Leipzig 1986
(2) Thomas F. Banchoff: Dimensionen - Figuren und Körper
in geometrischen Räumen, Spektrum-Bibliothek, Bd.31, 1991 [ISBN 3-89330-817-2]
(3) Ingmar Rubin (http://www.matheraetsel.de/archiv/Extremwerte/Torus/torus2.pdf)
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URL meiner
Homepage:
https://www.mathematische-basteleien.de/
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2010 Jürgen Köller
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