Papierbecher
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Was ist ein Papierbecher?
Faltanleitung
Variation		 Etwas Mathematik
Papierbecher im Internet
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Was ist ein Papierbecher?
... Ein Papierbecher ist ein Becher, den man aus einem Blatt DINA4 faltet. 

Wenn das Papier nicht bedruckt und etwas fester ist, kann man sogar aus ihm trinken.
Wenn der Becher groß genug ist, kann er auch umgedreht werden und als Hut dienen.

Faltanleitung  top
1
......... Falte ein Blatt Papier vom Format DIN A 4 an der roten Linie.


2
...... Schneide den unteren Streifen ab.

3
...... Es ist ein Quadrat entstanden.

4
...... Falte das Quadrat an einer Diagonalen nach vorne. 

(Von hier ab ist das Quadrat etwas größer gezeichnet.)


5
... Es entsteht ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck.

6
... Falte die untere linke Ecke an der roten Linie nach oben. Achte darauf, dass oben ein weiteres kleines gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck (grau) entsteht und dass dabei die Grundseite  parallel zur unteren Kante des Papiers liegt. 

7
... Das müsste dann so aussehen.

8
... Falte die untere rechte Ecke von unten rechts nach oben links an der roten Linie.

9
......... Das müsste dann so aussehen.

10
... Klappe das obere Dreieck an der roten Linie nach vorne.

11
... Das müsste dann so aussehen. Hinter dem Dreieck liegt ein weiteres Dreieck.

12
... Klappe dieses Dreieck nach hinten.

13
............
 Der Becher ist fertig. Öffne ihn oben. Er hat keine Standfläche.

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...... Man führt zunächst die Schritte 1 bis 7 durch, klappt dann aber das linke Dreieck nach hinten. 

Die beiden nach vorne und hinten gelegten unteren Dreiecke bilden oben offene Taschen. In sie kann man die oberen gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecke hineinstecken. Damit sie besser hineinpassen, schneidet man sie am besten zurecht. Dann ist der Becher ansehnlicher.

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Entfaltet man den Becher, so kann man die Konturen des Bechers erkennen. 
...... Wie errechnen sich die Maße des Trapezes aus der Seitenlänge a des Quadrates?

Ein Trapez ist z.B. durch die Grundseiten x und y und die Höhe z festgelegt.


Wer selbst rechnen will, sollte nicht weiterlesen.
... Wenn man an der roten Linie faltet, so legt man das linke gelbe Dreieck nach rechts. Damit hat das gelbe Viereck die Seiten b bzw. b' zweimal. Die beiden Diagonalen stehen wegen des Faltvorgangs aufeinander senkrecht. Damit ist das Viereck eine Raute und alle Seiten sind gleich groß. Also gilt b'=b.  Das obere Dreieck mit b als Grundseite ist gleichschenklig-rechtwinklig und hat damit die Katheten (1/2)sqr(2)b.
Ist die Seite des Ausgangsquadrats gleich a (grün), so gilt a=b + (1/2)sqr(2)b. Daraus folgt b=[2-sqr(2)]a. 
... Die Größen des Trapezes sind x, y und z.
Es gilt: 
x=sqr(a)-2b = [3*sqr(2)-4]*a 
y=b=[2-sqr(2)]a
z=[(1/2)sqr(2)]a - (1/2)b = [sqr(2)-1]a
Die Mittellinie (1/2)(x+y) ist m=[sqr(2)-1]*a =z. Damit stimmen Mittellinie und Höhe des Trapezes überein. 

Übrigens teilen die oberen Trapez-Ecken die Katheten des Gesamtdreiecks im Verhältnis 1:sqr(2). Das ist das Seitenverhältnis eines DINA4-Blattes. 

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©  2003 Jürgen Köller

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