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Trio und andere Rechenspiele
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Was ist Trio?
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Trio*) ist ein Rechenspiel von Heinz Wittenberg
für einen oder mehrere Spieler bei einem Mindestalter von etwa 10
Jahren.
49 kleine Karten mit den Nummern 1 bis 9 werden zu einem
quadratischen 7x7-Feld ausgelegt.
Gibt man zum Beispiel eine Zahl vor wie 11, so besteht
die Aufgabe darin, im Quadrat möglichst schnell eine Zerlegung der
Art 11 = 3*2+5 zu finden. |
*) Copyright 1974 by Otto Maier Ravensburg
Erklärung
des Spiels top
Beschreibung
Das Spiel enthält in einer Schachtel 99 bunte Zahlenkarten,
49 quadratische und 50 runde.
Die Farben haben offenbar keine Bedeutung, sie sind Zierde.
| Die 49 quadratischen Karten tragen die Zahlen 1 bis 9
in der folgenden Verteilung: |
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Die Karten werden zu Beginn des Spiels ungeordnet zu
einem 7x7-Quadrat ausgelegt.
Dieses ist die Verteilung, die der Hersteller in seiner
Anleitung vorgibt. |
Die 50 runden Karten tragen fortlaufend die Zahlen 1 bis
50. Sie werden zu Beginn verdeckt in den Schachteldeckel gelegt.
Spielverlauf
Ein Spieler deckt zu Beginn des Spiels eine beliebige
runde Karte auf, zum Beispiel 32.
... ...
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Jeder Spieler versucht, möglichst schnell eine Zerlegung
von 32 zu finden.
Eine Zerlegung besteht aus drei Zahlen im Feld, die die
Form a*b+c oder a*b-c hat. Die drei Zahlen können nebeneinander, untereinander
oder diagonal liegen. Sie können vorwärts oder rückwärts
gelesen werden. Nebenan wird von jeder Sorte eine Zerlegung farbig gekennzeichnet.
Der Spieler, der als erster eine Zerlegung der Zahl 32
findet, nennt sie und erhält das runde Kärtchen 32. |
Sind alle runden Karten aufgebraucht, ist das Spiel beendet.
Der Spieler mit den meisten Karten hat gewonnen.
Anmerkung: In der Spielanleitung lässt man auch
ein Produkt aus erster und dritter Zahl zu. Diese Regel habe ich auf dieser
Seite nicht berücksichtigt.
Analyse des Beispiels
Der Spielverlauf hängt von der Anordnung der quadratischen
Karten ab, die bei jedem Spiel verschieden ist.
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......
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Wie erwähnt wähle ich als Beispiel die Anfangskonfiguration,
die in der Spielanleitung angegeben ist. |
Mit Hilfe eines Computers habe ich diese Anordnung untersucht..
Für die Zahl 32 z.B. gibt es 11 Zerlegungen.
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horizontal: 32 = 5*8-8
= 9*4-4
vertikal: 32 = 9*3+5
= 5*7-3 = 5*7-3 = 5*7-3 = 6*4+8
diagonal: 32 = 6*5+2
= 7*5-3 = 4*7+4 = 4*7+4 = 5*7-3 |
Trio als Lernspiel
Trio ist ein Spiel, das in den Grundschulen verbreitet
ist.
Trio-Spielen ist ein guter Weg, das kleine Einmaleins zu trainieren. Es
macht darüber hinaus Spaß.
Trio kann auch zu einem interessanten Klassenspiel werden.
Man schreibt ein 7x7-Feld aus einstelligen Zahlen an
die Tafel und teilt die Klasse in zwei Gruppen ein, z.B. in Jungen und
Mädchen. Eine Zahl um die 25 wird an die Tafel geschrieben. Dann beginnt
das Suchen. Wird eine Lösung gefunden, so dürfen die drei Zahlen
mit Kreide eingekreist werden und die betreffende Gruppe erhält einen
Punkt. Wird keine Zerlegung mehr gefunden, folgt die nächste Zahl.
Das Klassenspiel wird zu einem kostenlosen Familienspiel,
wenn man die Tafel durch einen Zettel ersetzt.
Was versteht man unter Gedachte
Zahl erraten?
Es geht darum, dass sich jemand eine Zahl ausdenkt und
auf Anweisungen mit ihr rechnet und zu einem Ergebnis kommt. Der Aufgabensteller
kann dann meist zur Überraschung aller aus dem Ergebnis auf die Anfangszahl
schließen.
Beispiel:
Denke Dir eine Zahl (zum Beispiel 7); verdoppele sie;
zähle 4 hinzu; halbiere die Summe; addiere 7; multipliziere
das Ergebnis mit 8; ziehe 12 ab; dividiere durch 4; ziehe 11 davon ab und
gib das Ergebnis an.
Das Ergebnis ist 18. Daraus ergibt sich die gedachte
Zahl 7.
Man könnte, um von 18 zu 7 zu gelangen, die Rechenschritte
umkehren. Zu Aufgaben dieser Art gehört immer ein Trick, der die Bestimmung
erleichtert. Wie der Aufgabensteller auf die gesuchte Zahl kommt, wird
unter 01 Grundaufgabe erklärt.
Auf dieser Seite findet man
weitere Aufgaben dieser Art, die durch ein Stichwort gekennzeichnet sind,
und ihren Hintergrund.
01 Grundaufgabe top
Das ist noch einmal die Aufgabe.
Denke Dir eine Zahl. Verdoppele sie; zähle 4 hinzu;
halbiere die Summe; addiere 7; multipliziere das Ergebnis mit 8; ziehe
12 ab; dividiere durch 4; ziehe 11 davon ab und gib das Ergebnis an.
Wie oben beschrieben, ist das Ergebnis 18.
Begründung
x sei die gedachte Zahl.
Dann gilt
{[(2x+4)/2+7]*8-12}/4-11 = {[(x+2)+7]*8-12}/4-11 = [(x+9)*8-12]/4-11
= (8x+60)/4-11 = 2x+15-11= 2x+4.
Wenn 2x+4=18 ist, dann ist 2x=14 oder x=7.
Die Rechnung wird durch den Term {[(2x+4)/2+7]*8-12}:4-11
beschrieben. Er ist durch die geschachtelten Klammern unübersichtlich.
Deshalb könnte man die praktische Notation x |*2 |+4
|:2 |+7 |*8 |-12 |:4 |-11 verwenden. Auf
keinen Fall darf man x*2+4:2+7*8-12:4-11 schreiben. Das würde
zu 2x+44 führen.
02
Binomische Formel
top
Denke Dir eine Zahl. Addiere 1; quadriere die Summe;
subtrahiere vom Ergebnis das Quadrat der gedachten Zahl; subtrahiere noch
1 und gib das Ergebnis an.
Zahlenbeispiel: Ist 7 die gedachte Zahl, so ist das Ergebnis
14.
Begründung
x sei die gedachte Zahl.
Dann gilt (x+1)²-x²-1 = (x²+2x+1)-x²-1
= 2x.
03
Mit unbekannter Zahl top
Denke Dir eine Zahl. Verdoppele sie und addiere irgendeine
gerade Zahl; halbiere das Ergebnis; multipliziere das Ergebnis mit 4; subtrahiere
das Doppelte von der vorher addierten geraden Zahl und gib das Ergebnis
an.
Zahlenbeispiel: Die gedachte Zahl sei 5. Das Ergebnis
ist 20.
Begründung
x sei die gedachte Zahl, 2n die gerade Zahl.
Dann gilt [(2x+2n)/2]*4-2*2n = (x+n)*4-2n = 4x+4n-4n
= 4x
Es wird eine unbekannte Zahl n in die Rechnung eingebaut,
die im Laufe der Rechnung wieder herausfällt.
04
Aufeinander folgende Zahlen top
Denke Dir eine Zahl. Bilde die Summe dieser und der beiden
darauf folgenden Zahlen; dividiere durch 3 und gib das Ergebnis an.
Zahlenbeispiel: Ist 7 die gedachte Zahl, so ist das Ergebnis
8.
Begründung
x sei die gedachte Zahl.
Dann gilt [x+(x+1)+(x+2)]/3 = (3x+3)/3 = x+1.
05 Zwei Zahlen
streichen top
Denke Dir eine Zahl. Verdoppele sie; addiere 5; multipliziere
die Summe mit 5; addiere zum Produkt 3; multipliziere die Summe mit 10;
addiere 3; subtrahiere 150 und gib das Ergebnis an.
Zahlenbeispiel: Ist 7 die gedachte Zahl, so ist das Ergebnis
833. Streicht man die beiden Dreien weg und subtrahiert von 8 Eins, so
ergibt sich die gesuchte Zahl 7.
Begründung
x sei die gedachte Zahl.
Dann gilt [(2x+5)*5+3]*10+3-150 = (10x+25+3)*10-147 =
(100x-280)-147 = 100x+100+33 = 100(x+1)+33.
06
Zehnfaches top
Denke Dir eine Zahl. Multipliziere sie mit 50; addiere
72; ziehe vom Ergebnis 111 ab; addiere 39; dividiere die Summe durch 5
und gib das Ergebnis an.
Zahlenbeispiel: Ist 7 die gedachte Zahl, so ist das Ergebnis
70.
Begründung
x sei die gedachte Zahl.
Dann gilt {[(x*50+72)-111]+39}/5 = [(50x-39)+39]/5 =
50x/5 = 10x.
07
Gedachte Zahl wird Ergebnis top
Denke Dir eine vierstellige Zahl. Lass die letzte Ziffer
weg; dann die vorletzte; schließlich die drittletzte; addiere die
so entstandenen Zahlen; multipliziere die Summe mit 9; addiere die Quersumme
der gedachten Zahl und gib das Ergebnis an.
Zahlenbeispiel: Ist 1234 die gedachte Zahl, so ist das
Ergebnis auch 1234.
Begründung
1000a+100b+10c+d sei die gedachte Zahl.
Dann gilt [(100a+10b+c)+(10a+b)+a]*9+(a+b+c+d) = (999a+99b+9c)+(a+b+c+d)
= 1000a+100b+10c+d
08
Immer das gleiche Ergebnis top
Denke Dir eine Zahl. Verdoppele sie; addiere 8; halbiere
die Summe; subtrahiere vom Ergebnis die gedachte Zahl und gib das Ergebnis
an.
Zahlenbeispiel: Ist 7 die gedachte Zahl, so ist das Ergebnis
4.
Begründung
x sei die gedachte Zahl.
Dann gilt [(2x+8):2]-x = (x+4)-x = 4.
Für jede gedachte Zahl ist das Ergebnis 4.
09 Zwei Zahlen
vorhersagen top
Denke Dir zwei zweistellige Zahlen. Verdoppele die erste
Zahl; addiere 5; multipliziere mit 50; addiere die zweite Zahl; addiere
365; subtrahiere 615 und gib das Ergebnis an.
Zahlenbeispiel: Sind 23 und 45 die gedachten Zahlen, so
ist das Ergebnis 2345.
Begründung
x und y seien die gedachten Zahlen.
Dann gilt (2x+5)*50+y+365-615=100++250+y-250=100x+y.
Kommentar
zu Gedachte Zahl erraten top
Diese Seite geht hervor aus Kapiteln der mir zugänglichen
Bücher (1), (2) und (3) der Unterhaltungsmathematik.
Ich habe Aufgaben dieser Art gelegentlich
als aktiver Lehrer in der Unterstufe in Klasse 5 und 6 eingesetzt, um das
Kopfrechnen zu beleben. In diesem Alter sind die Schüler beeindruckt,
weil algebraische Kenntnisse und somit ein tieferer Einblick fehlen. Trotzdem
kann sich schon ein Aha-Erlebnis einstellen, wenn man des Spaßes
halber eine Aufgabe wie diese stellt. Denke Dir eine Zahl; addiere 5;
nenne das Ergebnis.
Es empfiehlt sich, die Schüler
aufstehen zu lassen, damit sie nicht schreiben können, und nur von
einstelligen Zahlen auszugehen, damit die Rechnungen nicht zu aufwändig
werden.
Als Gedächtnisstütze
hielt ich eine Notation wie x |*2 |+4 |:2
|+7 |*8 |-12 |:4 |-11 bereit.
Referenzen
top
(1) Hermann Schubert: Mathematische Mußestunden,
Berlin 1941
(2) Walter Sperling: Auf du und du mit Zahlen, Rüschlikon-Zürich
1955
(3) Walter Lietzmann: Lustiges und Merkwürdiges
von Zahlen und Formen, Göttingen 1969
Weitere Zahlenspiele auf meiner Homepage: Sudoku,
Kaprekarzahl,
Symbolrätsel
Rechenspiele
im Internet top
Deutsch
Angela und Otto Janko.
Rätsel,
Puzzles und anderer Denksport
Ernst Schreier
Projekt
Zahlenraten |
"Der Computer kann ja denken." - Eins der ersten Computerspiele
(mein Kommentar) |
Eva Börgens
Make 24
(Online-Spiel von Manfred Börgens) |
Gegeben: 9 3 2 9 + - x / ( )
Gesucht 24=...
Eine Lösung: 24=9-3+2x9 |
Luding - die Spieldatenbank
Trio
Verlag ZKM
Trio
(Hier wird das Spiel angeboten.)
Wikipedia
Kuhhandel
(Spiel)
Wikipedia
Trio
(Spiel),
Make 24
Englisch
MathsIsFun
Mixed
Times Tables
Toby Gottfried
Solutions
to the 24 Game
Wikipedia
24 Game
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Homepage:
https://www.mathematische-basteleien.de/
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2009 Jürgen Köller
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