|
Was ist ein regelmäßiges
Neuneck?
|
Das regelmäßige Neuneck ist ein Vieleck mit
neun gleich langen Seiten und
neun gleich großen Innenwinkeln. |
Das Neuneck heißt auch Nonagon oder seltener
Enneagon.
Im Englischen sind die Namen Nonagon oder Enneagon
gebräuchlich.
Auf dieser Seite heißt
das regelmäßige Neuneck meist einfach Neuneck.
Größen
des Neunecks
top
Winkel im Neuneck
Formeln
Seite und Diagonalen
|
Radius des Umkreises, Radius des Inkreises, Höhe
|
Ist die Seite a gegeben, so lassen sich daraus
der Radius r des Inkreises, der Radius
R des Umkreises, die
Diagonalen
d1, d2
und d3
und die Höhe h, der Flächeninhalt
A und der
Umfang U errechnen. Wie beim regelmäßigen Siebeneck gibt
es hier kaum Wurzelterme. Man muss bis auf die Ausnahme sin60° die
Zahlenterme trigonometrischer Funktionen stehen lassen.
Herleitung
der Formeln
Radius des Um- und Inkreises
|
Es gilt sin20°=(a/2)/R oder R=a/(2sin20°)
Es gilt cot20°=r/(a/2) oder r=(a/2)cot20°=(a/2)(cos20°/sin20°) |
Höhe
... ...
|
Nach dem Mittelpunktsatz ist der Umfangswinkel oben halb
so groß wie der Mittelpunktwinkel (rote Kennzeichnung).
Es gilt im gelben Dreieck cot10°=h/(a/2) oder h=(a/2)cot10°=(a/2)(cos10°/sin10°) |
Erste und zweite Diagonale
... ...
|
Es gilt sin40°=(d1/2)/R oder d1=2Rsin40°=(sin40°)/(sin20°)a
Es gilt sin60°=(d2/2)/R oder d2=2Rsin60°=(sin60°)/(sin20°)a
R wird durch R=a/(2sin20°) ersetzt. |
Dritte
Diagonale
... ...
|
Es gilt sin80°=(d3/2)/R oder d3=2Rsin80°=(sin80°)/(sin20°)a
R wird durch R=a/(2sin20°) ersetzt. |
Flächeninhalt und Umfang
A=9*[(1/2)ar] = 9*[(1/2)a(a/2)cot20°]=(9/4)a²(cos20°/sin20°)
U=9a
Diagonalen top
Alle Diagonalen
|
Das Neuneck hat 27 Diagonalen. |
... ... |
Neun Diagonalen verbinden jeden zweiten, neun jeden dritten
und neun jeden vierten Eckpunkt. Die Diagonalen bilden drei voneinander
unabhängige Sterne, die Nonagramme. |
Zwei Sterne können in einem Zug gezeichnet werden. Der
mittlere Stern besteht aus drei gleichseitigen Dreiecken. Er entsteht aus
einem Dreieck, wenn man es um 40° und 80° weiterdreht.
Die Winkel an den Spitzen der Sterne sind 100°, 60°
und 20°.
Eine
weitere Figur aus Diagonalen
endlos
|
Vierecke und Dreiecke
|
Enneagramm
... ... |
Die nebenstehende Figur besteht aus Diagonalen des Neunecks.
Da staunte ich: Sie ist wohl die am häufigsten vertretene
Figur im Internet im Zusammenhang mit dem regelmäßigen Neuneck. |
Näheres findet man bei Google mit dem Stichwort Enneagramm
bzw. Enneagram zum Beispiel bei Wikipedia (URL unten). Dabei verlässt
man die Mathematik.
Auf meiner Seite Geobrett
findet man eine Übersicht über alle konvexen Figuren, die die
Diagonalen bilden können.
Beziehungen
zwischen den Diagonalen top
Im Neuneck liegen verschiedene gleichschenklige Trapeze.
Nach dem Satz des Ptolemäus gibt es Beziehungen zwischen
der Seite und den Diagonalen:
(1) d3²=ad1+d2²
(2) d2²=ad3+d1²
(3) d1²=ad2+a² (4) d3²=d2d3+a²
(5) d2²=ad3+d1²
(6) d3²=d1d2+d1²
Der Satz des Ptolemäus wird auf der Seite Sehnenviereck
erklärt und bewiesen.
... ... |
Nach dem Satz des Ptolemäus kann man eine einfache
Beziehung zwischen zwei Diagonalen und der Seite herleiten:
d2d3=ad2+d1d2
oder d3=a+d1
|
Dieser Satz ergibt sich auch
anschaulicher.
... ... |
Wegen der Symmetrie des Neunecks sind die roten Diagonalen
parallel. Sie bilden ein gelbes Parallelogramm mit den Seiten d1
und a. Da im grünen Dreieck die Winkel 60° groß sind, ist
es gleichseitig und die Seite a tritt auch noch neben d1 auf.
Es ist also d1+a=d3. |
Zeichnen eines
Neunecks top
Nicht konstruierbar
... ... |
Bekanntlich ist die Dreiteilung eines Winkels allgemein
nicht mit Zirkel und Lineal möglich.
Das gilt auch für den Winkel von 60°.
Der dritte Teil eines Winkels von 60°, das sind 20°,
ist auch nicht konstruierbar.
Dann sind auch ein Winkel von 40° und damit das Neuneck
nicht konstruierbar. |
Zeichnung
... ... |
(1) Zeichne einen Winkel von 40°.
(2) Zeichne einen beliebigen Kreis um den Scheitelpunkt.
(3) Zeichne die Sehne.
(4) Trage sie auf dem Kreisbogen ab.
Zeichne alle Sehnen. |
Es ist das Neuneck entstanden.
Näherungskonstruktion
Eine Näherungskonstruktion findet man auf dem gleichen
Wege wie beim Siebeneck.
... ... |
>Man zeichnet einen Winkel von 40° auf kariertes
Papier.
>Man stellt fest, dass der freie Schenkel eine Kästchenecke
bei [7 nach rechts, 6 nach oben] schneidet. Das macht man sich zunutze,
um den Winkel von 40° näherungsweise zu konstruieren.
>Die weitere Konstruktion wird oben beschrieben. |
Die Gleichung tan(alpha)=6/7 führt zu einen Winkel von
40,60°. Dieser Winkel ist nur um 1,50% größer als 40°.
"Neusis-Konstruktion"
Es gibt keine Konstruktion der
Dreiteilung des Winkels von 60°. Lässt man einen Papierstreifen
zu mit der Möglichkeit eine Strecke zu markieren, so ergibt sich eine
exakte Zeichnung, die auf meiner Seite Dreiteilung
erklärt wird.
1 Zeichne den gegebenen Winkel 3*alpha=60° und einen
Kreis um den Scheitelpunkt mit einem beliebigen Radius r.
2 Markiere auf einem Papierstreifen eine Strecke der
Länge r und passe r zwischen Horizontaler und Kreis außen so
ein, dass die Kante des Streifens auch durch B verläuft.
3 Der Winkel MDB ist der gesuchte Winkel alpha/3=20°.
Verdoppele den Winkel noch, um zu 40° zu kommen.
Regelmäßiges
Neuneck im Internet top
Deutsch
Wikipedia
Neuneck,
Enneagramm,
Palmanova
Youtube
Ninja
Stern Origami aus Papier basteln
Englisch
Eric W. Weisstein
Nonagon,
Nonagram,
Trigonometry
Angles--Pi/9, Star
of Goliath
John Page
Nonagon
Wikipedia
Nonagon,
Enneagon,
Enneagram,
Nonagonal
number
Feedback: Emailadresse
auf meiner Hauptseite
URL meiner
Homepage:
https://www.mathematische-basteleien.de/
©
2005 Jürgen Köller
top |
