Schattenbilder

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Was ist ein Schattenbild?
Schatten bei ausgedehnter Lichtquelle
Schatten im parallelen Licht
Schlagschatten eines Würfels
Schattenköpfe

Fingerspiele
Basteln einer einfachen Sonnenuhr
Ein Röntgenbild
Schattenbilder im Internet
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Was ist ein Schattenbild?
Das ist wohl der einfachste Fall.

...... Gegeben sind eine punktförmige Lichtquelle, eine undurchsichtige Kreisscheibe und parallel zur Kreisscheibe ein Schirm.
Fällt Licht auf die Kreisscheibe, so begrenzen Randstrahlen einen Schatten hinter ihr. Das Schattenbild ist ein Kreis, und er ist größer als der der Kreisscheibe. Auf der Rückseite der Kreisscheibe liegt der Körperschatten. Zwischen Kreisscheibe und Schirm liegt der Schattenraum.
In der Fachsprache heißt das Schattenbild Schlagschatten.

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Man kann die Zeichnung auch so sehen.
Die Randstrahlen bilden einen Kegel mit der Lichtquelle als Spitze. Die Kreisscheibe schneidet den Kegel. Das Schattenbild liegt in einer parallelen Schnittebene und ist deshalb auch ein Kreis.

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Liegt der Schirm nicht mehr parallel zur Kreisscheibe, so ist das Schattenbild als Kegelschnitt eine Ellipse.

Man kann die Zeichnung auch als Bild einer zentrischen Streckung sehen. Einem Gegenstand G wird das Bild B zugeordnet.

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Rückt der Gegenstand auf den Schirm zu, so wird das Schattenbild kleiner.
Das beschreibt auch die folgende Rechnung.
Dazu führt man durch die Zeichnung die Größen G, g, B und b ein.
Nach dem 2. Strahlensatz gilt (B/2):(G/2) = b:g oder B = (Gb)/g.
Sind G und b konstant, so ist B antiproportional zu g.

Ergebnis: Einem Gegenstand wird das Bild B=(b/g)G zugeordnet.

Auf dieser Webseite habe ich Erwähnenswertes und Unterhaltsames zum Schattenbild zusammengetragen.

Schatten bei ausgedehnter Lichtquelle top
In der Realität gibt es keine punktförmige Lichtquelle. Immerhin kann man sich ihr annähern.

...... Ist die Lichtquelle ausgedehnt, so entstehen auf der Projektionsfläche Kreisflächen.
Sie werden gebildet von inneren und äußeren Randstrahlen. Auf dem Schirm begrenzen die äußeren Randstrahlen einen dunklen Schatten. Außerhalb der inneren Randstrahlen ist auf dem Schirm kein Schatten. Dazwischen liegt ein Kreisring, der teilweise von Licht getroffen wird.
Für das Schirmbild bedeutet das, dass der Schattenrand unscharf ist.

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Man kann bei einer ausgedehnten Lichtquelle die Unschärfe verringern, wenn man die Kreisscheibe zum Schirm bewegt.
Das bedeutet, dass die Lichtquelle als angenähert punktförmig angesehen werden kann, wenn der Abstand Gegenstand/Schirm klein gegenüber der Entfernung zur Lichtquelle ist.

Zur Illustration zeige ich zwei Aufnahmen meiner Terrasse bei Sonnenlicht. Die Sonne ist eine ausgedehnte Lichtquelle. Deshalb ist der Schatten von Zweigen eines Busches unscharf. Die Blumen rechts mit ihren Zweigen erzeugen auf dem nahen Boden schärfere Schatten.

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Stellt man einen Bierdeckel ins Sonnenlicht, entsteht auf dem Boden ein ellipsenförmiger Schatten.

Hielte man den Bierdeckel so ins Sonnenlicht, dass die Sonnenstrahlen senkrecht auf ihn und den Schirm fallen, so wäre der Schatten ein Kreis.

Schatten im parallelen Licht top

...... Fallen Parallelstrahlen auf die Kreisscheibe, so ist das Schattenbild ein kongruenter Kreis.
Paralleles Licht kann man erzeugen, indem man in den Brennpunkt einer konvexen Linse eine punktförmige Lichtquelle stellt.
Man kann auch das Sonnenlicht als Quelle von Parallelstrahlen ansehen, da die Sonne weit entfernt ist.

Körper im parallelem Licht
Ein Zylinder und ein Kegel erzeugen im Parallellicht in den drei Hauptrichtungen einfache Schattenfiguren.

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...	Die Frage ist, wie der Körper aussieht, der die nebenstehenden Schattenbilder hat. Die Lösung findet man auf meiner Webseite Zylinder.

Auf der Webseite von John V. Muntean (URL unten) wird z.B. ein unförmiger Körper gezeigt, dessen Schattenbilder aber ein Elefant, ein Löwe und eine Giraffe sind.

Schlagschatten eines Würfels top
Bisher wurde nur der Schatten einer Kreisscheibe betrachtet.
Welche Aussagen lassen sich zum Schatten eines Körpers machen? Dazu bietet sich als einfacher Körper der Würfel an.

Ein Würfel im Sonnenlicht

1 Ein Würfel liegt auf einer ebenen Fläche und ist dem Sonnenlicht ausgesetzt. Der Sonnenstand ist etwa 40°. Es entsteht ein Schattenbild auf der Auflagefläche.

2 Das Foto wird mit Hilfe des Programms IrfanView aufgehellt (Bild/Farben ändern), in Paint kopiert, und die Konturen werden mit Schwarz nachgezogen. Es wird gespeichert mit Schwarz/Weiß (monochrom). Drei wichtige Strahlen werden in Rot hinzugefügt, nämlich die Strahlen von einer Ecke des Würfels bis zur Projektionsfläche.

3 Beim Fotografieren wird der Würfel verfälscht. Deshalb setzt man einen Würfel noch einmal aus drei Parallelogrammen zusammen. Die drei Hauptstrahlen sind dann parallel und gleich lang.

4 Das ist der Würfel mit seinem Schatten, der sich theoretisch ergibt.

Würfel im Licht einer punktförmigen Lampe

1 Gegeben sind ein Würfel, eine Projektionsfläche und eine Lichtquelle P. Die Standfläche des Würfels liegt in der Projektionsfläche. Der Punkt P' ist die Projektion des Punktes P. Dann wirft die Kante a den Schatten a'.

2 Entsprechend werden die Schatten der beiden anderen vertikalen Kanten eingezeichnet.

3 Der Schatten wird markiert.

Schattenrisse eines rotierenden Würfels

Das Deutsche Museum in München beherbergt seit einigen Jahren "das Mathematische Kabinett". Ein schönes Ausstellungsstück ist ein sich drehendes Kantenmodell des Würfels, das parallel durchstrahlt wird und das auf einer Leinwand der Reihe nach die nebenstehenden einfachen Figuren (Quadrat auf der Spitze, Hexagon mit Diagonalen und Rechteck mit einer Mittellinie) erzeugt.
Man glaubt nicht, dass diese Figuren vom Würfel stammen und muss schon zweimal hinsehen. Das Kantenmodell ist so ausgerichtet, dass zwei gegenüberliegende Kanten übereinander liegen. Durch sie verläuft die innen unterbrochene Drehachse (hier rot).

Schattenköpfe top

...... Eine beliebte Kinderbeschäftigung ist das Herstellen von Schattenköpfen. Man setzt ein Kind z.B. vor die starke Lampe eines Projektors. Der Schatten wird auf einem weißen A3-Blatt aufgefangen. Man zieht den Schatten mit einem Stift nach und schneidet den Schattenkopf aus.
So ist vor Jahren das Bild links zustande gekommen.

Alle Anwesenden mussten damals antreten.

Das ist eine schöne Erinnerung an das Jahr 1974.

Fingerspiele top
Das kennt wohl jeder. Hält man eine Hand oder zwei Hände in das Licht einer möglichst punktförmigen Lichtquelle, so kann man auf einem Schirm Schattenbilder hervorzaubern. Die 12jährige Hannah kann die folgenden Tiere.

Basteln einer einfachen Sonnenuhr top
Ich schlage den Bau einer einfachen Sonnenuhr vor, wie ich sie vor Jahren bastelte.

...... Man dreht einen Pappteller um und bohrt mit einem Schaschlikspieß in die Mitte ein kleines Loch. Dann schneidet man von einem dünnen Stab ein etwa 6 cm langes Stück ab und zwängt es in das kleine Loch. Man sollte das Stück von unten noch mit Knete oder einem Stück Holz mit Bohrung fixieren. Es muss fest mit dem Teller verbunden sein. Man legt den Pappteller in die Sonne wie links auf einen Tisch. Ein Wecker erinnert daran, zu jeder vollen Stunde einen Kreis als Schattenbild der Stabspitze einzuzeichnen. So ist es möglich, ein Ziffernblatt zu erstellen.
Man kann den Teller auch so schräg stellen, dass um 12 Uhr kein Schatten da ist. Dann sind die Winkel gleich, die zu jeder vollen Stunde gehören.

Ein Röntgenbild top

...... Das passt noch zum Thema.
Wird mein Knie mit Röntgenlicht durchstrahlt, so erkennt man eine Schlittenprothese aus Metall als zwei weiße Schattenbilder. Dazwischen liegt der Meniskusersatz. Die Kniescheibe hält das Röntgenlicht nur teilweise zurück und erscheint als graues Schattenbild.