Gleichschenkliges Dreieck
Inhalt dieser Webseite
Was ist ein gleichschenkliges Dreieck?
Einteilung der gleichschenkligen Dreiecke
Größen
Extremwertaufgaben
Höhen im Dreieck		 Vierecke erzeugen 
Aufteilung in gleichschenklige Dreiecke
Gleichschenklige Dreiecke auf meiner Homepage
Gleichschenkliges Dreieck im Internet
.
Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was ist ein gleichschenkliges Dreieck?
...... Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten a und b.

Einteilung der gleichschenkligen Dreiecke     top
Man unterscheidet die Dreiecke nach der Größe des Winkels an der Spitze.

0<gamma<90°
Gleichschenklig-spitzwinkliges Dreieck

gamma=90°
gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck

90°<gamma<180°
gleichschenklig-stumpfwinkliges Dreieck

...... Dann gibt es noch den Sonderfall des gleichseitigen Dreiecks, bei dem nicht nur zwei, sondern alle Seiten gleich lang sind.

Größen    top
Größen eines gleichschenkligen Dreiecks sind die Basis (oder Grundseite) c, die Schenkel a und b, die Höhe hc=h, die Basiswinkel alpha und beta, der Winkel an der Spitze gamma, der Radius des Umkreises R, der Radius des Inkreises r und der Flächeninhalt A.

Sind z.B. die Basis c und der Schenkel a gegeben, so lassen sich alle anderen Größen berechnen.
Höhe
...... Durch die Höhe h wird das Dreieck in zwei kongruente Dreiecke zerlegt. 
Sie sind kongruent, da sie in dem rechten Winkel, dem jeweils gegenüberliegenden Schenkeln (a<h bzw.b>h) und in der Höhe h übereinstimmen. 
Es gilt der 4. Kongruenzsatz. 
Es gilt weiter h²=a²-(c/2)² oder h=sqrt[a²-(c/2)²]=(1/2)sqrt(4a²-c²). 
Das gleichschenklige Dreieck ist somit auch achsensymmetrisch mit einer Symmetrieachse, die durch die Höhe verläuft.
Die Höhe halbiert die Basis.
Basiswinkel
...... Wegen der Kongruenz der Teildreiecke sind die Basiswinkel gleich.
Aus der Winkelsumme im Dreieck ergibt sich gamma=180°-2alpha.

Die Winkel erhält man über cos(alpha)=c/(2a) und sin(gamma/2)=c/2a. 
Radius des Umkreises
Der Radius ist R=(4h²+c²)/(8h), wobei man h noch durch (1/2)sqrt(4a²-c²) ersetzen müsste.
Herleitung
......... Man führt ein kartesisches Koordinatensystem ein und bestimmt die Koordinaten des Mittelpunktes M des Umkreises. 
M liegt auf der Höhe h und gleichzeitig auf der Mittelsenkrechten MMa. 
Die Gleichung zu MMa wird durch Ma(c/4|h/2) und die Steigung 1/(2h/c)=c/(2h) bestimmt.
Die Punktrichtungsform führt zu (y-h/2)/(x-c/4)=(1/2)c/h oder y=(1/2)c/hx+(4h²-c²)/8h.
x=0 ergibt DM=(4h²-c²)/8h. Dann ist R=h-DM=h-(4h²-c²)/8h = (4h²+c²)/(8h).
Radius des Inkreises
Der Radius ist r=ch/(2a+c) mit h=(1/2)sqrt(4a²-c²).
Herleitung
..... ...... Der Flächeninhalt des Dreiecks A = (1/2)ch lässt sich in drei Teilflächen zerlegen. Es gilt (1/2)ch = (1/2)cr+(1/2)ar+(1/2)br. 
Dann ist ch = ar+br+cr oder r = ch/(2a+c).
Flächeninhalt
...... Es gilt A=(1/2)ch=(1/2)c*sqrt(4b²-c²).
...... Den Flächeninhalt kann man auch nach der Formel A=(1/2)a²sin(gamma) berechnen.
Herleitung
Es gilt im gekennzeichneten Dreieck c/2=a*sin(gamma/2) und h=a*cos(gamma/2).
Dann ist A=(1/2)ch =a*sin(gamma/2)*a*cos(gamma/2)=(1/2)a²sin(gamma), wzbw.

Extremwertaufgaben  top
Zur Methode
Alle Aufgaben in diesem Kapitel werden mit Hilfe folgender Sätze gelöst.
- Eine differenzierbare Funktion f hat an der Stelle x ein (lokales) Maximum, wenn die Aussagen f'(x)=0 und f''(x)<0 gelten.
- Eine differenzierbare Funktion f hat an der Stelle x ein (lokales) Minimum, wenn die Aussagen f'(x)=0 und f''(x)>0 gelten.

Die Funktionsgleichung zu f wird zunächst in Abhängigkeit zweier Variabler x und y bestimmt. Durch eine Gleichung, die einen Zusammenhang zwischen x und y angibt, kann eine Variable eliminiert werden. Man gelangt durch Einsetzung zu einer Funktionsgleichung mit einer Variablen, der Zielfunktion. 

Größtes Rechteck im Dreieck
...... In ein gleichschenkliges Dreieck kann man wie links unterschiedliche Rechtecke legen. 

Es stellt sich die Frage nach dem Rechteck mit dem größten Flächeninhalt.
Behauptung: Das größte Rechteck im gleichschenkligen Dreieck hat die Seiten (1/2)c und (1/2)h.
Herleitung
...... Für das gesuchte Rechteck werden die Seiten x und y eingeführt. 
Der Flächeninhalt ist A=xy.
Nach dem zweiten Strahlensatz ist x:c=(h-y):h oder xh=c(h-y) oder y=h-(h/c)x.
Dann ist die Zielfunktion A(x)=x[h-(h/c)x]=hx-(h/c)x². 
Die Bedingungen A'(x)=h-(h/c)x=0 und A''(x)<0 führen zum Maximum bei x=c/2. Dann ist y=h/2, wzbw. 
Das Rechteck wird bestimmt durch die Mittelparallele bezüglich der Grundseite.
Größtes Dreieck im Dreieck
...... In ein gleichschenkliges Dreieck kann man wie links ein zweites gleichschenkliges Dreieck kopfüber legen. 

Es stellt sich die Frage nach dem Dreieck mit dem größten Flächeninhalt.
...... Mit den eingeführten Variablen x und y führt eine Untersuchung zu der fast gleichen Rechnung wie beim Rechteck.
Das größte Dreieck im gleichschenkligen Dreieck hat die Grundseite (1/2)c und die Höhe (1/2)h.
Größtes Dreieck im Parabelsegment
Behauptung: Das größte Dreieck kopfüber im Parabelsegment hat die Grundseite (1/3)sqrt(3) LE und die Höhe 8/3 LE. 
LE bedeutet Längeneinheiten.
Herleitung
...... Die Parabel soll der Gleichung y=4-x² genügen.
Das gesuchte Dreieck habe die Höhe y und die Basis 2x. Dann ist der Flächeninhalt A=xy.
Das führt zur Zielfunktion A(x)=(4-x²)x=4x-x³. Dann ist A'(x)=4-3x². 
Die Bedingungen A'(x)=0 und  A''(x)=-6x<0 ergeben ein Maximum an der Stelle x=(2/3)sqrt(3). Weiter ist y=8/3.
Größtes Dreieck im Halbkreis
Behauptung: Das größte Dreieck im Halbkreis hat die Grundseite sqrt(2)r und die Höhe (1/2)sqrt(2)r.
Herleitung
...... Das gesuchte Dreieck habe die Basis 2x und die Höhe y. Dann ist der Flächeninhalt A=xy.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt x²+y²=r² oder y²=r²-x².
Mit dem Flächeninhalt A=xy nimmt auch A²=x²y² an der gleichen Stelle ein Maximum an. 
Dann ist die Zielfunktion A²=x²(r²-x²)=r²x²-x4. Das führt zu (A²)'=2r²x-4x³.
Die Bedingung (A²)'=0 ergibt 2r²x-4x³=0 oder neben x=0 die Gleichung 2r²=4x² oder x²=(1/2)r². 
Die nur zutreffende positive Lösung ist x=(1/2)sqrt(2)r und daraus ergibt sich y=(1/2)sqrt(2)r.
Zu ergänzen ist noch, dass für die 2.Ableitung an der Stelle x=(1/2)sqrt(2)r gilt: (A²)''=2r²-12x²=2r²-6r²<0.
Das größte Dreieck ist gleichschenklig-rechtwinklig.
Größtes Dreieck im Kreis
Behauptung: Das größte Dreieck im Kreis hat die Grundseite sqrt(3)r und die Höhe y=(3/2)r. Dieses Dreieck ist gleichseitig.
Herleitung
...... Das größte Dreieck im Kreis habe die Basis 2x und die Höhe y. Dann ist der Flächeninhalt A=xy.
Es gilt nach dem Satz des Pythagoras r²=(y-r)²+x² oder x²=r²-(y-r)².
Mit dem Flächeninhalt A=xy nimmt auch A²=x²y² an der gleichen Stelle ein Maximum an.
Dann ist die Zielfunktion A²=y²[r²-(y-r)²]=y²(r²-y²+2ry-r²)=y²(-y²+2ry)=-y4+2ry3.
Es gilt (A²)'=-4y³+6ry². (A²)'=0 führt zur Lösung y=(3/2)r und weiter zu x=(1/2)sqrt(3)r.
Zu ergänzen ist noch, dass für die 2.Ableitung an der Stelle y=(3/2)r gilt: (A²)''=-12y²+12ry=-27r²+18r²<0.
Das Dreieck ist gleichseitig.
Kleinstes Dreieck, das man um ein Quadrat legen kann.
...... Ist ein Quadrat gegeben, so kann man beliebig viele gleichschenklige Dreiecke wie links um das Quadrat legen.

Unter den Dreiecken ist eines mit dem kleinsten Flächeninhalt.
Es soll ermittelt werden.
Behauptung: Das Dreieck um ein Quadrat mit dem kleinsten Flächeninhalt hat die Grundseite a und die Höhe 2a.
Herleitung
...... Nach dem zweiten Strahlensatz gilt a:y=(x-a/2):x. Dann ist ax=(x-a/2)y oder y=ax/(x-a/2) oder y=2ax/(2x-a).
Der Flächeninhalt ist A=xy oder A(x)=2ax²/(2x-a). Das ist die Zielfunktion.
A'(x)=[4ax(2x-a)-4ax²]/[(2x-a)²] oder A'(x)=[4ax²-4a²x]/[(2x-a)²]. 
A'(x)=0 führt zu 4ax²-4a²x=0 oder 4ax(x-a)=0 oder x=a. Dann ist y=2ax/(2x-a)=2a, wzbw.. 
Auf eine Untersuchung der 2.Ableitung wird verzichtet.
Kleinstes Dreieck, das man um einen Kreis legen kann.
Behauptung: Das Dreieck um einen Kreis mit dem kleinsten Flächeninhalt hat die Grundseite 2*sqrt(3)r und die Höhe 3r. 
Das Dreieck ist gleichseitig.
Herleitung
...... Zur Ermittlung einer Nebenbedingung wird der Flächeninhalt des Dreiecks direkt und als Summe dreier Teildreiecke berechnet:
xy=xr+sr oder sr=xy-xr oder s²r²=x²y²-2rx²y+x²r².
Es gilt s²=x²+y² und damit (x²+y²)r²=x²y²-2rx²y+x²r² oder x²r²+r²y²=x²y²-2rx²y+x²r² oder  r²y²=x²y²-2rx²y oder r²y=x²y-2rx².
Dann ist x²=r²y/(y-2r).
Mit dem Flächeninhalt A=xy nimmt auch A²=x²y² an der gleichen Stelle ein Minimum an.
Es ist A²=x²y² oder A²=r²y³/(y-2r) und (A²)'=[3r²y²(y-2r)-r²y³]/[(y-2r)²]=[3r²y³-6r³y²-r²y³]/[(y-2r)²]=[2r²y³-6r³y²]/[(y-2r)²].
(A²)'=0 führt zu 2r²y³-6r³y²=0 oder 2r²y²(y-3r)=0 oder y=3r.
Mit y=3r ist x²=r²y/(y-2r)=3r³/r=3r² oder x=sqrt(3)r, wzbw..Das Dreieck ist gleichseitig mit der Seitenlänge 2*sqrt(3)r.
Kleinstes Dreieck, das man um einen Halbkreis legen kann.
Behauptung: Das Dreieck um einen Halbkreis mit dem kleinsten Flächeninhalt hat die Grundseite 2sqrt(2)r und die Schenkel 2r. Es ist gleichschenklig-rechtwinklig.
Herleitung
...... Das kleinste Dreieck habe die Basis 2x und die Höhe y. Dann ist der Flächeninhalt A=xy.
p sei eine Hilfsgröße. Da die beiden rechten Teildreiecke ähnlich sind, gilt p:x=r:y oder p=rx/y.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt x²=p²+r². Weiter ist x²=(xr/y)² +r² oder x²y²=r²x²+r²y². Das ist die Nebenbedingung. y² wird isoliert: y²=x²r²/(x²-r²).
Mit dem Flächeninhalt A=xy nimmt auch A²=x²y² an der gleichen Stelle ein Maximum an.
Dann ist die Zielfunktion A²= r2x4/(x2-r2) und ihre Ableitung (A²)'=[4r2x3(x2-r2)-2x(r2x4)]/(x2-r2)2. 
Der Zähler wird Null gesetzt und weiter verfolgt:  4r2x3(x2-r2)-2x(r2x4)=0 oder 4r2x5-4r4x3-2r2x5=2r2x3(x2-2r2)=0.
Eine brauchbare Lösung erhält man in x²-2r²=0 oder x=sqrt(2)r. Dann ist auch y=sqrt(2)r.
Die Grundseite des Dreiecks ist dann 2sqrt(2)r und die Schenkel sind 2r. 
Größtes Dreieck mit gegebenem Umfang 
Behauptung: Das größte Dreieck ist gleichseitig mit der Seitenlänge U/3. 
Herleitung
...... Der Flächeninhalt soll einen Maximalwert annehmen. Der Umfang soll konstant bleiben.
Dann ist bei nebenstehender Beschriftung U=2x+2a  und a²=x²+y². Eliminiert man die Variable a, so ergibt sich als Nebenbedingung (U/2-x)²=x²+y² oder (U/2)²-Ux=y².
Der Flächeninhalt ist A=xy. 
Mit dem Flächeninhalt A=xy nimmt auch A²=x²y² an der gleichen Stelle ein Maximum an. 
Dann ist die Zielfunktion A²=x²[(U/2)²-Ux]=(1/4)U²x²-Ux³ und ihre Ableitung (A²)'=(1/2)U²x-3Ux².
Die Bedingung (A²)'=0 führt zur Lösung x=U/6. Dann ist die Basis 2x=U/3. Dann ist y=(1/6)sqrt(3)U.
Nach U=2x+2a ist der Schenkel ebenfalls a=U/2-x=U/2-U/6=U/3. 
Zusammenfassung

x=c/2
y=h/2

x=c/2
y=h/2

x=(2/3)sqrt(3)
y=8/3

x=(1/2)sqrt(2)r
y=(1/2)sqrt(2)r

y=(3/2)r
x=(1/2)sqrt(3)r

x=a
y=2a

x=2sqrt(3)r
y=3r

x=sqrt(2)r
y=sqrt(2)r

a=2x=U/3

Höhen im Dreieck top
...... Neben der Höhe h=hc gibt es im gleichschenkligen Dreieck zwei weitere Höhen, nämlich ha=AD und hb=BE. Die beiden Höhen sind gleich lang, da sie spiegelbildlich zueinander liegen. Die Höhen schneiden sich in Punkt H. 

...... Zur Bestimmung der Lage des Schnittpunktes H führt man ein kartesisches Koordinatensystem ein.
Die Gerade AD hat die Gleichung y=(c/2h)x+c²/4h. Dann liegt der Punkt H bei H(c²/4h|0).
Für den Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks gelten die Formeln A=(1/2)ch oder A=(1/2)aha. 
Daraus folgt (1/2)ch = (1/2)aha und dann für die Länge der Höhe ha=ch/a.

Vierecke erzeugen  top
Durch Spiegelung an einer Seite oder durch Spiegelung am Mittelpunkt einer Seite kann man gängige Vierecke erzeugen.

Raute

Drachenviereck

Parallelogramm

Gleichschenkliges Trapez

Aufteilung in gleichschenklige Dreiecke      top
...... Das Problem besteht darin herauszufinden, wie man ein gleichschenkliges Dreieck in wiederum gleichschenklige Dreiecke aufteilt.

Die Aufteilung in 2,3,4,5,Dreicke gelingt nur bei bestimmten Winkeln an der Spitze, deren Größe unter den Zeichnungen stehen. 

Die Dreiecke können als Grunddreiecke regelmäßiger Vielecke aufgefasst werden. Dann handelt es sich um Fünfecke, Siebenecke, Neunecke und so weiter. 

Man erhält die Winkel über eine Winkelbetrachtung, wie am Beispiel des 80-80-20-Dreiecks, dem Grunddreieck des Neunecks, gezeigt wird.
1 Der Basiswinkel sei alpha. Daraus ergibt sich der Reihe nach:
... 2 alpha
3 180°-2alpha
4 alpha -(180°-2alpha)=3alpha-180°
5 3alpha-180°
6 180°-2(3alpha-180°)=540°-6alpha
7 180°-alpha-(540°-6alpha)=5alpha-360°		 8 5alpha-360°
9 180°-2(5alpha-360°)=900-10alpha
10 180°-(3alpha-180°)-(900-10alpha)=7alpha-540°
11 7alpha-540°
12 180°-(5alpha-360°)=540-5alpha
12 180°-2(7alpha-540°)=1260-14alpha
Der Winkel zu 12 ergibt sich auf zwei unterschiedlichen Wegen. Diese Terme müssen gleich sein.
540-5alpha = 1260-14alpha
<=>   720°=9alpha
<=>   alpha=80°
Dann ist der Winkel an der Spitze 20°=180°/9, wzbw.

Gleichschenklige Dreiecke auf meiner Homepage     top
Schwerpunkt
...... Wie in jedem Dreieck ist der Schwerpunkt der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. 
Die Seitenhalbierenden teilen sich im Verhältnis 1:2. 

Damit liegt der Schwerpunkt S auf der Höhe h im Abstand (1/3)h von der Basis. 

Konstruierbare gleichschenklige Dreiecke 
...... Es gibt das Problem, regelmäßige Vielecke allein mit Zirkel und Lineal zu konstruieren. 
Das läuft auf die Konstruktion der Grunddreiecke hinaus, die gleichschenklig sind. 

Mehr findet man auf meiner Seite Regelmäßige Vielecke. 
Goldenes Dreieck
...... Auf meiner Seite Goldener Schnitt findet man einige Bemerkungen zum Goldenen Dreieck.
Gerade Kegel
...... Legt man durch die Achse eines geraden Kegels eine Schnittebene, so entstehen als Schnittlinien gleichschenklige Dreiecke.
Zahlenanordnungen
001
003  006
010  015  021
028  036  045  055 
066  078  091 105  120
136  153  171  190  210   231
...
................................................
 ..... Oft ist es sinnvoll, Zahlen so anzuordnen, dass sie gleichschenklige Dreiecke bilden.

Beispiele dazu findet man auf meinen Webseiten Dreieckszahlen und Fakultäten. 

Gleichschenkliges Dreieck im Internet        top

Deutsch

Wikipedia
Gleichschenkliges Dreieck, Satz von Steiner Lehmus

Englisch

Antonio Gutierrez (GoGeometry)
Isosceles Triangle Problems: Problem 325,  Problem 358

A. Bogomolny (Cut-The-Knot)
Tangent Circles and an Isosceles Triangle (1803 Sangaku problem), The 80-80-20 Triangle, 
Three Isosceles Triangles: What Is It About? (A Mathematical Droodle), 
Consecutive Isosceles Decomposition

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Isosceles Triangle, Isosceles Right Triangle,  Isosceles Tetrahedron

Wikipedia
Triangle#Types of triangles,  Steiner-Lehmus theorem

Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite

URL meiner Homepage:
https://www.mathematische-basteleien.de/

©  2010 Jürgen Köller

top