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Was sind Höhen im Dreieck?
... ... |
Fällt man von einem Eckpunkt eines beliebigen Dreiecks
das Lot auf die gegenüberliegende Seite, so entsteht seine Höhe.
Die Höhe beschreibt, wie hoch das Dreieck ist.
Da es drei Eckpunkte und drei Seiten gibt, gibt es auch
drei Höhen. |
Berechnung der Höhen
top
Gegeben ist ein
Winkel und eine passende Seite.
... ... |
Eine Höhe, zum Beispiel die Höhe hc,
teilt ein Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke.
Im rechten Dreieck gilt hc=a*sin(beta), im
linken hc=b*sin(alpha).
Es gibt also zwei Möglichkeiten, die Höhe hc
zu berechnen.
Entsprechend leitet man die beiden folgenden Formeln
her,
ha=b*sin(gamma)=c*sin(beta) und hb=c*sin(alpha)=a*sin(gamma) |
Sinussatz
Aus hc=a*sin(beta)und hc=b*sin(alpha)
folgt a*sin(beta)=b*sin(alpha) oder a:b=sin(alpha):sin(beta).
Die Formel erweitert man zu a:b:c=sin(alpha):sin(beta):sin(gamma).
Das ist der Sinussatz, der es gestattet, aus drei Stücken
eines beliebigen Dreiecks das vierte zu berechnen.
Die vier Stücke sind zwei Winkel und ihre Gegenseiten.
Gegeben
sind die drei Seiten.
... |
Es gelten die Formeln
ha=(2/a)sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)],
hb=(2/b)sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)],
hc=(2/c)sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)].
Darin ist s=(1/2)(a+b+c).
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Zum Beweis
Es gilt für den Flächeninhalt eines Dreiecks
die Formel von Heron A=sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)].
Darin ist s=(1/2)(a+b+c).
Einen Beweis findet man z.B. bei Arndt Brünner (URL
unten).
Setzt man A=(1/2)chc
und löst die Heron-Formel nach hc auf, so ergibt sich die
dritte Formel.
Entsprechend leitet man die beiden anderen Formeln her.
Höhenschnittpunkt
top
Existenz des Höhenschnittpunkts
... ... |
Drei Höhen treffen sich in genau einem Punkt, dem
Höhenschnittpunkt H.
Es folgt der übliche Beweis aus den Lehrbüchern. |
... ... |
Man ergänzt das Dreieck, indem man durch die Eckpunkte
Parallelen zu den Seiten zeichnet.
Dann wird das gegebene Dreieck zum Mittendreieck eines
größeren Dreiecks. |
... ... |
Verlängert man die Höhen des gegebenen Dreiecks
innerhalb des großen Dreiecks, so werden sie zu ihren Mittelsenkrechten.
Der Höhenschnittpunkt wird zum Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.
Die drei Mittelsenkrechten aber schneiden sich in einem
Punkt, da für zwei Mittelsenkrechte AM=BM und BM=CM gilt und
damit für die dritte AM=CM. |
Höhenschnittpunkt
beim stumpfwinkligen Dreieck
... ... |
 ... |
Ist das Dreieck stumpfwinklig, so liegt der Schnittpunkt
der Höhen außerhalb des Dreiecks.
Wegen dieser Besonderheit wird auf dieser Seite nur das
spitzwinklige Dreieck betrachtet, obwohl Aussagen meist auch für das
stumpfwinklige Dreieck gelten. |
Die Beweise erfordern eine neue Darstellung, die ich mir
ersparen will.
Beim rechtwinkligen Dreieck
fällt der Höhenschnittpunkt mit dem Scheitelpunkt des rechten
Winkels zusammen.
Ausgezeichnete
Punkte im Dreieck top
Neben den Höhen schneiden sich auch andere Linien
des Dreiecks in einem Punkt.
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Höhen
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Mittelsenkrechte
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Seitenhalbierende
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Winkelhalbierende
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Es gibt zwischen ihnen Zusammenhänge. Einige werden
auf dieser Webseite noch gezeigt werden.
Flächenformeln
top
... ... |
Wie bereits erwähnt, lässt sich mit Hilfe einer
Höhe der Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks bestimmen.
Es gilt A=(1/2)chc bzw. A=(1/2)aha
und A=(1/2)bhb.
Zum Nachweis verwandelt man das
Dreieck in ein flächengleiches Rechteck. |
Aus
der Flächenformel ergibt sich eine neue Formel.
| ...... |
Es gilt die Beziehung aha = bhb
=
chc.
Das Produkt aus einer Seite und seiner Höhe ist konstant. |
Der Flächeninhalt eines Dreiecks lässt sich
auch aus dem Radius des Inkreises berechnen.
... ... |
Es gilt A=(1/2)ar+(1/2)br+(1/2)cr.
Dann ist 2A=ar+br+cr oder 1/r=[1/(2A)](a+b+c) oder 1/r=a/(2A)+b/(2A)+c/(2A).
Wegen A=(1/2)aha, A=(1/2)bhb und
A=(1/2)chc ist 1/r=1/ha +1/hb+1/hc.
Das ist eine weitere Formel. |
Höhenabschnitte
top
Durch die Höhen wird das Dreieck
in sechs Teildreiecke aufgeteilt, von denen je drei Paare ähnlich
sind.
Das gelbe Dreieck existiert sechsmal.
Das bedeutet, dass es insgesamt 6*3=18 Paare ähnlicher Dreiecke gibt.
Damit gibt es auch zahlreiche Formeln
zwischen den 6 Höhen- und 6 Seitenabschnitten, denn bei ähnlichen
Dreiecken stehen entsprechende Seiten im gleichen Verhältnis.
Von
Interesse ist der folgende Fall.
... ... |
Ein Beispiel ähnlicher Dreiecke sind die Dreiecke
AHHc und CHHa.
Für die gekennzeichneten Seiten gilt die Proportion
CH:HHa = AH:HHc.
Die zugehörige Produktgleichung ist CH*HHc
= AH*HHa. |
Bezieht man die dritte Höhe BHb mit ein,
so ist CH*HHc = AH*HHa = BH*HHb.
Das Produkt aus den beiden Höhenabschnitten einer
Höhe ist konstant.
Eulergerade top
Satz
... ... |
Die Eulergerade ist eine Gerade des Dreiecks, die durch
den Umkreismittelpunkt M und den Schwerpunkt S verläuft.
Es ist bemerkenswert, dass auch der Schnittpunkt der
Höhen H auf dieser Geraden liegt.
Darüber hinaus gilt HS=2*SM. |
Der
Beweis erfolgt in sechs Schritten.
Vorbemerkung
... ... |
Will man beweisen, dass die drei ausgezeichneten Punkte
auf einer Geraden liegen, ist es aus rechentechnischen Gründen günstig,
das Dreieck in einem kartesischen Koordinatensystem nicht durch die Seiten
a, b und c, sondern durch die Höhe hc=r und die durch die
Höhe hc erzeugten Streckenabschnitte p und q festzulegen.
Es soll p>q gelten.
So wird die Rechnungen relativ einfach. |
Höhenschnittpunkt
H
... ... |
Der Punkt H hat die x-Koordinate 0.
Die y-Koordinate h errechnet sich mit Hilfe der beiden
farbigen, ähnlichen Dreiecke.
Es gilt h:q = p:r oder hr = pq oder h=(pq)/r.
Ergebnis: Der Punkt hat die Darstellung H(0|(pq)/r)
oder H(0|h). |
Mittelpunkt
des Umkreises M
Der Mittelpunkt des Umkreises wird durch die Mittelsenkrechten
festgelegt.
... ... |
Die Seitenmitten haben die Darstellung Ma(p/2|r/2)
und Mc[(p-q)/2|0].
Die x-Koordinate von Mc ergibt sich aus (p+q)/2-q=(p-q)/2.
Die Gerade MMa steht senkrecht auf der Seite
a und hat deshalb die Steigung p/r. Sie geht durch Punkt Mc
und hat deshalb mit dem Ansatz (y-y1)=m(x-x1) die
Gleichung (y-r/2)=(p/r)(x-p/2) oder y=(p/r)x-p²/2r+r/2. |
Setzt man für x=(p-q)/2, so ergibt sich für die
y-Koordinate des Mittelpunktes M
y=(p/r)(p-q)/2-p²/(2r)+r/2 = p²/(2r)-pq/(2r)-p²/(2r)+r/2
= r/2-(pq)/(2r) = r/2-h/2 =(r-h)/2
Ergebnis: Es gilt M[(p-q)/2|(r-h)/2].
Schwerpunkt
S
Der Mittelpunkt des Schwerpunktes wird durch die Seitenhalbierenden
festgelegt.
Sie schneiden sich im Verhältnis 2:1.
... ... |
Dieses Teilverhältnis überträgt sich nach
dem ersten Strahlensatz auf die Koordinaten des Schwerpunktes.
Der Schwerpunkt S hat die y-Koordinate r/3.
Die horizontal liegende Seite des gelben Dreiecks hat
in x-Richtung die Länge (p+q)/2-q=(p-q)/2 und Punkt S die x-Koordinate
(2/3)(p-q)/2=(p-q)/3. |
Ergebnis: Es gilt S[(p-q)/3|r/3].
Kollinearität
Es ist noch zu zeigen, dass die Punkte H, M und S auf
einer Geraden liegen.
Die Geradengleichung der Geraden durch H(0|h) und M[(p-q)/2|(r-h)/2]
wird nach der Zwei-Punkte-Form bestimmt.
(y-y1)/(x-x1) = (y2-y1)/(x2-x1)
<=> (y-h)/x = {[(r-h)/2]-h}/[(p-q)/2]
<=> (y-h)/x = (r-h-2h)/(p-q)
<=> y = [(r-3h)/(p-q)]x+h
Setzt man die x-Koordinate des Punktes S[(p-q)/3|r/3] ein,
nämlich x=(p-q)/3, so ergibt sich y=r/3.
Damit liegt auch S auf HM.
Eine Längenbeziehung
Bliebe noch HS=2*SM.
Die Länge der Strecken HM und SH werden mit Hilfe
der Formel s=sqrt[(x2-x1)²+(y2-y1)²]
berechnet.
| ...... |
HM = sqrt{[(p-q)/2]²+[((r-h)/2-h]²} = (1/2)sqrt[(p-q)²+(r-3h)²]
SH = sqrt{[(p-q)/3]²+(r/3-h)²}=(1/3)sqrt[(p-q)²+(r-3h)²]
Daraus folgt 2HM = 3SH oder 2*(SH+SM)=3*SH oder 2*SM=SH,
wzbw. |
Feuerbachkreis
top
Er heißt im englischsprachen
Bereich Nine-point circle, also Neunpunktekreis.
... ... |
Der Feuerbachkreis verläuft durch 9 Punkte, nämlich
durch die Höhenfußpunkte Ha, Hb, Hc,
die Mittelpunkte der Seiten Ma, Mb, Mc
und die Mittelpunkte der von den Eckpunkten ausgehenden Höhenabschnitte
H1, H2 und H3.
Der Mittelpunkt F des Feuerbachkreises ist der Halbierungspunkt
von HM, wobei H und M die Schnittpunkte der Höhen und der Mittelsenkrechten
sind. |
Der
Beweis erfolgt in acht Schritten.
Vorbemerkung
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Es genügt offenbar zu zeigen, dass der Kreis durch
die auf die Seite c bezogenen Punkte verläuft.
Das sind die Punkte Mc , Hc, und
H3. |
Koordinaten
des Mittelpunktes des Feuerbachkreises
Es geht zuerst um die Koordinaten des Mittelpunktes des
Feuerbachkreises F.
Sie ergeben sich aus den Formeln x=x1+(1/2)(x2-x1)
und y=y1+(1/2)(y2-y1), die für den
Mittelpunkt einer Strecke P1P2 gelten.
Das führt mit H(0|h) und M[(p-q)/2|(r-h)/2] zu x=0+(1/2)(p-q)/2]=(1/4)(p-q)
und y=h+(1/2)[(r-h)/2-h]=(1/4)(h+r).
Zwischenergebnis: Es gilt F[(1/4)(p-q) | (1/4)(h+r)]
Radius
Der Radius des Feuerbachkreises ist HCF und
wird nach der Formel P1P2==sqrt[(x2-x1)²+(y2-y1)²]
berechnet.
Mit Hc(0|0) ist HcF² = [(1/4)(p-q)
]²+[(1/4)(h+r)]².
Kreisgleichung
Die Kreisgleichung errechnet sich nach der Formel (x-xm)²+(y-ym)²=r²,
wobei der Mittelpunkt M(xm|ym) und der Radius r sind.
Es ergibt sich [x-(1/4)(p-q)]²+[y-(1/4)(h+r)]²
= [(1/4)(p-q) ]²+[(1/4)(h+r)]².
Es ist durch Einsetzen zu zeigen, dass die Punkte Mc
, Hc, und H3 auf dem Kreis liegen.
Hc(0|0)
Setzt man x=y=0, so ergeben sich links und rechts gleiche
Terme. Die Kreisgleichung wird erfüllt.
[0-(1/4)(p-q)]²+[0-(1/4)(h+r)]² =
[(1/4)(p-q) ]²+[(1/4)(h+r)]²
Mc
Die y-Koordinate ist y=0
Die x-Koordinate ist x = p-(p+q)/2 = p/2-q/2=(p-q)/2.
Der Term [x-(1/4)(p-q)] in der Kreisgleichung ist
dann x-(1/4)(p-q)=(1/2)(p-q)-(1/4)(p-q)=(1/4)(p-q).
So ergeben sich in der Kreisgleichung wieder links und
rechts gleiche Terme. Die Kreisgleichung wird erfüllt.
H3
Die x-Koordinate ist x=0.
Die y-Koordinate ist y=h+(r-h)/2 = h/2+r/2 = (r+h)/2
Der Term [y-(1/4)(h+r)] in der Kreisgleichung ist dann
(1/2)(h+r)-(1/4)(h+r) = (1/4)(r+h).
So ergeben sich in der Kreisgleichung wieder links und
rechts gleiche Terme. Die Kreisgleichung wird erfüllt.
Entsprechende
Überlegungen
Für die auf die Seiten a und b bezogenen Punkte
gelten entsprechende Überlegungen.
Damit ist der Beweis erbracht.
Feuerbachkreis
und Umkreis
Oben wird gezeigt, dass für den Radius des Feuerbachkreises
HcF² = [(1/4)(p-q) ]²+[(1/4)(h+r)]² gilt.
Interessanter als dieser Term ist die Aussage, dass der
Radius des Umkreises doppelt so groß ist.
Zum Beweis wird nach der Formel s²=sqrt[(x2-x1)²+(y2-y1)²]
der Radius zum Quadrat des Umkreises bestimmt.
Es gilt mit A(0|0) und M[(p-q)/2|(r-h)/2] die Gleichung
AM²=[(1/2)(p-q) ]²+[(1/2)(h+r)]².
Daraus folgt schon die Behauptung.
Höhenfußpunktdreieck
top
Definition
... ... |
Man nennt das Dreieck aus den Fußpunkten der Höhen
Höhenfußpunktdreieck.
Es hat einige interessante Eigenschaften. |
Inkreis
des Höhenfußpunktdreiecks
... ... |
Es gilt der Satz:
Der Schnittpunkt der Höhen eines Dreiecks ist gleichzeitig
der Mittelpunkt des Inkreises seines Höhenfußpunktdreiecks.
Anders ausgedrückt: Die Höhen eines beliebigen
Dreiecks fallen mit den Winkelhalbierenden seines Höhenfußpunktdreiecks
zusammen. |
Beweis:
... ... |
Das gelbe Viereck AHcHHb ist ein
Sehnenviereck,
da die Innenwinkel an den gegenüberliegenden Punkten Hb
und Hc rechte Winkel sind und sich so zu 180° ergänzen.
Weiter sind die rot gekennzeichneten Winkel gleich, da es Winkel über
der gleichen Sehne HHb sind. |
Bei gleicher Schlussweise sind die blauen Winkel über
der Sehne HHa gleich.
... ... |
Man betrachtet weiter die rechtwinkligen Dreiecke AHHb
und HBHa.
Wegen der gleich großen Scheitelwinkel sind sie
ähnlich.
Also sind die blauen und roten Winkel gleich groß.
Also wird der Winkel HbHcHa
durch HHc halbiert.
In gleicher Weise zeigt man, dass die beiden anderen Innenwinkel
bei Ha und Hb des Höhenfußpunktdreiecks
durch die Höhen halbiert werden. |
Damit ist der Beweis erbracht.
Innenwinkel
Die Innenwinkel des Höhenfußpunktdreiecks
sind 180°-2*alpha, 180°-2*beta, und 180°-2*gamma.
Beweis
... ... |
Die Gerade AHa ist Höhe des Dreiecks
und gleichzeitig Winkelhalbierende des Winkels HbHaHc.
Spiegelt man an ihr, so sind die beiden Winkel, die mit
alpha' bezeichnet sind, gleich. Das wird schon in der Zeichnung vorweggenommen.
Entsprechend sind die Winkel beta' und gamma' gleich. |
... ... |
Die Winkelsumme in den drei gelben Dreiecken ist 180°.
Das heißt:
(I) alpha+beta'+gamma'=180°
(II) alpha'+beta+gamma'=180°
(III) alpha'+beta'+gamma=180°
(I)-(II) ergibt alpha+beta'-alpha'-beta=0 oder (IV) alpha'-beta'=alpha-beta.
Aus (III) folgt (V) alpha'+beta'=180°-gamma.
(IV)+(V) ergibt alpha'-beta'+alpha'+beta'=alpha-beta+180°-gamma
oder alpha=alpha'. |
Entsprechend zeigt man, dass beta=beta' und gamma=gamma'
gilt.
... ... |
Damit sind die gelben Dreiecke und das Ausgangsdreieck
ähnlich.
Das ist ein Nebenergebnis.
Die Innenwinkel des Höhenfußpunktdreiecks
sind in der Zeichnung abzulesen:
180°-2*alpha, 180°-2*beta, und 180°-2*gamma. |
Seiten
Für die Seiten gelten die
Formeln HaHc=b*cos(beta),
HaHb=c*cos(gamma) und HbHc=a*cos(alpha).
Beweis
Es soll die Seite x=HcHa nach der
Formel s=sqrt[(x2-x1)²+(y2-y1)²]
berechnet werden.
... ... |
Dazu braucht man die Koordinaten von Hc und
Ha. Es gilt Hc(0|0).
Zur Berechnung der Koordinaten von Ha bringt
man die Geraden AHa und BC zum Schnitt.
BC: y=-(r/p)x+r
AHa: y=(p/r)x+h,
wobei h=(pq)/r ist
Das führt zu -(r/p)x+r = (p/r)x+(pq)/r = ... =
x=(pr²-p²q)/(p²+r²).
Es gilt y=-(r/p)x+r = -(r/p)(pr²-p²q)/(p²+r²)+r
= (pqr+p²r)/(p²+r²). |
Dann ist s² = [(pr²-p²q)/(p²+r²)]²+[(pqr+p²r)/(p²+r²)]²
= ...=[p²/(p²+r²)²]*[(q²+r²)(p²+r²)].
Mit a²=p²+r² und b²q²+r²
und p=a*cos(beta) ist s²=(p²/a4)(a²b²)=(p²/a²)b²
oder s=(p/a)b.
Mit p=a*cos(beta) ist s=b*cos(beta)=HaHc.
Entsprechende Überlegungen führen zu den beiden
anderen Formeln HaHb=c*cos(gamma) und HbHc=a*cos(alpha).
Fagnanos
Problem
... ... |
Von allen Dreiecken, die man in ein beliebiges Dreieck
legen kann, hat das Höhenfußpunktdreieck den kleinsten Umfang. |
Mehr findet man bei Eric W. Weisstein (MathWorld) unter
dem Stichwort
Fagnanos Problem (URL unten)
Doppeltes
Höhenfußpunktdreieck
top
... ... |
Verlängert man die Höhen so, dass sie den Umkreis
des Ausgangsdreiecks in den Punkten Ha', Hb' und
Hc' schneiden und verbindet die Schnittpunkte, so entsteht das
"doppelte Höhenfußpunktdreieck".
Es heißt so, weil seine Seiten doppelt so lang wie
die des Höhenfußpunktdreiecks sind. Außerdem sind entsprechende
Seiten parallel.
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Beweis
Die Punkte AHc'BC bilden ein Sehnenviereck,
für das der Sehnensatz gilt:
AHc*HcB=CHc*HcHc'
oder mit den Bezeichnungen von oben pq=rHcHc'.
Daraus folgt HcHc'=(pq)/r=h. Also
gilt HHc=HcHc'.
Entsprechend gilt HHb=HbHb'
und HHa=HaHa'.
Nach der Umkehrung des ersten
Strahlensatzes sind die Seiten parallel.
Nach dem zweiten Strahlensatz sind die Seiten des doppelten
Höhenfußpunktdreiecks doppelt so lang wie die Seiten des
Höhenfußpunktdreiecks.
Eine
zentrische Streckung top
... ... |
Einen tieferen Einblick in die Zusammenhänge erhält
man, wenn man die zentrische Streckung des Mittendreiecks auf das gegebene
Dreieck betrachtet.
Dabei ist der Mittelpunkt der Seitenhalbierenden oder
Schwerlinien das Zentrum.
Der Streckfaktor ist k=-2. |
... ... |
Bei dieser Abbildung geht auch das Dreieck SMcM
in das Dreieck CHS über.
Daraus folgt die bereits oben bewiesene Gleichung HS=2*SM.
Es gilt weiter die Aussage: In einem Dreieck hat der
Höhenschnittpunkt von einem Eckpunkt den doppelten Abstand wie
der Mittelpunkt von dem dem Eckpunkt gegenüberliegenden Seitenmittelpunkt. |
Kommentar
Der Einsatz der zentrischen Streckung ist die übliche
und auch die elegante Methode, die Eulergerade, den Feuerbachkreis und
das Höhenfußpunktdreieck zu untersuchen. Ich hatte den Ehrgeiz,
auch die etwas kniffligeren Sätze möglichst mit den einfachen
Methoden der Koordinatengeometrie herzuleiten, sozusagen den mühsamen
"Eselsweg" zu beschreiten.
Zitat: "Der Beweis kann unterschiedlich
elegant geführt werden, notfalls auch durch Ausrechnen mit Koordinaten."
(http://eddy.uni-duisburg.de/treitz/denkmnu/routh/cev71.htm)
Höhen
im Dreieck im Internet top
Deutsch
Arndt Brünner
Formel
von Heron
Darij Grinberg
Über
einige Sätze und Aufgaben aus der Dreiecksgeometrie (.pdf Datei)
Eckart Specht
Math4you
Cyril Hertz
Beweis
Eulersche Gerade
Hans-Gert Gräbe
Eulersche
Gerade und Feuerbachscher Kreis (.pdf Datei)
Wikipedia
Höhe
(Geometrie), Höhenschnittpunkt,
Höhenfußpunktdreieck,
Taylor-Kreis,
Feuerbachkreis,
Eulergerade,
Satz
von Euler (Geometrie)
English
Aarnout Brombacher
An
exploration of triangles and points of concurrency
Antonio Gutierrez (Go Geometry)
Example: Problem
136. Orthic Triangle, Altitudes, Orthocenter, Incenter, Perpendicular,
Concyclic Points ...
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Altitude,
Orthocenter,
Orthic
Triangle,
Euler
Line, Nine-Point
Circle, Taylor
Circle, Fagnanos
Problem,
Pedal
Triangle,
Euler
Triangle,
Euler
Points,
Feuerbach's
Theorem, Circum-Orthic
Triangle, Orthocentric
System
John Page
Orthocenter
of a Triangle, Geometry
construction
The Wolfram Demonstrations Project
Example: Bisectors
of the Angles of the Orthic Triangle ...
Tom Davis
Four
Points on a Circle (.pdf file)
Wikipedia
Orthocenter,
Altitude
(triangle), Nine-point
circle, Euler line
Referenzen top
Jan Gullberg: Mathematics- From the Birth of Numbers,
New York, London 1997 (ISBN0-393-04002-X)
Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite
URL meiner
Homepage:
https://www.mathematische-basteleien.de/
©
2010 Jürgen Köller
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