Binomische Formeln
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Was sind die binomischen Formeln?
Graphische Darstellung
Wortform
Weitere Anmerkungen		 Quadratische Ergänzung
Drei Graphen
Verallgemeinerungen
Die binomischen Formeln im Internet.
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Was sind die binomischen Formeln?
Die binomischen Formeln lauten

 (a+b)² = a²+2ab+b²
 (a-b)² = a²-2ab+b²
(a+b)(a-b) = a²-b²
Dabei stehen a und b für beliebige reelle Zahlen. 
Oder: Der Definitionsbereich ist die Menge der reellen Zahlen.
Die binomischen Formeln muss man vom binomischen Lehrsatz unterscheiden. Da geht es um eine Formel für (a+b)n.

Graphische Darstellung top


(a+b)² = a²+ab+ba+b²

(a-b)² = (a²+b²)-2ab


a²-b² = (a+b)(a-b)

Wortform    top
Das Quadrat der Summe zweier Zahlen ist gleich der Summe der Quadrate der Zahlen, vermehrt um das doppelte Produkt. 
Das Quadrat der Differenz zweier Zahlen  ist gleich der Summe der Quadrate der Zahlen, vermindert um das doppelte Produkt. 
Das Produkt aus der Summe und der Differenz zweier Zahlen ist gleich der Differenz der Quadrate der beiden Zahlen. 

Zugegeben, die Fassung der Formeln in Worte macht sie komplizierter. Trotzdem beherrscht man die binomischen Formeln eigentlich erst dann, wenn man wenigstens die Fachausdrücke einordnen kann und sich den Inhalt in groben Zügen angeeignet hat. 
Es soll der Term (3x+2y)² berechnet werden. Man sollte gar nicht erst a=3x und b=2y setzen. 
Man muss sich von den Variablen a und b lösen und die Formel mehr als eine Folge von Rechenanweisungen sehen. Etwa so: 
>Bilde das Quadrat des 1.Summanden (9x²).
>Bilde das Quadrat des 2.Summanden (4y²).
>Bilde das Produkt der Summanden und verdoppele das Produkt (12xy).
>Addiere die drei Terme (9x²+4y²+12xy).
Soll man einen Term wie 36g²+49h²+84gh nach der Formel in ein Quadrat verwandeln, so könnten die Anweisungen so aussehen.
>Suche die Wurzel des ersten Quadrates (6g).
>Suche die Wurzel des zweiten Quadrates (7h).
>Addiere die beiden Terme und quadriere dann [(6g+7h)²].
>Multipliziere zur Kontrolle die beiden Wurzeln und verdoppele das Produkt (84gh).

Weitere Anmerkungen top
Zur Herleitung
Die drei Formeln sind Sonderfälle von (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd, der Formel für das Ausmultiplizieren von Summen.
Umkehrung der Formeln
Liest man die Formeln von rechts nach links, so werden Regeln angegeben, Summen zu "faktorisieren". 
 a²+2ab+b² = (a+b)²
  a²-2ab+b² = (a-b)²
a²-b² = (a+b)(a-b)
Darin liegt ihre eigentliche Bedeutung. 
In diesem Zusammenhang ist interessant, dass offenbar im Deutschen die Formeln sehr wichtig genommen werden und auch einen eigenen Namen bekommen haben. Das deutsche Wikipedia widmet den Formeln eine volle Seite. 
Das englische Wikipedia zum Beispiel erwähnt mehr nebenbei auf der Seite "Factorization" die ersten beiden Formeln als "perfect square trinomals" und die dritte Formel als "difference of two squares". 
So wird die Bedeutung für die Rechentechnik mehr betont. Die binomischen Formeln bleiben nicht so sehr Selbstzweck. 
Die ersten beiden Formeln werden im Englischen unter Trinome eingeordnet. Die Differenz in der dritten Formel ist ein Binom. 

Hilfe beim Kopfrechnen
Werden zwei zweistellige Zahlen wie 23 und 56 im Kopf multipliziert, so rechnet man 
(20+3)(50+6)=20*50+20*6+3*50+3*6=1000+120+150+18=1288. Man muss also vier Summanden berechnen und zusammenfassen. Das erfordert Konzentration. 
Bestimmte Produkte berechnet man leichter mit Hilfe der binomischen Formeln. 
>So kommt man bei Quadraten wie 27²=20*20+2*20*7+7*7=400+280+49=729 mit den drei Summanden aus.
>42*38 wandelt man mit Hilfe der dritten Formel um in (40+2)(40-2)=1600-4=1596. Man braucht nur zwei Terme. 
Kürzen
Die binomischen Formeln helfen beim Kürzen. 
Es kommt vor, dass der Term so "vereinfacht" wird, dass man im Zähler und Nenner  den Term ab und b² streicht. Dann erhält man das Ergebnis a²+ab.  Was tut man nicht alles, um diesen schwer wiegenden Fehler zu bekämpfen. 
>Es darf nicht durch Streichen gekürzt werden. 
>Jede Rechnung muss ausführlich hingeschrieben und damit begründet werden.
>Dann ist da der Spruch: "Kürzen aus Summen, machen nur die Dummen - und wer will schon dumm sein?"

Übrigens gibt es als Scherz Ausnahmen: In 16/64 darf man die 6 streichen. 
(Es gibt noch drei weitere Brüche dieser Art mit zweistelligen Zahlen, nämlich 49/98, 19/95 und 26/65.)

Rational machen des Nenners
Der Bruch 2/sqrt(2) ist unanschaulich, da im Nenner eine Wurzel steht. Diese Brüche oder genauer ihre Nenner werden "rational gemacht". Hier erweitert man mit sqrt(2) und erhält dann überraschenderweise 2/sqrt(2)=sqrt(2). - Das ist das Paradebeispiel dafür, dass das Rationalmachen sinnvoll ist.
Für einen Bruchterm wie 1/[sqrt(2)-1] benötigt man zur Vereinfachung die dritte binomische Formel.
Verlust des doppelten Produkts 
Es wird schon mal das doppelte Produkt vergessen, 17²=(10+7)²=100+49=149
Es ist auch verwirrend: (a*b)²=a²*b² gilt tatsächlich, (a+b)²=a²+b² ist falsch.
Die ersten beiden binomischen Formeln werden nicht ohne List so formuliert, dass das doppelte Produkt in die Mitte genommen wird, damit es nicht verloren geht. 
Eigentlich kann man nicht pauschal behaupten, dass (a+b)²=a²+b² falsch ist. Ist ein Summand gleich 0, so ist die Gleichung richtig.
Humoriges
(klim+bim)²=klim²+bim²+2klimbim
Das war der Standardwitz einer meiner Mathematikprofessoren an der Universität Münster um 1960. 
Er machte sich damit offenbar über die Schulmathematik lustig. So habe ich es jedenfalls empfunden.
Nett ist, dass man den italienischen Mathematiker Allessandro Binomi als Entdecker der Formeln erfunden hat. 
Er ist fiktiv und hat trotzdem eine eigene Wikipedia-Seite bekommen (URL unten). 
Binomi ist sozusagen der "Edmund F. Dräcker" der Mathematiker oder auch ihre Steinlaus. 

Quadratische Ergänzung  top
Darunter versteht man Folgendes.
Man gibt einen Term wie x²+px vor und ergänzt ihn so, dass x²+px+s zu einem vollständigen Quadrat wird. 
Dazu das Zahlenbeispiel x²+6x. 
Man betrachtet nach Maßgabe von a²+2ab+b² die Zahl 6, halbiert sie und addiert das Quadrat dieser Hälfte. Es gilt dann x²+6x+9=(x+3)². Die Zahl 9 heißt quadratische Ergänzung.
Allgemein muss man das Quadrat der halben Vorzahl von x addieren. In der Formelsprache ist das s=p²/4.

Es gibt Anwendungen auf quadratische Gleichungen und auf quadratische Funktionen. 
Lösung einer quadratischen Gleichung
Zur Lösung einer quadratischen Gleichung steht die p-q-Formel zur Verfügung. 
Sie lautet: 
Ist x²+px+q=0 gegeben, so sind x1 =-p/2+sqrt[(p/2)²-q] und x2 =-p/2-sqrt[(p/2)²-q] die Lösungen.
(Dank Internet weiß ich jetzt, dass die Formel manchmal Mitternachtsformel heißt, "weil jeder mitten in der Nacht geweckte Schüler diese Formel ohne nachzudenken aufsagen können soll". Na ja.)
Nach der p-q-Formel hat zum Beispiel die Gleichung x²-4x+1=0 die Lösungen x1 = 2+sqrt(3) und x2 = 2-sqrt(3).
Die p-q-Formel lässt sich mit Hilfe der quadratischen Ergänzung und damit der binomischen Formeln herleiten. 
Es gilt x²+px+q=0 oder x²+px+(p/2)²-(p/2)²+q=0 oder [x+p/2]²=(p/2)²-q. 
Zieht man auf beiden Seiten die Wurzeln, so gilt   x+p/2=+sqrt[(p/2)²-q]     /\    x+p/2=-sqrt[(p/2)²-q].
Dann sind x1 =-p/2+sqrt[(p/2)²-q] und x2 =-p/2-sqrt[(p/2)²-q] die Lösungen.
Formen einer quadratischen Funktionsgleichung
Das wird an einem Beispiel erklärt. 
...... Eine quadratische Funktion sei durch die Gleichung f(x)=x²-4x+1 gegeben. 
Die Gleichung ist die Normalform. Der Graph ist eine Normalparabel. 
Die halbe Vorzahl von x (-2) gibt die Steigung an der Stelle x=0 an. Die Zahl +1 ist der y-Achsenabschnitt. 

Es gibt zwei weitere Formen dieser Gleichung, die mehr über die Lage der Parabel im Koordinatensystem aussagen und die mit den ersten beiden binomischen Formeln zu tun haben. 
Das sind die Produktform  und die Scheitelpunktform.
Produktform 
Oben wurde gezeigt, dass die quadratische Gleichung x²-4x+1=0 die Lösungen  x1 = 2+sqrt(3) und x2 = 2-sqrt(3) hat. 
Das heißt, dass die Gleichung sich als Produkt schreiben lässt: 
f(x) = (x-x1)(x-x2) oder  f(x) = {x-[2+sqrt(3)]}*{x-[2-sqrt(3)]}. 
Die Zahlen 2+sqrt(3) und 2-sqrt(3) sind die Nullstellen der Funktion und tauchen im Graphen oben als x-Achsenabschnitte auf. 
In der Zeichnung liest man  x1 = 0,3 und  x2 = 3,7  ab.
Scheitelpunktform
Dann kann man die Funktionsgleichung durch die quadratische Ergänzung umformen.
f(x)=x²-4x+1 = x²-4x+2²-2²+1 = (x-2)²-3
Das ist die Scheitelform. Setzt man x=2, so ist f(2)= -3. Der Punkt P(2|-3) ist als tiefster Punkt der Scheitelpunkt der Parabel.

Drei Graphen  top
Setzt man in einen Term der binomischen Formeln an Stelle von a und b die Variablen x und y, so erhält man Gleichungen von Funktionen mit zwei Variablen. Es folgen die Graphen.

F(x,y)=(x+y)²  [-0,5<x,y<0,5]

F(x,y)=(x-y)² [-0,5<x,y<0,5]

F(x,y)=x²-y²  [-1<x,y<1]

Verallgemeinerungen top
Man ersetzt in (a+b)² die Hochzahl 2 durch die Hochzahl 3.
Es gilt (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³.
Herleitung: (a+b)³ =(a+b)²(a+b)=(a²+2ab+b²)(a+b)=...= a³+3a²b+3ab²+b³
Veranschaulichung:

Allgemein gilt für die Hochzahl n der binomische Lehrsatz 

Man ersetzt in (a+b)² die Summe a+b durch die dreigliedrige Summe a+b+c. 
Es entsteht die "trinomische" Formel (a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc.
Herleitung: [(a+b)+c]²=(a+b)²+2c(a+b)+c²=...=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
Veranschaulichung:
Allgemein gilt für die Hochzahl n die Formel
Man ersetzt in a²-b² die Hochzahlen 2 durch die Hochzahlen 3 
Es gilt a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²).
Man erhält die Formel z.B. durch die Polynomdivision (a³-b³):(a-b).
Allgemein gilt für die Hochzahl n die Formel
Man ersetzt die Variablen a und b durch Vektoren. 
Die Gleichung kann geometrisch wie folgt gedeutet werden. 
...... Die Vektoren "a" und "b" spannen ein Dreieck mit den Seiten a, b und c auf. Bedenkt man noch, dass die Produkte Skalarprodukte sind, so ergibt sich die Formel c²=a²+b²-2ab*cos(gamma). Das ist der Kosinussatz aus der Dreieckslehre. Er ist eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras. 

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Deutsch

Arndt Brünner 
Gleichungen

mathe online
Binomische Formeln  (Multiple Choice Test)

Wikipedia
Binomische Formeln, Binomischer Lehrsatz, Binomi, Wissenschaftlicher Witz

Englisch

Wikipedia
Factorisation, Binomial theorem, Difference of two squares, 

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©  2007 Jürgen Köller

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