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Was sind Formeln im Bild?
Formeln sind Aussageformen der Algebra, die für Zahlen
einer Definitionsmenge zu richtigen Aussagen werden.
Bis auf die Axiome können sie bewiesen werden. Beweisen
heißt, aus bekannten Formeln neue Formeln durch logisches Schließen
herzuleiten.
Die Beweisideen und auch die Beweisgänge können
anschaulich durch Bilder dargestellt werden. Die Formeln werden lebendig.
Auf dieser Seite findet man bekannte Formeln, die man
leicht veranschaulichen kann, und ihre Bilder.
Einfache Formeln
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Kommutativgesetz der Multiplikation
(Axiom)
ab=ba
Distributivgesetz (Axiom)
(a+b)c=ac+bc
Produkt aus einer Differenz und einer Zahl
(a-b)c=ac-bc
Produkt zweier Summen
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
Produkt zweier Differenzen
(a-b)(c-d)= ac+bd -ad-bc
Produkt aus einer Summe und einer Differenz
(a-b)(c+d)= ac+ad -bc-bd
Flächengleiche Ergänzungsparallelogramme
a²=bx
Binomische Formeln
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Erste binomische Formel
(a+b)²=a² + 2ab + b²
Zweite binomische Formel
(a-b)²= b²+a² -2ab
Dritte binomische Formel
a²-b²=(a+b)(a-b)
Tri-nomische Formel
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
Differenz der Quadrate aus Summe und Differenz
(a+b)²-(a-b)²=4ab
Satzgruppe
des Pythagoras
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Satz des Pythagoras (Pythagoras oder ein Schüler,
Pythagoras von Samos, 580-500 vor Christi)
a²+b²=c²
Satz des Pythagoras (Euklid, ~300
vor Christi)
Klassischer Beweis mit Dreiecken
 
a²+b²=c²
Satz des Pythagoras (Euklid, ~300 vor Christi)
Beweis mit Vierecken
 
a²+b²=c²
Kathetensatz oder Satz des Euklid (Euklid, ~300 vor Christi)
 
a²=cp (analog kann man zeigen, dass b²=cq)
Höhensatz
 
a²=p²+h² (Satz des Pythagoras, Mitte),
a²=pc=p²+pq (Satz von Euklid, rechts),
daraus folgt h²=pq
Satz des Pythagoras (Liu Hui, ~300, China)
 
a²+b²=c²
Satz des Pythagoras ("Stuhl der Braut", ~900, Indien)
a²+b²=c²
Satz des Pythagoras (Atscharja Bhaskara, Indien, ~1150)
c²=(a-b)²+2ab oder c²=a²+b²
Satz des Pythagoras (Leonardo da Vinci, 1452-1519)
 
a²+b²=c²
Satz des Pythagoras (Fall a=b von Arthur Schopenhauer, 1788-1860)
a²+b²=c²
Satz des Pythagoras (James Garfield 1876, später 20.
US-Präsident)
Es wird die Formel für den Flächeninhalt eines
Trapezes verwendet [A=mh, hier: h=a+b und m=(a+b)/2]
(a+b)²/2=c²/2+2*(1/2*ab) oder a²+b²=c²
Satz des Pythagoras (Hermann Baravalle 1945)
 .........
c²=a²+b²
Satz des Pythagoras
(a+b)²=c²+4*(1/2ab) oder a²+b²=c²
Dritte Potenzen
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Dritte Potenz einer Summe
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
Wer den 3D-Blick beherrscht,
sieht die beiden Würfel und die sechs Quader räumlich:
Dritte Potenz einer Differenz
Die Formel heißt (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³.
Für eine Veranschaulichung wandelt man sie um in (a-b)³=a³-3ab(a-b)-b³.
... ... |
Man gibt die Zeichnung zur Formel für (a+b)³
von oben vor und setzt an Stelle von a die Differenz a-b.
Dann ergeben sich im Würfel a³ die Kanten (a-b)+b
in verschiedenen Variationen (links). Der Term (a-b)³ wird durch einen
blauen Würfel rechts dargestellt. |
... ... |
Man erhält den blauen Würfel auch, wenn man vom
roten Würfel die drei grünen Quader und den gelben Würfel
wegnimmt:
(a-b)³ = a³-3ab(a-b)-b³ = a³-3a²b+3ab²-b³
Referenzen
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Alexander Bogomolny,
Martin Gardner, Mathematisches Labyrinth, Vieweg Braunschweig
1979 (ISBN 3-528-08402-2)
Johannes Lehmann (Hrsg.): Rechnen und Raten, Köln
1987 (ISBN 3-7614-0930-3)
A.Schmid, I. Weidig: Lambacher Schweizer S8, Mathematisches
Unterrichtswerk, Stuttgart 1995 (ISBN 3-12-730730-6)
A.Schmid, I. Weidig: Lambacher Schweizer S9, Mathematisches
Unterrichtswerk, Stuttgart 1996 (ISBN 3-12-730740-3)
Peter Baptist: Pythagoras und kein Ende? Leipzig, 1998
Formeln im Internet
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Deutsch
Wikipedia
Binomische
Formeln, Satz
des Pythagoras,
Englisch
Pythagorean
theorem, Difference
of two squares,
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Seite ist auch in Englisch vorhanden.
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https://www.mathematische-basteleien.de/
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2002 Jürgen Köller
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