Was ist eine Lissajous-Figur?

...... x=sin(t) /\ y=sin(2t)

Eine Lissajous-Figur ist der Graph, der durch die Parametergleichungen x=a1sin(b1t+c1) y=a2sin(b2t+c2)  beschrieben wird. In Anlehnung an die harmonische Schwingung heißen die Größen ai Amplituden, bi Kreisfrequenzen und ci Phasen (i=1, 2).

Grundfiguren  top
Typische Lissajous-Figuren erhält man über die vereinfachten Gleichungen x=sin(b₁t) /\ y=sin(b₂t). 
Die Variablen b₁ und b₂ stehen für natürliche Zahlen.
Beispiele

x=sin(t) y=sin(2t)

x=sin(t) y=sin(3t)

x=sin(t) y=sin(8t)

x=sin(2t) y=sin(3t)

x=sin(7t) y=sin(9t)

Beschreibung der Grundfiguren     top
Abgeschlossenheit
Es entstehen geschlossenen Kurven, da die beteiligten Sinusfunktionen im Bereich {t | 0<= t<=2pi} periodisch sind.

......

Alle Figuren  haben die Darstellung x=sin(b1x) /\ y=sin(b2x). Die Figuren sind achsensymmetrisch bezüglich der Achsen des Koordinatensystems, denn es gilt sin(b1x)=sin[b1(-x)] und sin(b2x)=sin[(b2(-x)].

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Die Figuren in einem Quadrat mit der Seitenlänge 2 Längeneinheiten, denn es gilt a1= a2= 1.

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Der nebenstehende Graph berührt das umschreibende Quadrat in der Vertikalen 3-mal und in der Horizontalen 4-mal. Daraus kann man folgern, dass die Parametergleichungen x=sin(3x) /\ y=sin(4x) sind. Stellt man nämlich den Graphen zu y=sin(4x) im Intervall von 0 bis 2pi dar, so erkennt man in seinen Scheitelpunkten die vier Berührpunkte. Entsprechendes gilt für den Graphen zu y=sin(3x).

Erweiterungen  top
Phasenverschiebungen
Tritt zwischen den beiden Sinusfunktionen zu einer Grundfigur eine "Phasenverschiebung" c₁-c₂ auf, so geht eine Symmetrie verloren. Die Graphen verändern sich je nach Phasenlage, bewahren aber ihr Grundaussehen.
Das veranschaulichen die folgenden sechs Bilder.

x=sin(t) y=sin(2t)

x=sin(t) y=sin(2t+pi/5)

x=sin(t) y=sin(2t+n*pi/10)  (n=0, 1, 2, ..., 20)

Die Phasenverschiebungen sind pi/5 und in der Animation n*pi/10  (n=0, 1, 2, ..., 20)

x=sin(3t) y=sin(4t)

x=sin(3t) y=sin(4t+9pi/10)

x=sin(3t) y=sin(4t+n*pi/10)  (n=0, 1, 2, ..., 20)

......

Bisher galt für die Amplituden a1 = a2  = 1. Wählt man z.B. a1 = 3 und a2 = 2, so wird die Lissajous-Figur entsprechend gedehnt. Die Parameterdarstellung ist  x=3sin(3t) /\ y=2sin(4t).

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Bisher wurden nur natürliche Zahlen als Kreisfrequenzen zugelassen. So hat der nebenstehende Graph die Darstellung x=sin(7t) /\ y=sin(9t)..............................................

...... x=sin(7/9t) y=sin(t)

In der Literatur kann man nachlesen, dass die Art der Lissajous-Figur entscheidend durch das Verhältnis der Kreisfrequenzen b1:b2 bestimmt wird. Unter diesem Gesichtspunkt sollte man annehmen, dass die Gleichungen x=sin(7/9t) /\ y=sin(t) zum  gleichen Graphen führen. (Übrigens muss man hier für t die Werte von 0 bis18pi einsetzen, damit die vollständige Figur entsteht.)  Es sieht nicht so aus, als sei dieses der gleiche Graph. Die Berühr-Regel gilt nicht.

......

Und das ist die Auflösung. Man muss nur eine kleine Phasenverschiebung pi/5 einführen, um einzusehen, dass es sich um eine Grenzform der Grundfigur oben handelt.  Es gilt  x=sin(7/9t+pi/5) y=sin(t)......... 0<=t<=18pi

......

Um die Grundfigur zu erhalten, muss man eine Phasenverschiebung von pi/2 ansetzen. Die Gleichungen heißen dann x=sin(7/9t-pi/2) und y=sin(t) oder x=cos(7/9t) /\ y=sin(t). Es bleibt 0<=t<=18pi.

......

Auch für die Parametergleichungen x=sin(t) /\ y=sin(9/7t) mit 0<=t<=14pi ergibt sich der gleiche Ausartungsfall als Graph. Es gilt hier 0<=t<=14pi. Die Figur wird zur Grundfigur durch x=sin(t) /\ y=sin(9/7t-pi/2).

Nicht geschlossene Lissajous-Figuren     top
Wie oben erwähnt, sind die Figuren nicht mehr geschlossen, wenn mindestens eine Kreisfrequenz in den Parametergleichungen eine irrationale Zahl ist.
Das zeigt die folgende Bilderreihe für x=sin(t) /\ y=sin(1.41421t). Die Dezimalzahl steht für sqrt(2).

x=sin(t) y=sin(1.41421t) 0<=t<=2pi

x=sin(t) y=sin(1.41421t) 0<=t<=10pi

x=sin(t) y=sin(1.41421t) 0<=t<=100pi

x=sin(t) y=sin(1.41421t) 0<=t<=300pi

Es hat den Anschein, als fülle der Graph mit größer werdendem Definitionsbereich immer mehr das umschreibende Quadrat aus.

Ausartungen   top
Einige bekannte Graphen gehören zu den Lissajous-Figuren, z.B. die Strecke, die Kreislinie, die Ellipse und das Parabelstück.

x=sin(t) y=sin(t)

x=sin(t) y=sin(t-pi/2)

x=sin(t) y=sin(t-pi/3)

x=sin(t) y=sin(2t+3pi/2)

Verfremdung der Parametergleichungen       top
 

x=1.5sin(3t)sin(4t)  y=sin(4t)

x=1.5sin(3t)sin(4t)  y=sin(4t+pi/20)

x=1.5sin(3t)sin(4t)  y=sin(4t+pi/8)

x=1.5sin(3t)sin(4t)  y=sin(4t+pi/2)

Die Figuren stehen auf dem Kopf.

x=sin(2t)sin(3t)  y=sin(t)sin(5t)

x=sin(t)sin(3t)  y=sin(t)sin(5t-pi/4)

x=sin(6t)sin(4t)  y=sin(4t)sin(8t)

x=sin(3t)sin(4t)  y=sin(4t)sin(8t)

Epizykloiden
Über Epizykloiden, die auch durch Parametergleichungen mit Sinusfunktionen beschrieben werden, gibt es an einer anderen Stelle meiner Homepage eine Seite.

Lissajous-Figur im Internet top

Deutsch

Wikipedia
Lissajous-Figur, Harmonograph

Eric W. Weisstein   (MathWorld)
Lissajous Curve

Famous Curves Index
Lissajous Curves, Applet

Gerd Breitenbach
Vibrating Strings, musical Intervals and Lissajous Curves

Richard Parris (Freeware-Programme) 
winplot

Wikipedia
Lissajous curve, Harmonograph

Xahlee
Lissajous

Robert FERRÉOL, (Mathcurve)
COURBE DE LISSAJOUS,   COURBE DE LISSAJOUS 3D

Referenzen   top
(1) Heinz Nickel (u.a.):  Algebra und Geometrie für Ingenieur- und Fachschulen, Frankfurt/M Zürich 1966 
(2) W. Gellert (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik, Leipzig 1986