Kusudama-Stern

Inhalt dieser Seite

Was ist der Kusudama-Stern?
Falten des Kusudama-Moduls
Zusammenbau des Sterns

Meine Erfahrung mit Notizzetteln
Etwas Mathematik
Kusudama-Sterne im Internet.

Zur Hauptseite "Mathematische Basteleien"

Was ist der Kusudama-Stern?

...... Das ist die erste von 20 Zacken Im Internet fand ich unter dem Namen Kusudama-Stern eine Reihe von Sternen, die wie der Bascetta- und der Sonobe-Stern aus 30 Modulen zusammengesteckt und die auch bekrönte Ikosaeder sind.
Ich habe für diese Seite den "Origami Igel Kusudama" ausgewählt, dessen Bau in einem Youtube-Video (gehört zu "Katrin Origami-Seite") beschrieben wird. Die Erfinderin des Moduls und des Sterns ist Ekaterina Lukasheva.

Meine Wahl fiel auf den Stern, weil die Zacken spitzer und dadurch ansehnlicher sind als die Zacken des Bascetta-Sterns. - Es ist bemerkenswert, dass das Modul die Erzeugung eines Winkels von 30° allein durch Falten benutzt (Schritt 4 unten).

Zum Sonobe-Stern und zum Bascetta-Stern gibt es eigene Seiten.

...

.
Bascetta-Stern..

Sonobe-Stern

Falten des Kusudama-Moduls top
Material

...... Man benötigt für den Stern 30 Quadrate aus Papier.
Da böten sich die Notizzettel 9cm x 9cm an, die man z.B. in Schreibwarengeschäften kaufen kann.
Sie waren gut geeignet für den Bascetta- und den Sonobe-Stern. Aber für diesen Stern sind sie meiner Meinung nach ungeeignet. Man muss wohl wie im erwähnten Video dünnes Origami-Papier verwenden.
Das habe ich auch getan und es ging besser.

12 Schritte
1

...

....

Falte an der roten Linie und entfalte wieder.

...

.........

Falte an der roten Linie und entfalte wieder.

...

Falte an der roten Linie und entfalte wieder.

...

Falte an den roten Linien so, dass die Ecken des Quadrates die Mittellinie berühren.

...

Das müsste dann so aussehen wie in der rechten Figur.

....

Falte an den roten Linien. Die untere Linie und die obere müssten auf die Diagonale treffen.

...	Das müsste dann so aussehen.

...	Drehe das Modul um und falte an den roten Linien. Entfalte wieder.

...	Falte an den roten Linien.

....	Das müsste dann so aussehen. Entfalte.

...	Das müsste dann so aussehen.

...	Drehe das Modul um, lege die Spitzen aufeinander, falte und entfalte. Das Modul ist fertig.

Zusammenbau des Sterns top

... Verbinde zwei Module.
Stecke dazu die rote Lasche in die rote Tasche. Dann liegen die gelben Dreiecke aufeinander.

...

...

Das müsste dann so aussehen.
Die Lasche blieb in der Tasche nicht stecken; eine Büroklammer hilft.

...

.......

Umfasse die beiden verbundenen Module mit einem dritten Modul. Die erste Zacke ist fertig.

Dann fügt man Schritt für Schritt weitere Module hinzu und formt weitere Zacken. Dabei achtet man darauf, dass immer fünf Zacken einen Kranz bilden.

...

...

An dieser Stelle müsste eigentlich der fertige Kusudama-Stern mit 20 Zacken stehen.
Aus verschiedenenen Gründen habe ich mich mit einem "Trost-Stern", einem Stern aus 12 Modulen mit acht Zacken, begnügt.

Der Stern ist ein bekröntes Oktaeder, bei dem die Kränze immer aus vier Zacken bestehen.

Meine Erfahrung mit Notizzetteln top

...... ...... Faltet man die Module aus Notizzetteln, so ist das Ergebnis unbefriedigend.
- Wie man links sieht, ist die Spitze einer Zacke verfranzt. Es ist kaum möglich, fünf Faltlinien exakt an einer Ecke des Notizzettels zusammenlaufen zu lassen. Das Papier reißt auch oft ein.
- Dann sind die Taschen so offen und die Laschen so klein, dass ich Büroklammern benötigte, um die Module zusammen zu halten.

Etwas Mathematik top

...... Entfaltet man das Modul, so erkennt man die Seitenflächen zweier Zacken als gleichschenklige Dreiecke.
Der Winkel an der Spitze eines Dreiecks beträgt wegen des Faltvorgangs 30°.
Die Höhe eines Dreiecks ist die halbe Diagonale des Quadrats mit der Seitenlänge a.

Auf drei Fragen soll eingegangen werden.
1. Frage
Die Quadratfläche A_q des Moduls wird nur zu einem kleinen Teil genutzt. Wie viel Prozent sind das?

Antwort

...

Im halben gleichschenkligen Dreieck sind die Höhe h=(1 /2)sqrt(2)*a und der Winkel von 15° bekannt.
Dann gilt tan(15°) = t/h. Dann ist t = h/tan(15°).
Mit tan(15°) = 2-sqrt(3) ist t= [sqrt(2)-(1/2)sqrt(6)]a = 2*[2sqrt(2)-sqrt(6)]a .
Der Flächeninhalt der Seitenfläche einer Zacke ist A = (1/2)(2t)h = th = (1/2)[2-sqrt(3)]a².

Zwei gleichschenklige Dreiecke tragen zur Bildung des Stern bei. Sie haben den Flächeninhalt 2A.
Das Quadrat des Moduls hat die Fläche A_q= a². Dann gilt gerundet 2A/A_q=26,8%.
Ergebnis
Etwa 27% der Fläche des Ausgangsquadrats werden genutzt.

2. Frage
Wie groß ist die Höhe H einer Zacke?

Antwort

...

Vorweg
Es gilt s = h/cos(15°) =[2sqrt(2)/(sqrt(2)+sqrt(6))]a = [sqrt(3)-1]a.
Dabei ist cos(15) = (1/4)[sqrt(2)+sqrt(6)].
Die Höhe im gleichseitigen Dreieck mit der Seite 2t ist h' = (1/2)sqrt(3)(2t).

...

Nach dem Satz des Pythagoras gilt
H² = s²-[(2/3)h']² = [sqrt(3)-1]²a²-[(2/3)(1/2)sqrt(3)2t]a² = [sqrt(3)-1]²a²-[(2/3)sqrt(3)t]a²
=[sqrt(3)-1]²a²-[(2/3)sqrt(3)(sqrt(2)-(1/2)sqrt(6))]²a² = [sqrt(3)-1]²a²-[2/3sqrt(6)-sqrt(2)]²a²
= [4-2sqrt(3)]²a²-[14/3-8/3sqrt(3)]a² = [-2/3+2/3sqrt(3)]a².
Dann ist H = (1/3)sqrt[6sqrt(3)-6]a.

Ergebnis
Die Höhe einer Zacke beträgt H = (1/3)sqrt[6sqrt(3)-6]a oder gerundet H = 0,699a.
Ist die Seitenlänge des Ausgangsquadrates a = 9 cm, so ist die Höhe H = 6,3 cm groß.

3. Frage
Wie groß ist der Stern?
Damit ist die Entfernung e der Spitzen zweier gegenüber liegender Zacken gemeint.

Antwort
Der Abstand gegenüberliegender Seitenflächen des Ikosaeders ist der doppelte Radius des Inkreises.
d = (1/6)[3sqrt(3)+sqrt(15)](2t) = (1/6)[3sqrt(3)+sqrt(15)][2sqrt(2)-sqrt(6)]a oder gerundet d=0,571a.
Die Entfernung ist gerundet e = 2H+d = 2*0,699a+0,573a = 1,971a.
Ergebnis
Ist die Seitenlänge des Ausgangsquadrates a = 9,0 cm, so wird der Stern 17,7 cm groß.

Vergleich von drei Sternen

a=9,0cm	Sonobe-Stern	Bascetta-Stern	Kusudama-Stern
2A/A_q	12,7%	20,0%	26,8%
H	0,29a = 2,6cm	0,49a = 4,4cm	0,70a = 6,3cm
e	1,04a = 9,4 cm	1,45a = 13,1cm	1,97a = 17,7cm